电大微积分初步期末复习题

1.定义域 -----

1?a?0,a?a?0,lna?a?0 a的定义域是5?x?0?x?5?x?(??,5)

f(x)?15?xf(x)?1x?2?0?x?2?x?2的定义域????x?(2,3)?(3,??) ???ln(x?2)?ln(x?2)?0?x?2?1?x?32?4?x?0??2?x?212?f(x)??4?x的定义域ln(x?2)?0??x?2?1?x?(?2,?1)?(?1,2]

??ln(x?2)?x?2?0??x??2?2.函数解析式 --- 先设t,解出x，代入原式整理成t的函数，最后再把t换成x

函数f(x?1)?x2?2x?7，解

设x-1?t?x?t?1,代入原式f(t)?(t?1)?2(t?1)?7?t?6?f(x)?x?6222

函数f(x?2)?x?6x?5，解

2设x?2?t?x?t?2,代入原式f(t)?(t?2)2?6(t?2)?5?t?2t?13?f(x)?x?2x?1322

3奇偶性 --- 奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称

e?x?ex2x?2?x22奇函数：y?，y?ln(x?1?x)，y?xsinx，f(x)?x

22e?x?ex10?x?10x偶函数：y?，y?xsinx，y?

224.间断点---分母为零的点等

x?32的间断点是令x?3x?2?0?x?1,x?2 2x?3x?2sinxsinaxasinx1?1，lim? 无穷小量：?0,limxsin?0）5．重要极限 lim极限为0（lim

x?0x?0x??x?0xsinbxbxxsin3x33sin6x6?2,求k。解：?2?k?。若lim?2求k。解：?2?k?3。 若limx?0x?0sinkxkxk2k函数f(x)?6.连续性----极限值limf(x)=函数值f(a)，方法：将分界点分别代入两个表达式，值相等

x?a2??连续?极限值＝函数值xsin?k,x?0?函数函数f(x)?? 在x = 0处连续，解： xlim?0?k?k;f(0)??1?k??1?x?0??1,?连续?极限值＝函数值?x?0,?ex?2,x?0函数f(x)??在x?0处连续. 解： 0x?0lim?e?2?1?2?3;f(0)?k?k?3?k,7.极限 分子分母同时分解因式，约分后，再代入

x2?x?2(x?1)(x?2)x?12?13.计算极限lim原式?lim?lim?? 2x?2x?2x?2(x?2)(x?2)x?22?24x?4(x?3)(x?3)x?33?363x2?9 lim2原式?lim?lim??? x?3x?2x?3x?3(x?3)(x?1)x?3x?13?1428.导数 复合函数求导：先对最外层关系求导，同时乘以内层函数的导数。二阶导数：求二次导

uu?v?uv?111?? (u?v)??u??v?,(uv)??u?v?uv?,()??,(5x)?5,()??,(x)?vxv2x22xy?3x?2(3x?2)?(2x?3)?(3x?2)(2x?3)?3(2x?3)?2(3x?2)5,y?? ??2222x?3(2x?3)2x?3)2x?3)1x1x1x1x1x111111y?x2e，y??(x2)?e?x2(e)??2xe?x2e()??2xex?x2ex(?2)?2xex?ex

xxf(x)?sin5x?cos3x,f?(x)?cos5x(5x)??3cos2x(cosx)??5cos5x?3sinxcos2x

3sinx3y?cosx?2?xx,xx?xy??sinx(x)??2lnx?x2??2xlnx?x

222xxx321y?sin(x?1)?21?xx,y??cos(x?1)(x?1)??(x22?121?1??x)??2xcos(x?1)?x2?x2

22212319.导数与微分 微分dy?f?(x)dx 可导(可微)必连续(极限值=函数值），连续不一定可导(可微)

y?e?sin2x,

1x1ey??(e)??(sin2x)??e()??cos2x(2x)???2?2cos2x,xxdy?(?321x1x1xe?2cos2x)dxx2111x

13sinx3(cosx)??x2?, dy?(x2?tanx)dx y?xx?lncosx, y??(x)??cosx2cosx210.导数应用 一阶导为0的点（f?(x)?0）叫驻点。可导函数的极值点一定是驻点，驻点不一

定是极值点。切线斜率=函数导数 k?f?(x0) 切线方程：y?y0?k(x?x0)

曲线f(x)?ex?1在(0,2)点的斜率 f?(x)?ex,k?f?(0)?e0?1 曲线y?x在点(1,1)处的切线方程 f?(x)??1212x,k?f?(1)?11，y?1?(x?1)

22曲线y?x在点(1,1)处的切线方程是x?2y?3?0

11.单调性 一阶导大于零，单调增加（上升）。一阶导小于零，单调减少（下降）。 函数y?x2?2x?7在区间(?2,2)上先减后增，函数y?(x?1)2在区间(?2,2)是先减后增 函数y?3(x?1)2的单调增加区间是(?1,??)。解：y??6(x?1)?0?x??1,x??1时y??0 12.导数积分互逆 最后一步是积分得+C,最后一步是d微分结果dx,最后一步是求导没附加

?f?(x)dx?f(x)?C，?df(x)?f(x)?C，d?f(x)dx?f(x)dx

2222df(x)dx?f(x) ?dx?dex=ex?C，?(sinx)?dx?sinx?C，d?e?xdx?e?xdx，(?lnsin5xdx)??lnsin5x

