江苏省淮阴中学2013届高三上学期期末练习(4)数学试题

江苏省淮阴中学2013届高三（上）期末复习四

一、填空题.

1. 抛物线y?mx2的准线方程为y?2，则m的值为_____ 2.若函数f(x)?3.若sin(??a?x?x?a2?2是偶函数，则实数a的值为 ________.

17?,则cos(??)的值为 312?12)?4. 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是

5．已知向量a的模为2，向量e为单位向量，e?(a?e)，则向量a与e的夹角大小为 ．

6．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x?R都有f(x)?f(x?4)，当

x?(?2,0)时，f(x)?2x，则f(2012)?f(2013)＝ ．

π

7．已知直线x＝a(0＜a＜)与函数f(x)＝sinx和函数g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两

2

1

点，若MN＝，则线段MN的中点纵坐标为 ．

5

x228. 已知双曲线2?y?1（a＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=5k,则双曲线

a方程为

f(x1)?f(x2)?ax(x?0),9.已知函数f(x)??满足对任意x1?x2,都有?0成

x1?x2?(a?3)x?4a(x?0)立，则a的取值范围是 ．

π?2sinx＋1?0，10．设x∈2，则函数y＝sin 2x的最小值为________ ??

2

????????11. △ABC中，C?π，AC?1,BC?2，则f(?)?2?CA?(1??)CB的最小值是

212．给出如下四个命题：

①?x?(0,??)，x?x； ②?x?(0,??)，x?e；

23x ③函数f(x)定义域为R，且f(2?x)?f(x)，则f(x)的图象关于直线x?1对称； ④ 若函数f(x)?lg(x?ax?a)的值域为R，则a??4或a?0； 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的题号）.

13．在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y??x?1上的一个动点，以点P

为切点作切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为 ． 14．若关于x的方程ex?3x?kx有四个实数根，则实数k的取值范围是 ．

32

二、解答题

15.已知sin(A?πππ72)?，A?(,)．

42410（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求函数f(x)?cos2x?

5sinAsinx的值域 216．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E

为PD的中点，PA＝2AB＝2．

P（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；

E（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF； （Ⅲ）求证CE∥平面PAB． F

AD

B

C

17.某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工。现要在公路AC上找一点D,修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐。已知A、B、C中任意两点间的距离均有1km，设?BDC??，所有员工从车间到食堂步行的总路程为s.

（1）写出s关于?的函数表达式，并指出?的取值范围；

A （2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程s最少

D

C

第17题图

B

x2y218．已知点P（4，4），圆C：(x?m)?y?5(m?3)与椭圆E：2?2?1(a?b?0)有一

ab个公共点 A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切． （Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；

???????? y（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求AP?AQ的取值范围． P A

F2F1OCx

Q

19．幂函数y = x 的图象上的点 Pn(tn2,tn)（n = 1,2,……）与 x 轴正半轴上的点 Qn 及原点 O 构成一系列正△PnQn－1Qn（Q0与O重合），记 an = | QnQn－1 | （1）求 a1的值； （2）求数列 {an} 的通项公式 an;

（3）设 Sn为数列 {an} 的前 n 项和，若对于任意的实数 ?∈[0,1]，总存在自然数 k，当 n≥k时，3Sn－3n + 2≥(1－?) (3an－1) 恒成立，求 k 的最小值.

22

20．已知f(x)=ax—ln(—x),x?(—e,0),g(x)=—ln(—x），其中e是自然常数，xa?R.

1；2(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。

(1)讨论a??1时, f(x)的单调性、极值； (2)求证：在（1）的条件下，|f(x)|>g(x)+

江苏省淮阴中学2013届高三（上）期末复习四答题纸

一、填空题

1、______________ 2、______ _______ 3、 4、

5、 6 、 7、_____ ___8、

9、 10、 11.、 12、

13、 14、

二、解答题 15、（14分）

16、（14分） 17、（14分） 18、（16分） F1OPEFABCDA D C 第17题图 B yPAF2CQx

19、（16分）

20、（16分）

江苏省淮阴中学2013届高三（上）期末复习四答案 1、?111?；2、2；3、?；4、0.75； 5． ；6、；

23837x2?1??y2?1； 9．?0,? ；10、3；11、2；12、③④ ； 7、10；8、

44??33213． ；14．?0,3?e?

4πππ72?A?，且sin(A?)?， 42410ππ3ππ2 所以?A??，cos(A?)??．

244410ππππππ因为cosA?cos[(A?)?]?cos(A?)cos?sin(A?)sin

4444443227223 ??????．所以cosA?． …………6

5102102545（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinA?． 所以f(x)?cos2x?sinAsinx

521232 ?1?2sinx?2sinx??2(sinx?)?，x?R． 因为sinx?[?1,1]，所

2231以，当sinx?时，f(x)取最大值；当sinx??1时，f(x)取最小值?3．

223所以函数f(x)的值域为[?3,]． ……………………14分

215. 解：（Ⅰ）因为

16．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1， ∠BAC＝60°，∴BC＝3，AC＝2． 在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝23，AD＝4．

11∴SABCD＝AB?BC?AC?CD

221551153?2?3． ??1?3??2?23?3．则V＝?323222（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，

∴AF⊥PC． ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD． ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC． ∵E为PD中点，F为PC中点， ∴EF∥CD．则EF⊥PC． ∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．

