第三章一元函数积分学及其应用

第三章 一元函数积分学及其应用 ................................................................................................. 1

3.1 定积分的概念、性质、可积准则 .................................................................................... 1

3.1.1 定积分问题举例 ..................................................................................................... 1 3.1.2 定积分的概念 ......................................................................................................... 3 3.1.3 定积分的几何意义 ................................................................................................. 3 3.1.4 可积准则 ................................................................................................................. 4 3.1.5 定积分的性质 ......................................................................................................... 5 3.2 微积分基本定理 ................................................................................................................ 6

3.2.1 牛顿－莱布尼兹公式 ............................................................................................. 6 3.2.2 原函数存在定理 ..................................................................................................... 8 3.3 不定积分 .......................................................................................................................... 10

3.3.1 不定积分的概念及性质 ....................................................................................... 10 3.3.3 基本积分公式 ....................................................................................................... 11 3.3.3 积分法则 ............................................................................................................... 12 3.4 定积分的计算 .................................................................................................................. 22

3.4.1 定积分的换元法 ................................................................................................... 22 3.4.2 定积分的分部积分法 ........................................................................................... 25 3.5 定积分应用举例 .............................................................................................................. 26

3.5.1 总量的可加性与微元法 ....................................................................................... 26 3.5.2 几何应用举例 ....................................................................................................... 27 3.5.3 物理、力学应用举例 ........................................................................................... 36 3.5.4 函数的平均值 ....................................................................................................... 40 3.6 反常积分 .......................................................................................................................... 40

3.6.1 无穷区间上的反常积分 ....................................................... 错误！未定义书签。 3.6.2 无界函数的反常积分 ........................................................................................... 41 3.6.3 反常积分的审敛法 ?函数 ................................................................................. 43

习题课四 ...................................................................................................................... 56 习题课5 ....................................................................................... 错误！未定义书签。

第三章 一元函数积分学及其应用

3.1 定积分的概念、性质、可积准则 3.1.1 定积分问题举例

1. 曲边梯形的面积

设y?f(x)在区间[a,b]上非负、连续。由直线x?a、x?b、y?0及曲线y?f(x)所围成的图形（如图3-1）称为曲边梯形，其中曲线称为曲边。

图3－1

我们将[a,b]划分成为许多小区间，在每个小区间上任取一点以函数在该点的函数值作为这个小区间上的窄曲边梯形的变高，则每个小窄曲边梯形的可近似地看成小窄矩形。从而将这些小窄矩形的面积之和作为曲边梯形的面积的近似值，并把区间[a,b]无限细分下去，即使每个小区间的长度趋于零，这时所以窄矩形面积之和的极限就可以定义为曲边梯形的面积。这个定义同时也给出了计算曲边梯形面积的方法，想详述于下：

（1）划分：在区间[a,b]中任意插入若干个个分点

a?x0?x1???xn?b

把区间[a,b]分成n个小区间

[x0,x1],[x1,x2],?,[xn?1,xn]，

它们的长度为?xi?xi?xi?1i?1,2,?,n，经过每一个分点处作平行于y轴的直线段，

把曲边梯形分成n个窄曲边梯形。

（2）取点：在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点?i，以[xi?1,xi]为底、f(?i)为高的窄矩形近似替代窄曲边梯形i?1,2,?,n。

（3）求和：把这样得到的n个窄曲边梯形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值，即

nA?f(?1)?x1?f(?2)?x2???f(?n)?xn??f(?i)?xi

i?1（4）求极限：记??max{?x1,?x2,?,?xn}，则上述条件可表示为??0。当??0时，取上述和式的极限便得曲边梯形的面积

A?lim?f(?i)?xi

??0i?1n类似地我们可以得到变速直线运动的路程

s?lim?v(?i)?ti

??0i?1n3.1.2 定积分的概念

换言之，如果由于划分的不同或取点的不同而导致积分和式的极限不同或极限不存在，

则f(x)在[a,b]上一定不可积。例如狄利克雷函数

?1,x为有理数D(x)??

