清北学堂数学联赛考前练习题八套

2012年高中数学奥林匹克模拟真题（八）

一：填空题（每题8分，共8题）

1、直线l在x轴与y轴上的截距相等，且到点P（5，6）的距离为6，则这样的直线共 条． 2、??n?表示n的个位数，an??n2???n?，则数列?an?的前2006项之和S2006＝ ． 3、已知cos??cos??2m，sin??sin??2n，则cot?cot?＝ ．

4、曲线x2?my2?1，焦点F1、F2及准线?1、?2与x轴交点K1、K2，这四个点在x轴上等距排列，则m的值为 ．

5、二次项三项式f?x?满足对任意a、b?R，f(a)?f(b)?f(a?b)?ab?1，则抛物线y?f(x)的顶点的轨迹方程为 ．

6、方程x2?x?y4?y3?y2?y的整数解为 ．

7、若数列?an?满足an?2?3an?1?2an?2n，且a1?0，a2?1，则a2006＝ ． 8．若实数a，b，x，y满足

??ax?by?3,ax2?by2?7，ax3?by3?16，ax4?by4?42，

则ax?by?______． 二：解答题：

9、（16分）已知：定义在???,4?上的减函数f?x?，使得f?m?sinx??f切实数x均成立，求实数m的范围． 10、（20分）数列?an?中，an?n?355?cosx??1?2m?742对一

??n2?i2?，求该数列前n项和Sn．

2i?1992y2xA，P为椭圆C1上11、（20分）椭圆C1:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为ab22?c2,3c2?任意一点，且PF1?PF2最大值的取值范围是??，其中c?a?b．

⑴求椭圆C1的离心率e的取值范围；

⑵设双曲线C2以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C2在第一象限上任意一点，当e取得最小值时，试问是否存在常数????0?，使得?BAF1???BF1A恒成立？若存在求出?的值；若不存在，请说明理由．

二试：

一、（40分）圆O是△ABC的内切圆．D、E、F是BC、CA、AB上的切点，DD?，EE?，FF?都是圆O的直径．求证：AD?，BE?，CF?共点．

二、（40分）若x，y，z是正实数，且xy?yz?zx?xyz，求x7(yz?1)?y7(zx?1)?z7(xy?1)的最小值．

三、（50分）证明：对于大于2的任意正整数a，存在无限多个n?N．使得n|an?1．

四、（50分）设n?N，把集合{1，2，…，n}分拆为两个非空集合A与B（即有A∩B＝Φ，A∪B＝{1，2，…，

?*n}），使得对A中任意两个不同的元素a、b，有a?b?A；对B中任意两个不同的元素c、d，有cd?B．求n的最大可能值，使得存在满足题意的分拆．

2012年高中数学奥林匹克模拟真题（八）答案

1、简解：y＝0，y＋x＝11±62，共3条 2、10．解析：∵an是一个以10为周期的数列，而

?ai?110i?0，故S2006＝S6＝?ai?10．

i?16?m3、

?m2?n2?n222??n??m222．简解：令A?cos?,sin??，B?cos?,sin??，则知A，B在圆x?y?1上，AB中

22点C（m，n），m?1?osc??osc2??，n?1?sin??sin??，且koc＝n，kAB＝－m，AB⊥OC，由射影2mnmm2?n2定理及C（m，n），知AB：y??x?，并代入圆的方程，得

nn?m2?22mm2?n2n2?m2?n2?x??0． 22?1?n2??x?nn??????2?ncos?，cos?为此方程两根，∴有cos?cos??sin?sin??以y为主元，同理有4、当m?2?m2?n2， 22m?n2?2?m2?n?mm2?n222?2?mcot?cot???m，∴

?n2?n22??2?n2?m2．

213、?．简解：当m＞0，曲线为双曲线，显然点F1、F2与点K1、K2分别关于原点0对称，且OF222＞OK2，不妨设点K2、F2在y轴右侧．

由已知点K1、K2 、F1、F2等距排列，可得F1K1?K1K2?K2F2?d， ∴

K2O?1d3K1K2?，?OF2?d?3OK2222由曲线方程推得F2?1????1?,0?，m??????1111?m?。当m＜0时，曲线为焦点在x轴上的椭圆，显然点F1、K2?,0??1??3??m211??1??1?mm??F2与K1、K2分别关于原点0对称，且OK2＞OF2．同理得

11?1m?3?3?m??．综上得

211?m113，?． 22125、y??x?1，解析：令a＝b＝0，得2f(0)?f(0)?1

2m?∴f(0)??1，设f?x??px2?qx?1，比较两边a、b项的系数得p?