?F(x?)C f(x)叫F(x)的导数，F(x)叫f(x)的一个原函数 13.原函数 F?(x)?f(x)?f(x)dx若若

??f(x)dx?sin2x?c，则f(x)?(sin2x)??cos2x(2x)??2cos2x

11112是f(x)的一个原函数，求f?(x)?。f(x)?()???2,f?(x)?(?2)??3 xxxxx11214．凑微分公式 dx?d(ax?b),xdx?dx,sinxdx??d(cosx),cosxdx?d(sinx)

a2ex?d(ex)1dx?d(lnx)x11dx??d()2xx12xdx?dxax?1dax lna11f(2x?3)dx?f(2x?3)d(2x?3)?F(2x?3)+C ??221112222?xf(1?x)dx?f(1?x)(?2x)dxf(1?x)(1?x)dx?F(1?x2)?C ＝????2?2?21111101010?1(2x?1)dx?(2x?1)d(2x?1)??(2x?1)?C?(2x?1)11?C ??2211221111999?110(1?2x)dx??(1?2x)d(1-2x)???(1?2x)?C??(1?2x)?C ??22102011sincos111111 ?2xdx???sind?cos?c ?2xdx???cosd??sin?C

xxxxxxxx?sinxxdx=2?sinxdx??2cosx?c ?ex5?exdx??d(5?ex)5?exdx?25?ex?c

??(1?x)2xexdx= 2?(1?x)2d(x)?2?(1?x)2d(1?x)?1x12(1?x)3?C3

1xdx?2?edx?2exxe?1??c, ?2dx???exd????ex?C

x?x?b15.分部积分与定积分

?baf(x)dx=F(b)?F(a)?F(x)a ?udv?uv??vdu

?udv?uvabba??bavdu

?10xedx?xexx10??edx?e?e01xx10?1

?xf??(x)dx??xd[f?(x)]?xf?(x)??f?(x)dx?xf?(x)?f(x)?C

?ln20ex(1?ex)2dx??1?(1?ex)33ln20ln20(1?ex)2dex??ln20(1?ex)2d(1?ex)

1119?(1?2)3?(1?1)3?33310??101xexdx?xex??exdx?e?ex00110011?1

1110000xe?xdx???xe?xd(-x)???xd(e?x)??xe?x??e?xdx??e-1?e?x?1?2 e???20xedx?2xex2x220?2?edx?4e?4e02x2x220?4e?4e?4?4

?0?20?02?xsinxdx???2xdcosx??xcosx0?2cosxdx?sinx02?1

???0x11??1?sinxdx??xcosx??cosxdx??sinx? 2220222002-xcosxdx=xsinx0?sinxdx =

20??????20e?2?cosx02=

???1 2eee1eelnxdx?xlnx?xdlnx?e-x?dx?e?dx?e?x?1 11?1?1?1x?11e121e2121e212exlnxdx?lnxdx?xlnx?xdlnx?e-?x?dx1?1??11222221x

e111111111e?e2-?xdx?e2-x21?e2-e2??-e22212424444e16积分性质与广义积分

奇函数在对称区间的定积分为0, 偶函数的等于单侧区间定积分的2倍 1111132222(sinxcos2x?x)dx?sinxcos2xdx?xdx?0?2xdx??2?x x?1????1??1??1?033广义积分?af(x)dx?lim?af(x)dx，???f(x)dx?lim?af(x)dx，极限存在为收敛，不存在为发散

b???a???a?0??bbb???0e?axdx?0??01111ax?2x3x（收敛）?edx?（收敛）?edx? ?edx?

??0??aa2317.微分方程

微分方程中未知函数导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶.

未知函数及其各阶导数（或微分）都是一次的微分方程，称为线性微分方程。

形如

dy?f(x)g(y) 的微分方程称为可分离变量的微分方程. dx(y?)4?lny?y????sin2x为3阶微分方程. y(6)?xy????y??lnx?x3y?tanx为6阶 y??sinx?y?ex?ylnx是线性微分方程

dy?xy?y为可分离变量的微分方程. dxyx2?cosy?y?．y?y?yx?sinx. y???xy??lny不是线性微分方程

dydydy?x?y； ?xy?sinx； ?x(y?x)不是可分离变量的微分方程 dxdxdx微分方程y??y?1的通解为y?cex?1 微分方程y??3y?0的通解为y?ce?3x

x微分方程y??y,y(0)?1的特解为y?e

18.应用题

(1)欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 解：设土地一边长为x，另一边长为

216，共用材料为y x216432432?3x?于是 y=3x?2 y??3?2 令y??0得唯一驻点x?12 xxx因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为18时，所用

材料最省.

(2)用钢板焊接一个容积为4m的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，

3问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x，高为h，表面积为S，且有h?所以S(x)?x?4xh?x?224 x21616, S?(x)?2x?2 令S?(x)?0，得x?2， xx因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x?2,h?1时水箱的面积最小. 此时的费用为 S(2)?10?40?160（元）

(3)欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知xh?108,h?2108 2xy?x2?4xh?x2?4x?1084324322??x?y?2x??0，解得x?6是唯一驻点，且 令

xx2x2y???2?1082?432x?6x?6h??3时用料最省。，说明是函数的极小值点，所以当， ?0336xx?6(4)某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最

省？

解：设容器的底半径为r,高为h，则其表面积为S?2?r?2?rh?2?r?222V r S??4?r?2VVV33?S?0 由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用r?r?r22?2?材料最省，此时h?34V?。即当容器的底半径与高分别为r?3V4V和h?3时，用料最省。 2??(5)设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，

才能使圆柱体的体积最大。

解：设矩形的边长分别为x,y（厘米），则有2x?2y?120

又旋转成的圆柱体的体积为 V??xy??x(60?x) 求导得V??3?x(40?x) 令V??0得x?40,(x?0舍去）。

22V???3?(40?2x)x?40?0，说明x?40是极大值点，故当x?40,y?20厘米并以矩形短边为旋

转轴时可使圆柱的体积最大。

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