0，x为无理数?当点选择为有理数时，其积分和为b?a，若选择无理数其积分和为0，由此可见积分和在

??0时无极限，从而D(x)在[a,b]不可积。

3.1.3 定积分的几何意义

在[a,b]上f(x)?0时，我们已经知道，定积分

?baf(x)dx在几何上表示由曲线

y?f(x)、两条直线x?a,x?b与x轴所围成的曲边梯形的面积：在[a,b]上f(x)?0时，

由曲线y?f(x)、两条直线x?a,x?b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，定积分

?baf(x)dx在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在[a,b]上f(x)即取得正值又取得负值

时，函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方（图3－2），此时定积分

?baf(x)dx表示x轴上方图形面积减去x轴下方图形面积所得之差。

图3－2

例1 已知函数f(x)在[a,b]上满足f(x)?0,f?(x)?0,f??(x)?0，试从定积分的几何意义，比较下述三个数的大小：

I1??f(x)dx，I2?f(b)(b?a)，I3?abb?a[f(a)?f(b)] 2

解 由题设可知，非负函数f(x)在[a,b]上单调减少且向

下凸，其图形如图3－3所示。由定积分的几何意义知，I1是曲边梯形ABCD的面积，I2是矩形ABDE的面积，I3是梯形ABDC的面积，故

I3?I1?I2。

图3－3

3.1.4 可积准则

例2 利用定义计算定积分

?10x2dx。

解 因为被积函数f(x)?x2在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分

与区间[0,1]的分法及点?i的取法无关。因此，为了便于计算，不妨把区间[0,1]分成n等份，分点为xi?i1,i?1,2,?,n?1；这样，每个小区间[xi?1,i]的长度?xi?,i?1,2,?,n；

nn取?i?xi,i?1,2,?,n。于是，得和式

i?1?f(?i)?xi???i?xi??xi?xi

i?1i?1n2nn2n2

?i?11n2??????3?ii?1n??nni?111?3?n(n?1)(2n?1) n61?1??1???1??)?2??6?n??n?当??0即n??时，取上式右端的极限。由定积分的定义，即得所要计算的积分为

1?1??1?12xdx?lim???x?lim1?2?????? ii?0??0i?1n??6nn????312n 由定积分的定义，我们很容易的得出定积分的近似计算公式

?bab?anb?af(x)dx??f(xi?1)?(y0?y1???yn?1)i?1nn

bb?af(x)dx?(y1?y2???yn)?an3.1.5 定积分的性质

例3 比较

?e01x2dx与?exdx的大小。

0221解 在区间[0,1]上有x?x，从而 ex?ex，故例4 证明：2e?14?10exdx

021??ex0222?xdx?2e2。

2证明 设f(x)?ex?x，x?[0,2]，则f?(x)?ex?x(2x?1)。

令f?(x)?0，得 x?1?(0,2) 21?1??2而f(0)?1,f???e4,f(2)?e2，即f(x)在[0,2]上，最大值为M?e，最小值为

?2?m?e

?14，从而

e(2?0)??ex0?1422?xdx?e2(2?0)

即

2e?14??ex022?xdx?2e2

例5 设f(x)在[a,b]上连续，f(x)?0，若

?baf(x)dx?0，证明f(x)?0。

证明 若f(x)不恒等于零，则存在x0?[a,b]，使得f(x0)?0，不妨设x0?(a,b)，

则由f(x)的连续性知，对??f(x0)，存在??0，使x?[x0??,x0??]?[a,b]时，2f(x0)f(x0)|f(x)?f(x0)|?，即f(x0)?，故

22

?baf(x)dx??x0??ax0??f(x)dx??x0??x0??x0??f(x)dx??bx0??f(x)dx

??与

x0??f(x)dx??x0??f(x0)dx??f(x0)?02?baf(x)dx?0矛盾，故f(x)?0。

例5 设f(x)在[0,1]上可微，且满足f(1)?2?120xf(x)dx，证明：存在??(0,1)，使得

图3-6

由于不定积分是f(x)原函数的全体，所以在几何上它表示一族曲线，称为积分曲线族。 由不定积分的定义，可得下列性质：

ddx??f(x)dx??f(x),或 d??f(x)dx??f(x)dx;

?F?(x)dx?F(x)?C,或记作 ?dF(x)?F(x)?C.

由此可知不定积分与导数在忽略常数的意义下互为逆运算。

3.3.3 基本积分公式

由上面可知积分是导数的逆运算,因此容易从导数公式得到积分公式 ① kdx?kx?C(k是常数)

?

x??1② ?xdx??C(??1)

??1?dx?ln|x|?C, ③ ?x⑤ ⑦ ⑨

ax?C ④ ?adx?lnax?edx?exx?C

⑥ ⑧ ⑩

?cosxdx?sinx?C

dx2?cos2x??secxdx?tanx?C

?sinxdx??cosx?C

dx2?csc?sin2x?xdx??cotx?C

?secxtanxdx?secx?C

(11)cscxcotxdx??cscx?C

? (12)

??dx1?x2?arcsinx?C

(13)

dx?1?x2?arctanx?C

(14)sinhxdx?coshx?C

(15)coshxdx?sinhx?C

?例4 求

dx?x3.

dxx?3?11?3?C??2?C. 解 ?3??xdx?x?3?12x3.3.3 积分法则

(x?1)2例5 求?dx. 3x解

?(x?1)2x?2x?13312633363dx?dx?(x?2x?x)dx?x?x?x?C. ?3x?3x?572x例6 求(e?3cosx)dx.

