中考数学压轴题（五）平移问题

中考压轴题（五）

平移问题

平移性质——平移前后图形全等，对应点连线平行且相等。

一、直线的平移

k

x与双曲线y?（x?0）1、(2009武汉)如图，直线y?43x9x向右平移个单位后，与双曲交于点A．将直线y?432AOx?0）交于点B，与x轴交于点C，若?2，则线y?k（xBCk? ．

y A B O C x

2、（09年四川南充市）如图已知正比例函数和反比

3)． 例函数的图象都经过点A(3，（1）求正比例函数和反比例函数的解析式； （2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6，m)，求m的值和这个一次函数的解析式； （3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；

（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是

1

中考压轴题（五）

否存在点E，使四边形OECD的面积S与四边形OABD1的面积S满足：S1?2S3？若存在，求点E的坐标；若

不存在，请说明理由． y A 3 B O 3 C 6 x

D

提示:第（2）问，直线平行时，解析式中k值相等。 3、（2009年日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆． （1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时

2

中考压轴题（五）

△EMN的面积；

（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数； （3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．

G M D N C

A

提示：第（2）问，按MN分别在三角形、矩形区域内滑动分类讨论；

第（3）问，对（2）问中两种情况分别求最值，再比较得最值。 4、（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?6cm，CD?4cm，BC?BD?10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为（（0?t?5）．解ts）答下列问题：

（1）当t为何值时，PE∥AB？

（第3题图）

3

E B 中考压轴题（五）

（2）设△PEQ的面积为（cm），求y与t之间的函数关系式；

y2

（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ?2S△BCD25？若存在，

求出此时t的值；若不存在，说明理由．

（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．

E D A

Q P

B C F

提示：第（2）问，t=5时，点P、Q相遇；若没有0?t?5，则按P、Q相遇时间分段分类，分别画出图形，再根据图形性质写出面积函数关系式，此时，第（3）问要对第（2）问中分类情形，分别解方程求解。

第（4）问，随t的变化，PFCDE的形状在不断变化，t=0时为三角形，点P、Q相遇前为凸五边形，猜测五边形PFCDE的面积不变，则等于三角形BCD的面积，这样需证明三角形PED与三角形PBF面积相等，事实上△PED≌△FPB(DE=BP=t,∠EDP=∠PBF,DP=BF=10-t)

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中考压轴题（五）

5、（2009江西）

N A A A D D D

N P P F F F E E E

B C B C B C

M M 图1 图2 图3

A D A D （第25题）

F E F E

B C B C

图5（备） 图4（备）

如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB?4，BC?6，∠B?60?. （1）求点E到BC的距离； （2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM?EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP?x. ①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，

5

中考压轴题（五）

使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.

提示：第（2）①问，找特殊位置——点N

与点D重合时，易求周长；

第（2）②问，分三种情形，都要找图形的特性，△MNC恒为正三角形； （一）PN=PM时，PN⊥DC;

(二)PM=MN时，PM⊥EF，PM=MN=MC; (三)PN=MN时，PM⊥EF,P与F重合；

x?6分别与x轴、y6、（2009年长春）如图，直线y??34A且x与AB交于点C，轴交于A、B两点，直线y?5与过点4平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒

1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）．点E的运动时间为t（秒）．

（1）求点C的坐标．

（2）当0?t?5时，求S与t之间的函数关系式．（4分） （3）求（2）中S的最大值。

9?（4）当t?0时，直接写出点?4，??在正方形PQMN内部时2??

6

中考压轴题（五）

t的取值范围．

y D ?9?

（分析）（4）?4，?在正方形PQMN内部 即在QM 下?2?且在 QP右 Q M B C N P O E A x 7、（09湖南邵阳）如图（8），直线l的解析式为y??x?4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方形以每秒1个单

y轴分别相交于M、N两位长度的速度运动，它与x轴、

点，设运动时间为t秒（0?t≤4）． （1）求A、B两点的坐标；

（2）用含t的代数式表示△MON的面积S； （3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S，

①当2?t≤4时，试探究S与t之间的函数关系式； ②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S为△OAB面

12225积的16？

7

中考压轴题（五）

提示：第（3）问，按 重叠图形分段分类

y y l l B B ----------五边形、三角m m E P N P P F 形。 N O M A O x M A x 图8

二、三角形的平移 8、（2009威海）如图，△ABC和的△DEF是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点B与点D重合，点A,B(D),E在同一条直线上，将△ABC沿D?E方向平移，至点A与点E重合时停止．设点B,D之间的距离为x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，则准确反映y与x之间对应关系的图象是（ ）

9、（2009年济南）如图，点G、D、C在直线a上，点E、F、A、B在直线b上，若a∥b，Rt△GEF从如图所

8

中考压轴题（五）

示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合．运动过程中△GEF与矩形ABCD重合部分的．．．．面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（ ） G D C a D? D

A?C?C A E b

A B F

（第7题图） B

（第9题）

s s s s O t O t O t O t ABCD 10、（2009年山东青岛市）已知：如图，在?ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC． （1）求证：BE?DG；

（2）若?B?60°，当AB与BC满足什么数量关系时，

9

中考压轴题（五）

四边形ABFG是菱形？证明你的结论．

G A D

，

B C E F

第8题图

11、(2009年咸宁市)如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A?C?D?． （1）证明△A?AD?≌△CC?B；

（2）若?ACB?30°，试问当点C?在线段AC上的什么位置时，四边形ABC?D?是菱形，并请说明理由． 三、四边形的平移

8x?与直12、（2009年山西省）如图，已知直线l:y?2331线l:y??2x?16相交于点C，l、l分别交x轴于A、B两点．矩

形DEFG的顶点D、E分别在直线l、l上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合． （1）求△ABC的面积；

