2015-2016学年广东省东莞市高二下学期期末考试理科数学试题（A卷）

2015—2016学年度第二学期教学质量检查

高二理科数学（A卷）

考生注意：本卷共三大题，22小题，满分150分. 考试用时120分钟.

?x?a??b?中系数计算公式： 参考公式：最小二乘估计线性回归方程y??b

?(x?x)(yii?1nii?1ni?y)?2?xyii?1ni?nx?y?nx2?(x?x)2?xi?1n?x，其中x，y表示样本均值. ??y?b，a2in(ad?bc)2 随机变量K?其中n?a?b?c?d为样本容量.

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)P(K2?k) k 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 [学科0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 第Ⅰ卷 选择题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支

正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．

1.复数z?i?i的实部与虚部分别是（ ）

A.?1,1 B.1,?1 C.1,1 D.?1,?1

2.对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据?x1,y1?，

2?x2,y2?,...,?xn,yn?，则下列说法中不正确的是（ ） ．．．

??0.52x?a?，则y与x具有正相关关系 A．若在最小二乘法原理下得到回归直线方程y B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适 D．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好

3.向量的运算常常与实数运算相类比，下列类比推理中结论正确的是（ ）

???????? A.“若ac?bc(c?0),则a?b”类比推出“若a?c?b?c(c?0),则a?b” ??????? B.“在实数中有?a?b?c?ac?bc”类比推出“在向量中a?b?c?a?c?b?c”

???????? C.“在实数中有?ab?c?a?bc?”类比推出“在向量中?a?b??c?a??b?c?”

2?????? D.“若ab?0，则a?0或b?0”类比推出 “若a?b?0，则a?0或b?0”

4．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程3x?4ax?5b?0至少有一个实根”时，要做的假

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设是（ ）

A．方程3x?4ax?5b?0没有实根 B．方程3x?4ax?5b?0至多有一个实根 C．方程3x?4ax?5b?0至多有两个实根 D．方程3x?4ax?5b?0恰好有两个实根

5．已知随机变量?服从正态分布N(5,9)，若p(??c?2)?p(??c?2)，则c的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7

6．已知具有线性相关关系的变量y与x之间的一组数据：

2222x y 1 2 2 4 3 6 4 8 5 5 ?x?0.5；可估计当x?6时y的值为（ ） ??b若由最小二乘法原理得到回归方程y A．7.5 B．8.5 C．9.5 D．10.5

7.若弹簧所受的力F与伸缩的距离按胡克定律F?kl（k为弹性系数）计算,且10N的压力能使弹簧压缩10cm；为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置8cm处，则克服弹力所做的功为（ ） A．0.28J B.0.12J C.0.26J D.0.32J 8．若(3x?1n)(n?N*)的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S,若P?S?272,xn1?????上的最小值为（ ） 则函数f(x)??3x??在?0，x?? A．144 B．256 C．243 D．643

9．若3位老师和3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（ ） ．．．．

1112 B. C. D. 201055310．经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取10件，设取得合格产品的件数为?，则

4 A.

P(??k)取得最大值时k的值为（ ）

A.6 B.7 C.8 D.9

?ax2?1,x?0（1,2）11．已知函数f(x)??在点处的切线与f(x)的图象有三个公共点，则b2??4x?x?b,x?0的取值范围是（ ）

A．[?8,?4?25) B．(?4?25,?4?25) C．(?4?25,?8] D．(?4?25,??8]

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12.设函数f(x)?x?ax?a，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)?1，则a的取值范围是（ ） ex A.?1,2? B.?1,?e?1??2e? C.?1,? D.?1,2? ??2??3? 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上． 13．用0，2，4，8这四个数字能组成 个没有重复数字的四位数.

14.已知函数f(x)?3x?x3，当x?a时f(x)取得极大值为b，则a?b的值为_________．

lnx,x?0?1m?4?2m215.设f(x)??若f(f(1))?8则(x?)展开式中常数项为_________.

x??3tdt,x?0x?0?16．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图

所示的三角形数：

13610

将三角形数1，3，6，10，?记为数列?an?，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列?bn?，可以推测：

（1）b5?_________； （2）b2n?1?______________________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）

复数z?(1?i)a?3a?2?i(a?R)，且z的共轭复数记为z． （1）若z?z，求|z|；

（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围．

18．（本小题满分12分）

某市教育局委托调查机构对本市中小学使用“微课掌上通”满意度情况进行调查。随机选择小学和中学各50所学校进行调查，调查情况如下表： 评分等级 ☆ ☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ 小学 2 7 9 20 12 y x 中学 18 12 8

（备注：“☆”表示评分等级的星级，如“☆☆☆”表示3星级.）

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2（1）从评分等级为1星级的学校中随机选取两所学校，恰有一所学校是中学的概率为数x，y的值；

3，求整5（2）规定：评分等级在4星级及以上（含4星级）为满意，其它星级为不满意．完成下列2×2列联表并帮助教育局判断：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用“微课掌上通”满意度与学校类型有关系？

学校类型 小学 中学 总计 满意 不满意 总计 50 50 100 注意：请将答案填入答题卡中的表格.

19.（本小题满分12分）

“莞马”活动中的?机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件.

（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X，求X的分布列及数学期望；

（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记?为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求?的分布列及数学期望．

20.（本小题满分12分）

已知f(x)?lnx?ax?ax?5，a?R.

（1）若函数f(x)在x?1处有极值，求实数a的值；

（2）若函数f(x)在区间(0,??)内单调递增，求实数a的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知f(x)?ln(x?1)?2ax(a?R). x?1（1）求证：当a?1且x?0时，f(x)?0恒成立；

（2）设正项数列?an?满足a1?1，an?ln(an?1?1)(n?2)，求证：22.（本小题满分12分）

设f(x)?e?ax，g(x)?kx?1(a?R,k?R),e为自然对数的底数.

（1）若a?1时，直线y?g(x)与曲线y?f?(x)相切（f?(x)为f(x)的导函数），求k的值； （2）设h(x)?f(x)?g(x)，若h(1)?0，且函数h(x)在(0,1)内有零点，求a的取值范围.

x213?an?(n?N*). nn?2第 4 页 共 9 页

A卷参考答案 一、选择题: 1 A 2 D 3 B 4 A 5 B 6 C 7 D 8 A 9 C 10 C 11 D 12 B 二、填空题:13． 18； 14. -1； 15． 15； 16． 105（2分） ； 三、解答题: 17解：（1）z?a2?3a?2?(1?a2)i ??????????1分；

2由z?z知1?a?0，故a??1 ??????????2分；

5n(5n?1) 2当a?1时, z?0 ??????????3分； 当a??1时,z?6 ??????????4分； 所以|z|?0或|z|?6 ??????????5分； ?a2?3a?2?0?（2）由已知得,复数的实部和虚部均大于0,所以有：? ????????7分；

2??1?a?0a?2或a?1即?, 解得：?1?a?1 ??????????9分； ???1?a?1所以实数a的取值范围是(?1,1). ??????????10分； 18题解析：（1）因为从1星级的2?x人中随机选取2人，

2 共有Cx?2?(x?2)(x?1)种结果， ??????????1分；

211其中恰有1所学校是中学的共有C2Cx?2x种结果， ??????????2分；

故

2x3?．解得：x?3 ??????????3分；

(x?2)(x?1)52所以y?50?3?18?12?8?9 ??????????4分；

（2） 学校类型 小学 中学 总计 满意 32 20 52 不满意 18 30 48 总计 50 50 100 （有错得2分） ??????????7分；

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