高考数学常用公式

高考数学常用公式(2004.11.10)

1.德摩根公式 CU(A2.AB)?CUACUB;CU(AB)?CUACUB.

B?A?AB?B?A?B?CUB?CUA?ACUB???CUAB?R

3.card(AB)?cardA?cardB?card(AB)

card(ABC)?cardA?cardB?cardC?card(AB)

?card(AB)?card(BC)?card(CA)?card(ABC).

4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式f(x)?a2x?bx?(ca?0;)② 顶点式

f(x)?a(x?h)2?k(a?0);③零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0).

5.设x1?x2??a,b?,x1?x2那么

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；

x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数.

x1?x2设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则

f(x)为减函数.

6.函数y?f(x)的图象的对称性:①函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称

a?b?f(a?x)?f(a??)xf(2a?x)?f(x.)②函数y?f(x)的图象关于直线x?2对称?f(a?mx)?f(b?mx)?f(a?b?mx)?f(mx).

7.两个函数图象的对称性:①函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)

a?b对称.②函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?对称.③函数

2my?f(x)和y?f?1(x)的图象关于直线y=x对称.

8.分数指数幂 amn?1nam（a?0,m,n?N?，且n?1）.

?a?mn?1mn（a?0,m,n?N，且n?1）.

a9. logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).

nlogmNn10.对数的换底公式 logaN?.推论 logamb?logab.

mlogman?1?s1,11.an??( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2??an).

s?s,n?2?nn?1*12.等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N)；

n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n. 其前n项和公式 sn?222213.等比数列的通项公式an?a1qn?1?a1n?q(n?N*)； q?a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1??其前n项的和公式sn??1?q或sn??1?q.

?na,q?1?na,q?1?1?114.等比差数列?an?:an?1?qan?d,a1?b(q?0)的通项公式为

?b?(n?1)d,q?1?an??bqn?(d?b)qn?1?d；

,q?1?q?1??nb?n(n?1)d,q?1?其前n项和公式为sn??. d1?qnd?(b?1?q)q?1?1?qn,q?1?ab(1?b)n15.分期付款(按揭贷款) 每次还款x?元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).

(1?b)n?1sin?2216.同角三角函数的基本关系式 sin??cos??1，tan?=，tan??cot??1.

cos?17.正弦、余弦的诱导公式

n?n??(?1)2sin?,sin(??)?? n?12?(?1)2cos?,?n?n??(?1)2cos?,??)?? cos( n?12?(?1)2sin?,?α为偶数 α为奇数 α为偶数 α为奇数 18.和角与差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?; cos(???)?cos?cos?sin?sin?;

tan??tan?tan(???)?.

1tan?tan?sin(???)sin(???)?sin2??sin2?(平方正弦公式); cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.

asin??bcos?=

定,tan??a2?b2sin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决

b ). a19.二倍角公式 sin2??sin?cos?.

2tan?.

1?tan2?20.三角函数的周期公式 函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?2??为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?；函数y?tan(?x??)，x?k??,k?Z(A,

?2cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?.tan2??ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?21.正弦定理

?. ?abc???2R. sinAsinBsinC22222222222.余弦定理a?b?c?2bccosA;b?c?a?2cacosB; c?a?b?2abcosC.

11123.面积定理（1）S?aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.

222111（2）S?absinC?bcsinA?casinB.

2221(|OA|?|OB|)2?(OA?OB)2. (3)S?OAB?224.三角形内角和定理 在△ABC中，有

A?B?C???C???(A?B)?25.平面两点间的距离公式 dA,B=|AB|?C?A?B???2C?2??2(A?B). 222AB?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

26.向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则 ab?b=λa ?x1y2?x2y1?0. a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0.

?是实数，且27.线段的定比分公式 设P12的分点,1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PPPP1??PP2，则

x1??x2?x??1OP?1??1??OP2t?OP?（）. OP?tOP?(1?t)OP???12y??y1??1??2?y?1?1???28.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),

x1?x2?x3y1?y2?y3,). 33''???x?x?h?x?x?h''??29.点的平移公式 ?' (图形F上的任意一点P(x，?OP?OP?PP'???y?y?k?y?y?k则△ABC的重心的坐标是G(y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的坐标为(h,k)). 30.常用不等式：

'''''（1）a,b?R?a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

22a?b?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2（3）a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0).

