《 解三角形》单元测试卷

《解三角形》单元测试卷

一、选择题

1．己知三角形三边之比为5：7：8，则最大角与最小角的和为（ ） 90° 135° A． B．1 20° C． D．1 50° 2．在△ABC中，下列等式正确的是（ ） A． a：b=∠A：∠B B．a ：b=sinA：sinB C． a：b=sinB：sinA D．a sinA=bsinB 3．若三角形的三个内角之比为1：2：3，则它们所对的边长之比为（ ） A． 1：2：3 B．1 ：：2 C． 1：4：9 D．1 ：： 4．在△ABC中，（ ） A． B． C． D．以 上都不对 或 5．已知△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，那么满足条件的△ABC的形状大小（ ） A． 有一种情形 B．有 两种情形 C． 不可求出 D．有 三种以上情形 6．在△ABC中，若a+b﹣c＜0，则△ABC是（ ） A． 钝角三角形 B．直 角三角形 C． 锐角三角形 2

2

2

D．都 有可能 7．在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a等于（ ） A． B．1 2 C． 或2 D．2 8．（2004?贵州）△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，a+c=2b，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（ ） A． B． C． D． 9．（2010?武昌区模拟）某人朝正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好，那么x的值为（ ） A． B．2 C． D．3 2或 10．有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°，若AB=120米，则电视塔的高度为（ ） A． B．6 0米 C． D．3 0米 60米 60米或60米 二、填空题 11．在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，a=10，b= _________ ．

12．在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，c=，则b= _________ ．

13．在△ABC中，A=60°，a=3，则

= _________ ．

14．在△ABC中，若a+b＜c，且sin C=

15．平行四边形ABCD中，AB=4，AC=4，∠BAC=45°，那么AD= _________ ．

16．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则最大角的余弦值= _________ ．

三、解答题

17．已知在△ABC中，，求角C．

18．在△ABC中，已知，c=1，B=60°，求a，A，C．

19．根据所给条件，判断△ABC的形状． （1）acosA=bcosB； （2）

=

=

．

2

2

2

，则∠C= _________ ．

20．△ABC中，己知∠A＞∠B＞∠C，且∠A=2∠C，b=4，a+c=8，求a，c的长．

21．在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A．B、C，且sin2A+sin2C-sinA?sinC=sin2B （1）求角B的值；

（2）求2cos2A+cos（A-C）的范围．

22．已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC?sinBsinC＝1/2

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a＝23， b+c＝4，求△ABC的面积．

《解三角形》单元测试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1．己知三角形三边之比为5：7：8，则最大角与最小角的和为（ ） 90° 135° A． B．1 20° C． D．1 50° 考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数． 专题： 解三角形． 分析： 设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得cosθ 的值，从而求得θ 的值，则最大角与最小角的和为180°﹣θ． 解答： 解：设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得 49=25+64﹣80cosθ， 解得 cosθ=，∴θ=60°，则最大角与最小角的和为180°﹣60°=120°， 故选B． 本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，体现了转化的数学思想，属于中档题． 点评： 2．在△ABC中，下列等式正确的是（ ） A． a：b=∠A：∠B B．a ：b=sinA：sinB C． a：b=sinB：sinA D．a sinA=bsinB 解答： 解：在三角形BAC 中，由正弦定理可得 a：b=sinA：sinB， 故选B． 3．若三角形的三个内角之比为1：2：3，则它们所对的边长之比为（ ） A． 1：2：3 B．1 ：：2 C． 1：4：9 D．1 ：： B 4．在△ABC中，（ ） A． B． C． D．以 上都不对 或 考点： 正弦定理． 专题： 计算题． 分析： 由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可列出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c的值． 解答： 解：由，利用余弦定理得： =+c﹣22c×，即c﹣32c+10=0， 点评：

因式分解得：（c﹣2）（c﹣）=0，解得：c=2或． 故选C 此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．

5．已知△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，那么满足条件的△ABC的形状大小（ ） A． 有一种情形 B．有 两种情形 C． 不可求出 D．有 三种以上情形 考点： 正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： 由条件利用正弦定理可得 =，解得sinB=＞1，可得B不存在，从而得出结论． 解答： 解：已知△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，那么由正弦定理可得 =，解得sinB=＞点评： 1， 故B不存在， 故选C． 本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题． 2

2

2

6．在△ABC中，若a+b﹣c＜0，则△ABC是（ ） A． 钝角三角形 B．直 角三角形 C． 锐角三角形 考点： 三角形的形状判断． 专题： 计算题． 分析： D．都 有可能 利用余弦定理cosC=解答： 222即可判断． 解：∵在△ABC中，a+b﹣c＜0， ∴cosC=∴＜C＜π． ∴△ABC是钝角三角形． 故选A． 本题考查三角形的形状判断，考查余弦定理的应用，属于基础题． ＜0， 点评： 7．在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a等于（ ） A． B．1 2 C． 或2 D．2 考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 计算题． 分析： 由B的度数求出cosB的值，再由b与c的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值． 解答： 解：∵b=，c=3，B=30°， 222222∴由余弦定理b=a+c﹣2accosB得：（）=a+3﹣3a， 2整理得：a﹣3a+6=0，即（a﹣）（a﹣2）=0， 解得：a=或a=2， 则a=或2． 故选C 点评： 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．本题a有两解，注意不要漏解．