f?x??1212x?qx?1??x?q?221

，而观察知q可取一切实数，即2

11?q2?1顶点坐标为（－q，－q2?1），故所求方程为

221y??x2?1

26、（0，－1），（－1，－1），（0，0），（－1，0），（－6，2），（5，2）

简解：?2x?1??4y4?y3?y2?y?1＝2y2?y?1?y2?2y?2y2?y2????2??2?3y2?4y?1

从而y＞2或y＜－1时，有(2y＋y) ＜?2x?1?＜2y2?y?1 矛盾

2

2??2∴－1≤y ≤2。当y＝－1时，x＝0，－1；y＝0时，x＝0,－1；y＝2时，x＝－6，5，共6组． 7、501?22007?1，简解：?an?2?2an?1???an?1?2an??2n

n令bn?an?1?2an 则bn?1?bn?2∴bn?b1???bk?2nk?bk?1??2n?1

n?1an?1anan11?a?1ak?即an?1?2an?2?1得n?n?1?1?n∴n?1?a1???kk?k?1??n?2?n?1

22222?2k?1?2n∴an??n?2??2n?1?1∴a2006?2004?22005?1?501?22007?1

??m?sinx?1?2m?7?cos2x,9、由题意可得? 4??m?sinx?4.8.20．

因为ax3?by3?16，所以(ax3?by3)(x?y)?16(x?y)．

所以(ax4?by4)?xy(ax2?by2)?16(x?y)．即42?7xy?16(x?y)……⑴ 因为ax2?by2?7，所以(ax2?by2)(x?y)?7(x?y)．

所以(ax3?by3)?xy(ax?by)?7(x?y)．即16?3xy?7(x?y)……⑵

由⑴、⑵,解得x?y??14，xy??38．又因为ax4?by4?42，所以(ax4?by4)(x?y)?42(x?y)． 所以(ax5?by5)?xy(ax3?by3)?42(x?y)．所以ax5?by5?42(x?y)?16xy?20． 注：用递归数列也可求解．

??m?1?2m??sin2x?sinx?3,即?4对x?R恒成立， ??m?4?sinx.又?sin2x?sinx?3??(sinx?1)2?1，所以4?sinx?3．

422???m?1?2m??1,?m?1?1?2m,13所以?所以m??，或?m?3． 2所以?222???m?3.?m?3.10、an?n?32222222222 (n?i)?(n?99)(n?98)...(n?1)n(n?1)...(n?98)(n?99)?i?199?1[(n?100)2?(n?100)2]?(n?99)2?(n?98)2...(n?99)2，

4001(n?100)2?(n?99)2?(n?98)2...(n?99)2

所以Sn?Sn?1?400?1(n?99)2?(n?98)2...(n?99)2(n?100)2． 4001(n?100)2?(n?99)2?(n?98)2...(n?99)2

即得Sn?400?Sn?1?1(n?99)2?(n?98)2...(n?99)2(n?100)2．

4001n2所以新数列{Sn?是其首项为(?10?0n)?(2?n9?9)2(n?98)2.常..数(数9列9，)}400S1?1?0?0．所以Sn?1(n?100)2?(n?99)2?(n?98)2...(n?99)2．

4004002n即Sn?(n?100)2??(n2?i2)2． 400i?19911、⑴设P?x,y?，又F1??c,0?,F2?c,0?，

222∴PF1???c?x,?y?,PF2??c?x,?y?．PF． ?PF?x?y?c12222y2bxx2222又2?2?1，得y?b?2,0?x?a．

aab2b2c222222??∴PF1?PF2??1?2?x?b?c?2x?b?c．

a?a?∴当x?a时PF1?PF222max?b2，c2?b2?3c2,c2?a2?c2?3c2．

2121c1112∴?2?，即?e?．∴?e?．

224a2422y2x1⑵当e?时，a?2c,b?3c．∴C2:2?2?1，A?2c,0?．

2c3cx02y02设B?x0,y0?,?x0?0,y0?0?，则2?2?1．

c3c当AB?x轴时，x0?2c，y0?3c，则tan?BF1A?故?BAF1?3c?1．故?BFA??．

13c4??2?BFA，猜想??2，使?BAF???BFA总成立． 1112?y0?y0y?,tan?BF1A?0． x0?ax0?2cx0?c当x0?2c时，tan?BAF1?∴tan2?BF1A?2tan?BF1A?1?tan2?BF1A2y0x0?c?y?1??0??x0?c?2．

?x02?又y0?3c?2?1??3?x02?c2?，

?c?22?y02??tan?BAF1． ∴tan2?BF1A?222x?2c?x0?c??3?x0?c?0又2?BF1A与?BAF1同在0,2y0?x0?c??2??2???,?内，