（2）a,b?R??（4）柯西不等式(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,a,b,c,d?R. （5）a?b?a?b?a?b 31.极值定理 已知x,y都是正数，则有

（1）如果积xy是定值p，那么当x?y时和x?y有最小值2p；

12s. 4232.一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0)，如果a与ax?bx?c（2）如果和x?y是定值s，那么当x?y时积xy有最大值

同号，则其解集在两根之外；如果a与ax?bx?c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

2x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)； x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).

33.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有

x?a?x2?a??a?x?a.

2x?a?x2?a2?x?a或x??a.

34.无理不等式（1）?f(x)?0? . f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)?（2）?f(x)?0?f(x)?0?. f(x)?g(x)??g(x)?0或?g(x)?0?f(x)?[g(x)]2???f(x)?0?. f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2?（3）35.指数不等式与对数不等式 (1)当a?1时,

af(x)?ag(x)?f(x)?0??f(x)?g(x); logaf(x)?logag(x)??g(x)?0.

?f(x)?g(x)??f(x)?0??f(x)?g(x);logaf(x)?logag(x)??g(x)?0

?f(x)?g(x)?(2)当0?a?1时,

af(x)?ag(x)36.斜率公式 k?y2?y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2?x137.直线的四种方程

（1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)． （2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距).

y?y1x?x1(y1?y2)(P?1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2)).

y2?y1x2?x1（4）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).

（3）两点式

38.两条直线的平行和垂直 （1）若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2 ①l1l2?k1?k2,b1?b2;②l1?l2?k1k2??1.

(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零,

A1B1C1；②

??l1?l2?A1A2?B1B2?0； A2B2C2k?k139.夹角公式 tan??|2|.(l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2,k1k2??1)

1?k2k1①l1l2?A1B2?A2B1(l1:A). 1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0A1A2?B1B2?直线l1?l2时，直线l1与l2的夹角是.

2|Ax0?By0?C|40.点到直线的距离 d?(点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0).

22A?Btan?? 41. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 (x?a)?(y?b)?r.

（2）圆的一般方程 x2?y2?Dx?Ey?F?0(D?E?4F＞0). （3）圆的参数方程 ?22222?x?a?rcos?.

?y?b?rsin?（4）圆的直径式方程 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、

B(x2,y2)).

?x?acos?x2y242.椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程是?.

aby?bsin??x2y2a2a2)，PF2?e(?x). 43.椭圆2?2?1(a?b?0)焦半径公式 PF1?e(x?abccx2y244.双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦半径公式

aba2a2PF1?|e(x?)|，PF2?|e(?x)|.

cc

y45.抛物线y?2px上的动点可设为P(?,y?)或P(2pt2,2pt)或 P(x,y)，其中

2p22y2?2px.

b24ac?b2(a?0)的图象是抛物线：46.二次函数y?ax?bx?c?a(x?)?（1）顶点坐标

2a4ab4ac?b2b4ac?b2?1,)；,)；为(?（2）焦点的坐标为(?（3）准线方程是2a4a2a4a4ac?b2?1y?.

4a247.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2或

（

弦

端

点

AB?(1?k2)(x2?x1)2?|x1?x2|1?tan2??|y1?y2|1?cot2??y?kx?b2A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程? 消去y得到ax?bx?c?0，??0,?为直线

?F(x,y)?0AB的倾斜角，k为直线的斜率）.

48.圆锥曲线的两类对称问题：

（1）曲线F(x,y)?0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0?y)?0. （2）曲线F(x,y)?0关于直线Ax?By?C?0成轴对称的曲线是

2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C),y?)?0. 2222A?BA?B249.“四线”一方程 对于一般的二次曲线Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0，用x0x代x，F(x?x0y?xy0x?xy?y代xy，用0代x，用0代y即得方程 222xy?xy0x?xy?yAx0x?B?0?Cy0y?D?0?E?0?F?0，曲线的切线，切点弦，中点弦，

222用y0y代y2，用

弦中点方程均是此方程得到.

