2022年天津工业大学理学院819量子力学考研强化模拟题

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2017年天津工业大学理学院819量子力学考研强化模拟题（一） (2)

2017年天津工业大学理学院819量子力学考研强化模拟题（二） (10)

2017年天津工业大学理学院819量子力学考研强化模拟题（三） (18)

2017年天津工业大学理学院819量子力学考研强化模拟题（四） (25)

2017年天津工业大学理学院819量子力学考研强化模拟题（五） (33)

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第 2 页，共 41 页 2017年天津工业大学理学院819量子力学考研强化模拟题（一）

说明：①本资料为VIP 学员内部使用，严格按照2017考研专业课大纲及历年常考题型出题。 ————————————————————————————————————————

一、填空题

1． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____;具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。 【答案】

2．

一维谐振子升、降算符

、a 的对易关系式为_____;粒子数算符N 与、a 的关系是 ;哈密顿量H 用N 或

、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。 【答案】

3． —个电子运动的旋量波函数为则表示电子自旋向上、位置在处的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】

4． 在量子力学原理中.体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述.而力学量用_____描述.力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.

【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）

；厄米；本征值 【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵.力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实.

5． 如图所示，有一势场为：，当粒子处于束缚态时，￡的取值范围为_____。

图 【答案】

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6． 一质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，其状态波函数

为_____,能级表达式为_____。 【答案】

二、计算题

7． 质量为m 的粒子处于角频率为的一维谐振子势中.

（a ）写出在坐标表象中的哈密顿算符，本征值及本征函数（可不归一化）. （b ）写出在动量表象中的哈密顿算符.

（c ）证明在动量表象中，哈密顿算符的矩阵元为

.

【答案】（a ）在坐标表象中一维谐振子的哈密顿算符为

本征值和波函数

（b ）在动量表象中坐标算符可表示为

则一维谐振子的势能为

则哈密顿算符为

（c ）在动量表象中哈密顿的矩阵元可表示为

8． 已知是泡利矩阵，

（1）利用在

表象中的表达式，求

在

表象中的本征态矢

（2）的本征态

可由

的本征态经绕x 轴转动

角的坐标变换而得，即

试由此

求

在

表象的表达式，并与（1）所得结果比较。

【答案】（1）易知：

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设本征矢

则即

（2）由题意可得：

同理，可得：

可见，两种方法得到的本征态相同。

9． 设一维谐振子的初态为即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.

（1）求t 时刻的波函数

（2）求t 时刻处于基态及第一激发态的概率.

（3）求演化成

所需的最短时间

【答案】（1） 一维谐振子定态能量和波函数：

任意时刻t 的波函数可表示为

已知t = 0时刻的波函数是

由

得，

在n=0，1的本征态的相应能量分别为： 则任意时刻t 的波函数可以表示为

（2）t 时刻处于基态的几率为处于第一激发态的几率

（3）设

时刻粒子的波函数是

即

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