（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；

（3）若矩形DEFG从原地出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t(0≤t≤12)21212 10

中考压轴题（五）

秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

yl2 E C D l1y

提示：第（3）问，找准平移过程中的几个临界位置分段分类-----DG过点C，EF过点A；按重叠图形种类分段分类——五边形、四边形、三角形。 13、（2009年衡阳市）

A O B F （G） x y B D O M B y B y C A x O A x 图（2）

O A x 图（3）

如图，直线y??x?4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D． （1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；

（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为

图（1）

11

中考压轴题（五）

，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积

为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．

提示：第（3）问，按 重叠图形分段分类 ----------五边形、三角形。 14、（湖南2009年娄底市）如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3 （1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（图12）. 探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能， 请求出此时t的值；若不能，请说明理由.

探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系.

a（0?a?4)

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中考压轴题（五）

提示：探究2中平移临界位置---F与G重合，H与G重合。

四、圆的平移问题 15、（2009年江苏省）如图，已知射线DE与x轴和y0)和点E(0，4)．动点C从点M(5，0)出发，轴分别交于点D(3，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时

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中考压轴题（五）

间为t秒．

（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；

t个单位长（2）以点C为圆心、12度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点 （点A在点B的左侧），连接PA、PB．

①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围； ②当△PAB为等腰三角形时，求t的值． 提示：

第（2）①问，找特殊位置——A与D重合，⊙C

与射线相切

第（2）②问，分类讨论：方法一（解析法）——用勾股定理表示出PA、PB、AB的长，解方程求出t值；方法二（几何法）——按时间过程分别画出满足要求的图形再由图中性质求t值，有四种情形，

ＰＡ＝ＰＢ，ＰＢ＝ＡＢ，

ＰＡ＝ＰＢ，ＰＡ＝ＰＤ＝ＡＢ。 16、(2009年云南省)

已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，

????、C?0，4?，点D的坐标为点A、C的坐标分别为A?3，D??5，??，点P是直线AC上的一动点，直线DP与y轴

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中考压轴题（五）

交于点M．问：

（1）当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP的函数解析式； （2）当点P沿直线AC移动时，是否存在使△DOM与△ABC相似的点M，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R（R＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P．若设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P的两条切线，切点分别为点E、F．请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S，若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．

提示：第（2）问，三种情形； 第（3）问，过点D作AC垂线，垂足为P,以AC长为直径画圆，证明此时面积最小。

备用

yyCBCBDOAxDOAx 15

中考压轴题（五）

四、抛物线的平移 17、（2009年舟山）如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y?ax上．

(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

(2) 平移抛物线y?ax，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．

① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

22A y 8 6 4 C D -4 -2 O Q 2 4 x -2 P -4 2 B 提示：

第（2）问，是轴对称的运用。抛物线左移 ① 方法一，A′关于x轴对称点A〞，要使 A′C+CB′最短，点C应在直线A〞B′上；

方法二，由（1）知，此时事实上，点Q移到点C位置，求CQ=14／5，即抛物线左移14／5单位；

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中考压轴题（五）

②设抛物线左移b个单位，则A＇（-4-b,8）、B＇（2-b,2）。∵CD=2,∴B＇左移2个单位得到B″（-b,2）位置，要使A′D+C B＇最短，只要A′D+DB″最短。则只有点D在直线 A″B″上。 y A′ 8 y 6 A′ 8 4 6 B′ 2 D C 4 B′′ B′ -4 -2 O 2 4 x 2 -2 D C -4 -4 -2 O 2 4 x -2 -4 A′′ ((2)①图) A′′ ((2)②图) 18、（2009年北京市）已知关于x的一元二次方程2x?4x?k?1?0有实数根，k为正整数. （1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y?2x?4x?k?1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

22 17

中考压轴题（五）

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线

y?1x?b?b?k?2与此图象有两个公共点时，b的取值范围.

19、（2009年湖北省荆门市）一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．

(1)若m为常数，求抛物线的解析式；

(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？

(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

18

中考压轴题（五）

yDOACBx

20（09湖北宜昌）已知：直角梯形OABC的四个

第15题图

7顶点是O(0，0)，A(3，1)， B(s，t)，C(，0)，抛22物线y=x＋mx－m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点，m为常数．

(1)求s与t的值，并在直角坐标系中画出直角梯形．．OABC；

2

(2)当抛物线y=x＋mx－m与直角梯形OABC的边AB相交时，求m的取值范围． 提示：第（2）问，满足两个条件，

（一） 先求顶点P坐标，再由其活动范围确定m取值范围，P在AB下，x轴上，线段OA右，BC左； （二） 抛物线与线段AB有交点，得到一个特殊方程，求出两解，再求M范围。 21、(2009浙江省杭州市) 已知平行于x轴的直线y?a(a?0)与函数y?x和函数y?1的图象分x别交于点A和点B，又有定点P

19

2

中考压轴题（五）

（2，0）。

（1）若a?0，且tan∠POB=1，求线段AB的长； 9（2）在过A，B两点且顶点在直线y?x上的抛物线中，已知线段AB=8，且在它的对称轴左边时，y随3着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；

（3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能

x的图象，求点P到直线AB的距离。 得到y?952

22、（2009年台州市）

20

（第17题）

y

x

1x?1 2y??中考压轴题（五）

如图，已知直线 交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．

（1）请直接写出点C,D的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D停止，求抛物线上C ,E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

21

中考压轴题（五）

如图，已知直线 交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．

（1）请直接写出点C,D的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D停止，求抛物线上C ,E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

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