50.共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b?存在实数λ使a=λb． 51.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OP?xOA?yOB?zOC， 则四点P、A、B、C是共面?x?y?z?1． 52. 空间两个向量的夹角公式 cos〈a，b〉=＝(b1,b2,b3)）.

53.直线AB与平面所成角??arcsina1b1?a2b2?a3b3a?a?a212223b?b?b212223（a＝(a1,a2,a3)，b

AB?m(m为平面?的法向量).

|AB||m|m?nm?n或??arccos（m，n为平面?，

|m||n||m||n| 54.二面角??l??的平面角??arccos?的法向量）.

55.设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为?1，AB与AC所成的角为?2，AO与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2.

56.若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是?1,?2,与二面角的棱所成的角是θ，则有sin2?sin2??sin2?1?sin2?2?2sin?1sin?2cos? ;

|?1??2|???180?(?1??2)(当且仅当??90时等号成立).

57.空间两点间的距离公式 若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 dA,B=|AB|?AB?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.

58.点Q到直线l距离h?a=PA，向量b=PQ). 59.异面直线间的距离 d?1(|a||b|)2?(a?b)2(点P在直线l上，直线l的方向向量|a||CD?n|(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2|n||AB?n|（n为平面?的法向量，AB是经过面?的一条斜线，|n|上任一点，d为l1,l2间的距离). 60.点B到平面?的距离 d?A??）.

61.异面直线上两点距离公式 d?d2?m2?n2?2mncos? (两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、

'F，AE?m,AF?n,EF?d).

'262. l2?l12?l2?l32?cos2?1?cos2?2?cos2?3?1

（长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为（立几中长方体对角线长的公式是其特例）. ?1、?2、?3）

S'63. 面积射影定理 S?

cos?(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为?). 64.欧拉定理(欧拉公式) V?F?E?2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F)

'4?R3,其表面积是S?4?R2． 366.分类计数原理（加法原理）N?m1?m2??mn.

65.球的半径是R，则其体积是V?67.分步计数原理（乘法原理）N?m1?m2?m68.排列数公式 An=n(n?1)?(n?m?1)=

?mn.

n！*

.(n，m∈N，且m?n)．

(n?m)！nmmmm?1mm?1An69.排列恒等式 （1）An?(n?m?1)An;（2）An??1;（3）An?nAn?1; （4）n?mnn?1nmmm?1. nAn?An?1?An;（5）An?1?An?mAn70.组合数公式 Cmn=

Anmn(n?1)?(n?m?1)n！*

==(，∈N，且m?n). nmm1?2???mm！?(n?m)！Ammmmn?mm?1m 71.组合数的两个性质(1) Cn=Cn ;(2) Cn+Cn=Cn?1

Cn? 72.组合恒等式（1）

n?m?1m?1nnm?1mmmCn;Cn?CnC?Cn?1; （2）;（3）（4）?1nmn?mm?Cr?0nrnrr?1=2;（5）Crr?Crr?1?Crr?2???Cn?Cn?1.

nmm73.排列数与组合数的关系是：An . ?m！?Cn0n1n?12n?22rn?rrnn74.二项式定理 (a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb ; rn?rr1，2?，n). 二项展开式的通项公式：Tr?1?Cnab(r?0，75.等可能性事件的概率P(A)?m. n76.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 77.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)．

78.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).

79.n个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)．

kkn?k80.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率P(k)?CP(1?P). nn81.离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）P,2,i?0(i?182.数学期望E??x1P1?x2P2?2);（2）P1?P2??1.

?xnPn? 83.数学期望的性质：（1）E(a??b)?aE(?)?b；（2）若?～B(n,p)，则E??np.

84.方差D???x1?E???p1??x2?E???p2?85.标准差??=D?.

86.方差的性质(1)D????E??(E?);(2)D?a??b??aD?；（3）若?～B(n,p)，则

2222??xn?E???pn?2

D??np(1?p).