8．（2004?贵州）△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，a+c=2b，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（ ） A． 考点： 专题： 分析： 解答： B． C． D． 解三角形． 计算题；压轴题． 先根据等差中项的性质可求得2b=a+c，两边平方求得a，b和c的关系式，利用三角形面积公式求得ac的值，进而把a，b和c的关系式代入余弦定理求得b的值． 222解：∵a，b、c成等差数列，∴2b=a+c，得a+c=4b﹣2ac、 又∵△ABC的面积为，∠B=30°， 故由得ac=6． 222∴a+c=4b﹣12． 由余弦定理，得解得． ， ， 点评： 又b为边长，∴． 故选B 本题主要考查了余弦定理的运用．考查了学生分析问题和基本的运算能力． 9．（2010?武昌区模拟）某人朝正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好，那么x的值为（ ） A． B．2 C． D．3 2或 考点： 解三角形的实际应用． 专题： 计算题． 分析： 作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于x的方程即可求得x的值． 解答： 解：如图，AB=x，BC=3，AC=，∠ABC=30°． 2由余弦定理得3=x+9﹣2×3×x×cos30°． 解得x=2或x= 故选A．

点评： 考查解三角形的知识，其特点从应用题中抽象出三角形．根据数据特点选择合适的定理建立方程求解． 10．有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°，若AB=120米，则电视塔的高度为（ ） A． B．6 0米 C． D．3 0米 60米 60米或60米 考点： 解三角形的实际应用． 专题： 解三角形． 分析： 作出符合题意的图形，利用三角函数及勾股定理，即可求得结论． 解答： 解：如图所示，设电视塔的高度CD=h，∠CAD=45°，∠CBD=60°，∠ADB=90°，AB=120米， 则AD=h，BD=h， 222在Rt△ABD中，∵BD+AD=AB， ∴ 点评： 二、填空题 11．在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，a=10，b= 5 考点： 正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： 由条件利用正弦定理可得 ∴h=60米 故选A． 本题考查学生利用数学知识解决实际问题，考查方位角，考查学生的计算能力，属于中档题． ．

，由此求得b的值． ，即 解答： 解：在△ABC中，∵∠A=45°，∠B=60°，a=10，则由正弦定理可得 ， 解得 b=5， 故答案为 5． 本题主要考查正弦定理的应用，属于中档题． 点评： 12．在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，c=，则b= 2 ． 考点： 正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： 利用三角形内角和公式求得角C的值，再利用正弦定理求得c的值． 解答： 解：∵在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣A﹣B=30°． 再由c=，利用正弦定理可得 ，即 ，解得c=2， 点评： 故答案为 2． 本题主要考查三角形内角和公式、正弦定理的应用，属于中档题． 13．在△ABC中，A=60°，a=3，则

=

．

考点： 专题： 分析： 解答： 正弦定理；同角三角函数基本关系的运用． 计算题． 由A的度数求出sinA的值，利用正弦定理表示出比例式，再由a的值及求出的sinA，算出比例式的比值，根据比例的性质即可得到所求式子的值． 解：由A=60°，a=3， 根据正弦定理得：则=2． ==2， 点评： 故答案为：2 此题考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，以及比例的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 2

2

2

14．在△ABC中，若a+b＜c，且sin C= 考点： 专题： 分析： 解答： ，则∠C= ．

余弦定理． 计算题． 直接利用勾股定理，判断三角形的形状，通过sin C=222，求出∠C的值． ，所以∠C=． 解：因为在△ABC中，若a+b＜c，所以三角形是钝角三角形，∠C＞90°，又sin C=故答案为：． 点评： 本题是基础题，考查三角形的有关计算，勾股定理、余弦定理的应用，考查计算能力． 15．平行四边形ABCD中，AB=4，AC=4，∠BAC=45°，那么AD= 4 ． 考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 计算题；解三角形． 分析： 在△ABC中利用余弦定理，算出BC=4，再由平行四边形边的性质可得AD=BC=4解答： 解：∵△ABC中，AB=4，AC=4，∠BAC=45°， ∴根据余弦定理，得 ． BC=AB+AC﹣2AB?ACcos45°=96+48﹣2×∴BC=4 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=4 故答案为：4 222××=48 点评： 本题给出平行四边形的对角线和一边之长，再已知对角线与边的夹角的情况下求平行四边形的另一边长．着重考查了平行四边形的性质和余弦定理等知识，属于基础题．