∴2?BF1A=?BAF1，故存在??2，使?BAF1???BF1A恒成立．

二试答案

一、设直线AD?,BE?,CF?交BC,CA,AB于A?,B?,C?．过D?作圆O的切线交AB,AC于M,N．显然

MN//BC?△AMD?∽△ABA?,△AD?N∽△AA?C．

则

MD??AD??D?N?BA??MD?……⑴ BA?AA?A?CA?CD?N连结OM，ON，记圆O半径为r．易证B、D、O、F与C、D、O、E分别共圆，则

?FOD???B,?EOD???C．

1?FOD??1?B，?NOD??1?EOD??1?C．

2222MD??tan?MOD??tanB，ND??tan?NOD??tanC， 因为

r2r2所以?MOD??BBtantanMD??2． 2……⑵将⑵代入⑴得：BA??所以

A?CtanCD?NtanC22CAtantanBA??CB??AC??1．CB??2，AC??2．同理可知：此时根据塞瓦逆定理，可知AA?,BB?,CC?B?AtanAC?BtanBA?CB?AC?B22三线共点．即AD?,BE?,CF?共点．

?x?a?b?c?a?1?1?1?1a?b?c其中a,b,c是正实数，

二、由题设条件得：，设?y?xyzb?a?b?c?z?c?(a?b?c)7?(a?b?c)2?则左边???1? 7?bca??(a?b?c)7a2?b2?c2?ab?ab?bc?ac?ac???

bca7??3(abc)8abc(abc)abc73??3?8?3?8?38． ?77bcaabc77368558873685588当且仅当a?b?c时，即x?y?z?3时取等号．

kp*三、不妨设p为a?1的一个素因子，则我们证明pa?1（其中k?N）．

k由于ampkpkmm， ?1?[(a?1)?1]?1?p(a?1)??Cpk(a?1)km?2pkpkpk(pk?1)...(pk?m?1)(a?1)m，m!中含有素因子p的个数为 而C(a?1)?m!m?m??m??m?m?...?m?...?m，所以Cm(a?1)m中含有素因子p的个数大于

??...??...?t?2??pt?pk?pp?1p?p???p???m?kmmmmk?m?m个，又k?m?，所以Cpk(a?1)可以被pk整除，?Cp可以被pk整除，k(a?1)p?1p?1m?2因此ap?1?pk(a?1)?kpkm?2?Cpkmpk(a?1)m可以被pk整除．由于k有无穷多个，所以，原命题成立．

四、（1）若1∈B，∵1×2＝2，1×3＝3，1×5＝5，∴2，3，5∈A或n≤4．假设n≥5，则∴2，3，5∈A，2＋3＝5，与题意矛盾！

（2）当1∈A，2∈B，不防假定n≥4． 当3∈A时，∵1＋3＝4，∴4∈B． ∵2，4∈B，2×4＝8，∴8∈A或n≤7．

当n≥8时，∵1，3，8∈A，3＋5＝8，1＋8＝9，∴5，9∈B或n≤8． 当n≥9时，∵2，5∈B，2×5＝10，∴10∈A或n≤9． 当n≥10时，∵8，10∈A，8＋10＝18，∴18∈B或n≤17． 设n≥18时，由于2，9，18∈B，2×9＝18，所以产生矛盾！ ∵3∈A时，n≤17．

当n≥6时，∵1，6∈A，1＋5＝6，1＋6＝7，∴5，7∈B或n≤6． 当n≥7时，∵2，5，7∈B，2×5＝10，2×7＝14． ∴10，14∈A或n≤13．

当n≥14时，∵6，14∈A，6＋8＝14，∴8∈B．

∵2，8∈B，2×4＝8，∴4∈A．但4，6，10∈A，4＋6＝10，矛盾！ ∴当3∈B时，n≤13．

（3）若1∈A，2∈A，不防假设n≥18，则由1＋2＝3知3∈B． 当4∈B时，∵3，4∈B，3×4＝12，∴12∈A． ∵2，12∈A，2＋10＝12, ∴10∈B

∴3,10∈B，3×10＝30, ∴30∈A或n≤29．

当n≥30时，∵2，12，30∈A，2＋28＝30，12＋18＝30， ∴18，28∈B．

∵3，18∈B，3×6＝18，∴6∈A．∵4，28∈B，4×7＝28，∴7∈A． 但1，6，7∈A，1＋6＝7，矛盾！故n≤29． 当4∈A时，∵1＋4＝5，2＋4＝6，∴5，6∈B． ∵3，5，6∈B，3×5＝15，3×6＝18，∴15，18∈A． ∵4，15∈A，∵4＋11＝15，∴11∈B．

若n≥33，∵15，18∈A，15＋18＝33，∴33∈B．

∵3，11∈B，3×11＝33，∴33∈A，与33∈B矛盾！故n≤32． （1）、（2）、（3）说明：nmax≤32． （4）使n＝32成立的例子有：

A＝{1，2，4，15，18，21，24，27，30}，B＝{1，2，3，…，32}/A．

其中，A中1＋2＝3，1＋4＝5，2＋4＝6，而任意一个不小于15的数加上另一个数，或者大于30，或者大于15且不是3的倍数，这些都不属于A．

再考虑B中，若取出的两数的积在33以内，则两数中必有3或6（否则，若3与6均不在其中，则两数之积不小于5×7＞32），易知此积必为不小于15的3的整倍数，但这些都不在B中．

由此上述例子成立．综上可知：nmax＝32．

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