87.正态分布密度函数f?x??1e2?6??x???2262,x????,???式中的实数μ，是参数，?（?>0）

x22分别表示个体的平均数与标准差. 88.标准正态分布密度函数f?x??21e2?6?,x????,???.

89.对于N(?,?)，取值小于x的概率F?x?????x????. ???P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1??F?x2??F?x1?

?x????x1??????2?????.

??????nn??xi?x??yi?y??xiyi?nxy??i?1??i?1n?b?n90.回归直线方程 y?a?bx，其中?. 2xi?x?xi2?nx2????i?1i?1???a?y?bx91.相关系数 r???x?x??y?y?iii?122(x?x)(y?y)?i?ii?1i?1nnn ???x?x??y?y?iii?1n(?xi2?nx2)(?yi2?ny2)i?1i?1nn.

|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.

?0?n92.特殊数列的极限 （1）limq??1n???不存在?|q|?1q?1|q|?1或q??1.

?0(k?t)?aknk?ak?1nk?1??a0?at（2）lim??(k?t).

n??bnt?bnt?1??bbtt?10?k?不存在 (k?t)?（3）S?limx?x0a11?qn1?q?n????a11?q（S无穷等比数列

?aq? (|q|?1)的和）.

n?1193.limf(x)?a?lim?f(x)?lim?f(x)?a.这是函数极限存在的一个充要条件.

x?x0x?x094.函数的夹逼性定理 如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足：

（1）g(x)?f(x)?h(x);（2）limg(x)?a,limh(x)?a（常数）,则limf(x)?a.

x?x0x?x0x?x0本定理对于单侧极限和x??的情况仍然成立.

sinx?1??1；95.两个重要的极限 （1）lim（2）lim?1???e(e=2.718281845?).

x?0x??x?x?96.f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）

xf(x0??x)?f(x0)?y?lim. x?x0?x?0?x?x?0?x?ss(t??t)?s(t)?lim97.瞬时速度??s?(t)?lim.

?t?0?t?t?0?t?vv(t??t)?v(t)?lim98.瞬时加速度a?v?(t)?lim.

?t?0?t?t?0?tdydf?yf(x??x)?f(x)??lim?lim99.f(x)在(a,b)的导数f?(x)?y??.

?x?0?x?0dxdx?x?xf?(x0)?y??lim100.函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0). 101.几种常见函数的导数 (1) C??0（C为常数）. (2) (xn)'?nxn?1(n?Q). (3) (sinx)??cosx. (4) (cosx)???sinx.

11ex；(loga)??loga. xx(6) (ex)??ex; (ax)??axlna.

(5) (lnx)??102.复合函数的求导法则 设函数u??(x)在点x处有导数ux'??'(x)，函数y?f(u)在点

x处的对应点U处有导数yu'?f'(u)，则复合函数y?f(?(x))在点x处有导数，且

'''，或写作fx'(?(x))?f'(u)?'(x). yx?yu?ux103.可导函数y?f(x)的微分dy?f?(x)dx.

104.a?bi?c?di?a?c,b?d.（a,b,c,d?R）

105.复数z?a?bi的模（或绝对值）|z|=|a?bi|=a2?b2. 106.复数的四则运算法则

(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (2)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (3)(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i; (4)(a?bi)?(c?di)?ac?bdbc?ad?2i(c?di?0). 222c?dc?d(x2?x1)2?(y2?y1)2（z1?x1?y1i，

107.复平面上的两点间的距离公式 d?|z1?z2|?z2?x2?y2i）.

108.向量的垂直 非零复数z1?a?bi，z2?c?di对应的向量分别是OZ1，OZ2，则 OZ1?OZ2?z1?z2的实部为零?z2222为纯虚数?|z1?z2|?|z1|?|z2| z1?|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2?|z1?z2|?|z1?z2|?ac?bd?0?z1??iz2 (λ为非零实

数).

109.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程ax?bx?c?0，①若??b?4ac?0,

22b?b?b2?4ac22则x1,2?;②若??b?4ac?0,则x1?x2??;③若??b?4ac?0，

2a2a它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根

?b??(b2?4ac)i2x?(b?4ac?0).

2a

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