211572?xxx解 (e?3cosx)dx?edx?3cosxdx?e?3sinx?C.

???xx例7 求2edx.

?(2e)x2xex解 ?2edx??(2e)dx??C??C.

ln(2e)1?ln2xxx有时被积函数未必是标准形式,这时需要将被积函数变形.

x4dx. 例8 求?21?xx4x4?1?1(x2?1)(x2?1)?1dx??dx??dx 解 ?1?x21?x21?x2

1?????x2?1?dx2?1?x????x2dx??dx??

2例9 求tanxdx.

113dx?x?x?arctanx?C. 21?x3?222解 tanxdx?(secx?1)dx?secxdx?dx?tanx?x?C.

????例10 求

dx?sin2xcos2x.

解

dx?sin2xcos2x

2．积分形式不变性（凑分法） 例11 求2cos2xdx.

解 令u?2x,则cos2x?cosu,于是

??2cos2xdx??cos2x?2dx??cos2x?(2x)?dx??cosudu?sinu?C,

再以u?2x代入,即得 2cos2xdx?sin2x?C.

?1?3?2xdx.

11dudu?,u?3?2x.这里缺少?2这样一个因子,但由于解 被积函数是个

3?2xudxdx例12 求

常数,故可改变系数凑出这个因子:

11111???2??(3?2x)?,

3?2x23?2x23?2x从而令u?3?2x,便有

11111?dx??(3?2x)dx??3?2x?23?2x?2?udu.

11?ln|u|?C?ln|3?2x|?C2211一般地,对于积分 ?f(ax?b)dx??f(ax?b)d(ax?b)??f(u)dx.

u?ax?baa??演练熟以后,就可以不用写出中间变量. 例13 求解

x?2xedx.

2222xx2x2xedx?ed(x)?e?C. ??例14 求解

?tanxdx.

sinx?1dx??d(cosx)??ln|cosx|?C. cosxcosx?tanxdx??类似可得例15 求

?cotxdx?ln|sinx|?C.

1?x?1????a?1a?1?x?1????a?x1x?arctan?C. aaa1?a2?x2dx.

解

11dx??a2?x2?a2?dx?2d2例16 求

?dxa?x22(a?0).

解

?dxa?x22??1adx?x?1????a?2??xxa?arcsin?C.

2a?x?1????a?d例17 求

1?x2?a2dx.

解

11?11?1?11?dx??dx?dx?dx???? ?x2?a2???2a?x?ax?a?2a?x?ax?a?

1?11?d(x?a)?d(x?a)??x?a?2a??x?a?1(ln|x?a|?ln|x?a|)?C ? 2a1x?a?ln?C.2ax?a?例18 求

dx?x(1?2lnx).

解

dlnx1d(1?2lnx)1dx???x(1?2lnx)?1?2lnx2?1?2lnx?2ln|1?2lnx|?C.

例19 求解

?sin33xdx.

?sin

xdx??sin2xsinxdx???(1?cos2x)d(cosx)

?

1??d(cosx)??cos2xd(cosx)??cosx?cos3x?C.

3例20 求

4cos?xdx.

1?1?cos2x?2解 ?cosxdx????dx??(1?2cos2x?cos2x)dx

24??42???11?cos4x13cos4x(1?2cos2x?)dx?(?2cos2x?)dx ??424221?31?dx?2cos2xdx?cos4xdx???4?2??2?1?311?x?cos2xd(2x)??cos4xd(4x) ????4?224?311?x?sin2x?sin4x?C.8432

例21 求

?cscxdx.

解

?cscxdx??

1dxdx????xxxxsinx2sincostancos22222xdtan2?ln|tanx|?C. ??x2tan2dx2

或者

?cscxdx??sin

dxsinxdxdcosx11?cosx??????ln?C. 22?sinxsinx1?cosx21?cosxxx2sin2x2?2?1?cosx?cscx?cotx, 由于tan?2cosxsinxsinx2所以上述不定积分,也可以表示为

?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C.