16．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则最大角的余弦值= ﹣ ． 考点： 专题： 分析： 解答： 余弦定理． 计算题；解三角形． 根据题意结合正弦定理得a：b：c=2：3：4．设a=2k，b=3k，c=3k，利用余弦定理求出cosC之值，即得最大角的余弦值 解：∵△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4， ∴根据正弦定理，得a：b：c=2：3：4，可得c为最大边，角C是最大角 设a=2k，b=3k，c=3k（k＞0） ∴cosC===﹣ 即最大角的余弦值为﹣ 故答案为：﹣ 点评： 三、解答题

17．已知在△ABC中， 考点： 正弦定理． 专题： 计算题；解三角形． 分析： 由正弦定理可得本题给出△ABC的三个内角的正弦之比，求最大角的余弦值．着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题． ，求角C．

，把已知可求sinC，进而可求C = 解答： 解：∵由正弦定理可得∴sinC==点评： 18．在△ABC中，已知，c=1，B=60°，求a，A，C． 考点： 解三角形；正弦定理． 专题： 计算题． 分析： 由B的度数求出sinB的值，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，再由c小于b，根据大角对大边可得C小于B，由B的度数可得C的范围，进而利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数，由B和C的度数，利用三角形的内角和定理求出A的度数，发现A为直角，故由b和c的长，利用勾股定理即可求出a的长． 解答： 解：∵，c=1，B=60°， ∴C=60°或120° 本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基础试题 由正弦定理得：又c＜b，∴C=30°；…（6分） ∴A=180°﹣B﹣C=90°；…（8分）

，

∴△ABC为直角三角形，又b=∴根据勾股定理得：点评： ，c=1， ．…（11分） 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的内角和定理，勾股定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 19．根据所给条件，判断△ABC的形状． （1）acosA=bcosB； （2） 考点： 专题： 分析： =

=

．

三角形的形状判断． 解三角形． （1）△ABC中，由条件利用正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB，故有 sin2A=sin2B，可得2A=2B，或2A+2B=π，即A=B，或A+B=．由此可得，△ABC的形状． ，即 tanA=tanB=tanC，故有 A=B=C，（2）△ABC中，由条件利用正弦定理可得 解答： 由此可得结论． 解：（1）△ABC中，∵acosA=bcosB，由正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB，故有 sin2A=sin2B，∴2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或A+B=． ，则可得 C=，△ABC为直角三角形． 若A=B，△ABC为等腰三角形；若A+B=综上可得，△ABC为等腰三角形或直角三角形． （2）△ABC中，∵==，则由正弦定理可得 ，即 tanA=tanB=tanC， 点评： 20．△ABC中，己知∠A＞∠B＞∠C，且∠A=2∠C，b=4，a+c=8，求a，c的长． 考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 计算题；解三角形． 分析： 根据正弦定理得=，结合已经条件算出sin2C+sinC=2sin3C，利用两角和的正弦公∴A=B=C，故△ABC为等边三角形． 本题主要考查正弦定理的应用，判断三角形的形状，属于中档题． 式和二倍角公式化简整理，得8cosC﹣2cosC﹣3=0，解出锐角C的余弦值为．最后利用余弦定理建立关系式，结合a+c=8即可解出边a、c的长． 解答： 解：根据正弦定理==，得= 2∵b=4，a+c=8，∠A=2∠C， ∴=，可得sin2C+sinC=2sin（π﹣3C）=2sin3C 22∵sin2C=2sinCcosC，sin3C=sin（2C+C）=sin2CcosC+cos2CsinC=2sinCcosC+sinC（2cosC﹣1） 22∴2sinCcosC+sinC=2[2sinCcosC+sinC（2cosC﹣1）] 2结合sinC＞0，化简整理得：8cosC﹣2cosC﹣3=0， 解之得cosC=或cosC=﹣

∵∠A＞∠B＞∠C，得C为锐角， ∴cosC=﹣不符合题意，舍去 根据余弦定理，得cosC==， ∴综上，a、c的长分别为点评： =，解之得a=、． ，c=8﹣a= 本题给出△ABC的最大角等于最小角的2倍，最大边与最小边之和等于第三边的2倍，求边a、c的长．着重考查了三角恒等变换和利用正余弦定理解三角形的知识，属于中档题． 21.(1)B=

? (2)(0,2] 322(1)120度．(2)S=3

∵∠A＞∠B＞∠C，得C为锐角， ∴cosC=﹣不符合题意，舍去 根据余弦定理，得cosC==， ∴综上，a、c的长分别为点评： =，解之得a=、． ，c=8﹣a= 本题给出△ABC的最大角等于最小角的2倍，最大边与最小边之和等于第三边的2倍，求边a、c的长．着重考查了三角恒等变换和利用正余弦定理解三角形的知识，属于中档题． 21.(1)B=

? (2)(0,2] 322(1)120度．(2)S=3

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