（Ⅲ）取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA． ∵EM ?平面PAB，PA?平面PAB， ∴EM∥平面PAB． ……… 12分

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2， ∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB． ∵MC ?平面PAB，AB?平面PAB， ∴MC∥平面PAB． ∵EM∩MC＝M，

∴平面EMC∥平面PAB． ∵EC?平面EMC， ∴EC∥平面PAB．

17.解：（1）在?BCD中，?PEFABCMDBDBCCD，----------2分 ??sin600sin?sin(1200??)3sin(1200??)sin(1200??)2?BD?,CD?，则AD?1?。--------4分

sin?sin?sin?3sin(1200??)cos??4，其中????2?。..6分 2s?400??100[1?]?50?503?33sin?sin?sin??sin??sin??(cos??4)cos?1?4cos??503?。--8分 22sin?sin?11?2?) 令s'?0得cos??。记cos?0?,?0?(,443311当cos??时，s'?0，当cos??时，s'?0，

44?2?)上，单调递增，…………..…...12分 所以s在(,?0)上，单调递减，在(?0,331所以当???0，即cos??时，s取得最小值。--------------------13分

4（2）s'??503?cos??sin?sin(1200??)1522此时，sin??，AD?1? ?1?sin?sin?431113cos?13415 ????????22sin?22152104答：当AD?1?5时，可使总路程s最少。---14分

21018.解：（Ⅰ）点A代入圆C方程， 得(3?m)2?1?5．∵m＜3，∴m＝1． 圆C：(x?1)2?y2?5．

设直线PF1的斜率为k，则PF1：y?k(x?4)?4，即kx?y?4k?4?0．

|k?0?4k?4|111?5．解得k?,或k?． … 4分 ∵直线PF1与圆C相切，∴22k2?1

1136时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．

1121当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，

2∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）． …………………… 6分 2a＝AF1＋AF2＝52?2?62，a?32，a2＝18，b2＝2．

x2y2椭圆E的方程为：??1． …………………… 8分

182????????（Ⅱ）AP?(1,3)，设Q（x，y），A， Q?x(?,3y?)1????????AP?AQ?(x?3)?3(y?1)?x?3y?6． …………………… 10分 当k＝

x2y2∵??1，即x2?(3y)2?18， 182而x2?(3y)2≥2|x|?|3y|，∴－18≤6xy≤18． …………………… 12分

则(x?3y)2?x2?(3y)2?6xy?18?6xy的取值范围是[0，36]． ……… 14分 x?3y的取值范围是[－6，6]． ????????∴AP?AQ?x?3y?6的取值范围是[－12，0]． …………………… 16分

1?19．解：(1) 由 P1(t12,t1)（t > 0），… 1分,得 kOP1 = t = tan 3 =

1

33 ?y t1 = 3 PnP113

∴ P1(3 ,3 ) 2

a1 = | Q1Q0 | = | OP1 | = 3 …………5分

3 (x－tn2) (2) 设 Pn(tn2,tn)，得直线 PnQn－1的方程为：y－tn =

tn可得 Qn－1(tn2－ ,0)

3

直线 PnQn的方程为：y－tn = －3 (x－tn2)，可得 Qn(tn2 +

tn－12

Qn－1(tn－1 +

2

tn ,0) 3

OQ1Qn-1Qnxtn－1tn12

所以也有 ,0)，得 tn－ = tn－1 + ，由 tn > 0，得 tn－tn－1 =

3333

13

∴ tn = t1 + (n－1) = 3 n …………8分

3112

∴ Qn(3 n(n + 1),0),Qn－1(3 n(n－1),0) ∴ an = | QnQn－1 | = 3 n …………10分 (3) 由已知对任意实数时 ?∈[0,1] 时 n 2－2n + 2≥(1－?) (2n－1) 恒成立

? 对任意实数 ?∈[0,1] 时，(2n－1)? + n 2－4n + 3≥0 恒成立…………12分 则令 f (?) = (2n－1)? + n 2－4n + 3，则 f (?) 是关于 ? 的一次函数.

? f (0)≥0? n 2－4n + 3≥0

? 对任意实数 ?∈[0,1] 时 ? ? ? 2 …………14分

? f (1)≥0? n－2n + 2≥0

? n≥3或n≤1 又 ∵ n∈N * ∴ k 的最小值为3…………16分

（3）假设存在实数a，使f?x??ax?ln??x?有最小值3，x???e,0?

f'?x??a?1e1x

①当a??时，由于x???e,0?，则f'?x??a?1?0 x?函数f?x??ax?ln??x?是??e,0?上的增函数?f?x?min?f??e???ae?1?3

41??（舍去） ee111②当a??时，则当?e?x?时，f'?x??a??0此时f?x??ax?ln??x?是减函数

axe解得a??

www.ks5u.com www.ks5u.com www.ks5u.com

（3）假设存在实数a，使f?x??ax?ln??x?有最小值3，x???e,0?

f'?x??a?1e1x

①当a??时，由于x???e,0?，则f'?x??a?1?0 x?函数f?x??ax?ln??x?是??e,0?上的增函数?f?x?min?f??e???ae?1?3

41??（舍去） ee111②当a??时，则当?e?x?时，f'?x??a??0此时f?x??ax?ln??x?是减函数

axe解得a??

www.ks5u.com www.ks5u.com www.ks5u.com

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3y36.html