类似可得

?secxdx?ln|secx?tanx|?C.

对于三角函数表达式,如果包含立方项,分出一个一次方项送进d,剩余的平方项使用三角恒等

式化简为一次式;如果包含平方项直接使用三角恒等式化简为一次式;如果是一次项的乘积,使用积化和差公式.

例22 求解

?sec6xdx.

222226?(secx)secxdx?(1?tanx)dtanx secxdx???

??(1?2tan2x?tan4x)dtanx

2315?tanx?tanx?tanx?C.35

例23 求解

?tan5xsec3xdx.

4253?tanxsecxsecxtanxdx tanxsecxdx????(sec2x?1)2sec2xdsecx

?642(secx?2secx?secx)dsecx ?121?sec7x?sec5x?sec3x?C.753

例24 求

?cos3xcos2xdx.

移项后得

3sec?xdx?1(secxtanx?ln|secx?tanx|)?C. 2

例39 求In?dx?(x2?a2)n,其中n为正整数.

解 当n?1时有

dxxx2?(x2?a2)n?1?(x2?a2)n?1?2(n?1)?(x2?a2)ndx???x1a?2(n?1)?dx.22n?122n???(x2?a2)n?1(x?a)(x?a)??2

即

In?1?x2?2(n?1)(I?aIn), n?122n?1(x?a)于是

??1x2In?2?(2n?3)In?1?. ?22n?12a(n?1)?(x?a)?1xarctan?C,即可得In. aa由此作递推公式,并由I1?

例40 求edx.

?x2解 令x?t,则x?t,dx?2tdt.于是 edx?2tedt.

?x?t利用例2的结果,并用t?

而e

x代回,便得所求积分:

?e

xdx?2?tetdt?2et(t?1)?C

?2ex(x?1)?C.

2?x例42 已知f(x)的一个原函数为e，求xf?(x)dx。

?解

?x2?xf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)??f(x)dx

f(x)dx?e?x?c

2是f(x)的一个原函数，则

?从而 则

2?x?x?xf(x)dx??2xe?e?c ?22

f(x)??2xe?x

2作业 （定义）1，（基本公式）4奇数，（换元法）8偶数（分部积分）9 奇数，10 偶数 11 奇数，12，15，16

3.4 定积分的计算 3.4.1 定积分的换元法

例1 计算

?a0a2?x2dx(a?0).

解 设x?asint，则dx?acostdt，且 当x?0时，t?0；当x?a时，t??。 2?于是

?a?0a?xdx?a222?20a2costdt?22?20(1?cos2t)dt2a?2

换元公式也可以反过来用。

?2?1?2?at?sin2t??.?24??0?

例2 计算

?20cos5xsinxdx。

解 设t?cosx，则dt??sinxdx，且 当x?0时，t?1；当x??2时，t?0。

于是

?t6?1552cosxsinxdx??tdt???。 ?6??0?16??00?1我们也可以不需要明显的写出新变量，从不需要变更积分的上、下限，比如：

???

?20cosxsinxdx???520?cosx?211cosxd(cosx)?????(0?)? ?666??056例3 计算解

?0?0sin3x?sin5xdx。 sinx?sinxdx??35???0sinxcosxdx??32?0sin3x|cosx|dx

?0??2sin3xcosxdx???sin3xcosxdx2??????420sinxd(sinx)???sin3xd(sinx)23?22(sin5x)|02?(sin5x)|??552224(1?0)?(0?1)?555?

例4 计算

?0x?2dx. 2x?1

t2?1,dx?tdt，且 解 设2x?1?t，则x?2当x?0时，t?1；当x?4时，t?3

于是

?40t2?1?2333x?211t2223dx??2tdt??(t?3)dt?(?3t)|1?

11t22332x?1aa例5 证明

（1）若f(x)在[?a,a]上连续且为偶函数，则 （2）若f(x)在[?a,a]上连续且为奇函数，则 证 因为

???aaf(x)dx?2?f(x)dx

0?af(x)dx?0

?对积分

a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

?a00a?0?af(x)dx作变换x??t，则得

?a?a0?af(x)dx???f(?t)dt??f(?t)dt??f(?x)dx

a00aaa0aa于是

?f(x)dx??f(?x)dx??f(x)dx??[f(x)?f(?x)]dx

000（1）若f(x)为偶函数，则f(x)?f(?x)?2f(x)，从而（2）若f(x)为奇函数，则 f(x)?f(?x)?0，从而

?a?af(x)dx?2?f(x)dx

0a?a?af(x)dx?0

当计算对称区间上得积分时，我们可以首先考虑被积函数是奇函数还是偶函数，我们可以

利用此题进行简化。

例6 若 f(x)在[0,1]上连续，证明

??

（1）（2）

?20f(sinx)dx??2f(cosx)dx；

0??0xf(sinx)dx??2?0?f(cosx)dx，由此计算??0xsinxdx. 21?cosx证 （1）设x??2?t，则dx??dt，且

当x?0时，t?于是

???；当x?时，t?0。 220?20f(sinx)dx????f(sin(?t)dt22?0??0

??2f(cost)dt??2f(cosx)dx （2） 设x???t，则dx??dt，且

当x?0时，t??；当x??时，t?0。 于是

??0xf(sinx)dx???(??t)f[sin(??t)]dt?0??(??t)f(sint)dt0????f(sint)dt??tf(sint)dt00??

???f(sinx)dx??xf(sinx)dx,00??所以

?0

?xf(sinx)dx??2?0?f(cosx)dx

利用上述结论，即得

??0xsinx??sinx??d(cosx)dx?dx?? 222??001?cosx21?cosx21?cosx??[arctan(cosx)]?02

??????2???????.2?44?4

例7 设函数

??xe?x,?f(x)??1,??1?cosx计算

2x?0,?1?x?0,

?41f(x?2)dx.

解 设x?2?t，则dx?dt，且 当x?1时，t??1，当x?4时，t?2

于是

?41f(x?2)dx??f(t)dt???102221dt??te?tdt?11?cost002t???12???tan???e?t??2??1?2?0111?tan?e?4?.222

3.4.2 定积分的分部积分法

例8 计算解

120?arcsinxdx.

120120?120arcsixdxn?[xarcsix]n??x1?x12dx

1??322 ???[1?x]0???1。

26122

例9 计算

?e01xdx.

2解 先用换元法，令x?t，则x?t,dx?2tdt，且

当x?0时，t?0；当x?1时，t?1。

于是

?10exdx?2?tetdt?2?tdet00t?2([tet]1?e0?0dt)

111?2(e?[et]10?2[e?(e?1)]?2.

例10 证明定积分公式

???n2?In??sinxdx???cosxdx??0??31??n?1n?3 ??????,n为正偶数??nn?2422???n?1?n?3???4?2,n为大于1的正奇数.?53?nn?220n? 证

?S?dS?2?f(x)ds?2?f(x)1?[f?(x)]2dx

这就是旋转体侧面积的微元，于是得到旋转体侧面积的计算公式

bbS??2?f(x)ds?2??f(x)1?[f?(x)]2dx

aa

类似可得，由曲线x?g(y)(g(y)?0),y?c,y?d及y轴所围曲边梯形绕y轴旋转，

所得旋转体的侧面积公式

S?2??g(y)1?[g?(y)]2dy

cd

图 3-23

例10 设有曲线y?

图3－24

x?1，过原点O(0,0)作其切线，求此切线与曲线及x轴围成的

平面图形绕x轴旋转一周，所得到旋转体的全面积（图3-24）

解 y??11，则该曲线过原点的的切线为y?x，将(x0,x0?1)代入，2x?12x0?1解得x0?2，于是切点为(2,1)，切线方程为y?由曲线y?

1x。 2x?1(1?x?2)绕x轴旋转一周所得旋转面的面积

2211S1?2??y1?y?2dx???4x?3dx??6(55?1)

由直线段y?1x(0?x?2)绕x轴旋转一周所得到旋转面的面积 2

S2?2??2115x?dx?5? 22因此，所求旋转体的全面积为

S?S1?S2??6(115?1)

3.5.3 物理、力学应用举例

1． 作功问题

假设物体在变力F(x)的作用下，沿x轴由点a移动到点b（图3－25），这里力函数

F(x)连续。

图3－25

任取[a,b]的一个子区间[x,x?dx]，由于dx很小，F(x)在[x,x?dx]上可视为不变，用F(x)在点x的值近似代替F(x)在[x,x?dx]上的值，这样F(x)在[x,x?dx]上所作的功?W近似地等于dW?F(x)dx，即

?W?dW?F(x)dx

dW为功的微元，于是，F(x)在[a,b]上所作的功为

W??F(x)dx

ab例11 把一个带?q电荷量的点电荷放在r轴上坐标原点O处，它产生一个电场。这个

电场对周围的电荷由作用力。由物理学知道，如果由一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为

F?kq(k为常数)。 r2如图3－26，当这个单位点电荷在电场中从r?a处沿r轴移动到r?b(a?b)处时，计算电场力

F对它所作的功。

解 在上述移动过程中，电场对这单位点电

荷的作用力是变的，取r为积分变量，它的变化区 图3－26

间为[a,b]。设[r,r?dr]为[a,b]上的一个小区间。当单位点电荷从r移动到r?dr时，电场力对它所作的功近似于

kqdr，即功元素为 2rkqdW?2

rdrb于是所求功为

kq?1??11?W??2dr?kq????kq???.

ar?r?a?ab?b 例12 一圆柱体的贮水桶高为5m，底圆半径为3m。桶内盛满了水。试问要把桶内的

水全部吸出需作多少功？

解 作x轴如图3－27所示。取深度x为积分变量。它的变化区间为[0,5]，相应于[0,5]上任一小区间[x,x?dx]的一薄层水的高度为dx。因此如x的单位为m，这薄层水的重力为9.8??3dx kN。把这薄层水吸出桶外需作的功近似地为

2dW?88.2??x?dx,

此即功元素。于是所求的功为

?x2?W??88.2?xdx?88.2???0?2?0

25?88.2???3462(kJ).255

2． 液体的静压力问题

图3－27

在水深为h处的压强为??gh，这里?为水的密度，g时重力加速度。如果有一面积

为A的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为P?p?A。

如果平板铅直的放置在水中，那么，由于水深不同的点处压强p不相等，平板一侧所

受的水压力就不能用上述方法计算。 例13 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水（图3－28(a)）。设桶的的半径为R，水的密度为?，计算桶的一个端面上所受的压力。

图3－28

解 桶的一个端面是圆片，所以现在要计算的是当水平面通过圆心时，铅直放置的一个半圆片的一侧所受到的水压力。

如图建立坐标系，则压力元素为

dP?2?gxR2?x2dx.

于是所求压力为

P??2?gxR2?x2dx???g?(R2?x2)1/2d(R2?x2)00RR2?g3?2????g?(R2?x2)3/2??R.33??0

3．引力问题

R

从物理学知道，质量分别为m1、m2，相距为r的量质点间的引力的大小为

F?Gm1m2, r2其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向。 如果要计算细棒对质点的引力，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的。且各点对质点的引力的方向也是变化的，因此就不能用上述公式来计算。

例14 设有一长度为l、线密度为?的均匀细直棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质

量为m的质点M。试计算该棒对质点M的引力。 解 取坐标系如图3－29所示，使棒位于y轴上，质点M位于x轴上，棒的中点为原点O。取y为积

分变量，它的变化区间为???ll?,?。设[y,y?dy]为?22??ll???2,2?上任一小区间。把细直棒上相应于??[y,y?dy]的一段近似地看成质点，其质量为?dy，

与M相距r?a2?y2。因此可以按照两质点间的

引力计算公式求出这段细直棒对质点M的引力?F的大小为

?F?Gm?dy， 22a?y

从而求出?F在水平方向分力?Fx的近似值，即细直棒对质点 图3－29

M的引力在水平方向分力Fx的元素为

dFx??Gam?dy(a2?y)322.

于是得引力在水平方向的分力为

Fx???

(a2?y) 2Gm?l1???.22a4a?ll2l?2Gam?322dy由对称性知，引力在铅直方向分力为Fy?0。

当细直棒的长度l很大时，可视l趋于无穷。此时，引力的大小为

2Gm?，方向与细直a棒垂直且由M指向细棒。

3.5.4 函数的平均值

例15 求全波整流电流i(t)?I0|sin?t|(I0?0)的平均值。 解 全波整流电流的周期T??，求周期函数的平均值指的是求一个周期上的平均值，??于是

?1T?I0?I02??I??I0|sin?t|dt?sin?tdt?(?cos?t)I 0T0??0??0_作业 (面积)1(2)(4)，2（3）（体积）5，6，7，10，13，15，17

3.6 反常积分

例1 计算反常积分

??dx???1?x2。

??

解

dx???????[arctanx]?limarctanx?limarctanx??????? ?????1?x2x???x???2?2?1的下方，x1?x2这个反常积分值的几何意义是：当a???、b???时，虽然图5－7中阴影部分向

左、右无限延伸，但其面积却有极限值?。简单地说，它是位于曲线y?轴上方的图形面积。

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