2015年全国卷高考押题数学(文、理)试题(含答案)

《当代中学生报》2015年高考泄露天机

数学

一、选择题

1.(文)已知集合{1,2}A =-，{}02B x Z x =∈≤≤，则A B =（ ）

（A ）{0} （B ）{2} （C ）{0,1,2} （D ）?

1.B 由{}{}02012B x Z x B =∈≤≤==，

，知{}2A B =. （理）若集合{0}A x x =≥，且A B B =，则集合B 可能是（ ）

（A ）{}1,2 （B ）{1}x x ≤ （C ）{1,0,1}- （D ） R

1.A 由A B B =知B A ?,故选A .

2.已知复数121,1z i z i =-=+，则

12z z i 等于（ ） （A ）2i （B ）2i - （C ）2i + （D ）2i -+ 2.B 212(1)(1)122z z i i i i i i i i

?-+-====-. 3.已知命题:p R x ?∈，2lg x x ->，命题:q R x ?∈，1x e >，则（ ）

（A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题

（C ）命题()p q ∧?是真命题 （D ）命题()p q ∨?是假命题

3.D 因为命题:p R x ?∈，2lg x x ->是真命题，而命题:q R x ?∈，1x e >，由复合命

题的真值表可知命题()p q ∧?是真命题.

4.已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212

a a

b -等于（ ） （A ）14 （B ）12 （C ）12- （D ）12或12

- 4.B 因为122,,,8a a --成等差数列，所以218(2)23

a a ----==-.又1232,,,,8

b b b --成等比数列，所以2228(2)16,4b b =-?-==（舍去），24b =-，所以21221.42a a b --==-

5.已知1122

log log a b <，则下列不等式一定成立的是（ ）

（A ）11()()43a b < （B ）11a b

> （C ）ln()0a b -> （D ）31a b -< 5.A 由1122

log log a b <得，0a b >>，所以111()()()443a b b <<. 6.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )

（A ）若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥ （B ）若,,m n αα⊥⊥则m n ∥

（C ）若,m n αα∥∥，则m n ∥ （D ）若,,m m αβ∥∥则αβ∥

6.B A 中,αβ可以是任意关系；B 正确；C 中,m n 平行于同一平面，其位置关系可以为任意．D 中平行于同一直线的平面可以相交或者平行．

7.（文）“0x <”是“ln(1)0x +<”的（ ）

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

7.B ∵010)1ln(<<-?<+x x ，∴“0

（理）已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减

函数”的（ ）

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

7.B 函数21x y m =+-有零点时，10,1m m -<<，不满足01m <<，所以“函数

log m y x =在

0+∞（，）上为减函数”不成立；反之，如果“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”，则有01m <<，10,m -<所以，“函数21x

y m =+-有零点”成立，故选B . 8.函数)sin()(?ω+=x x f （其中2||π

?<）的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图

象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）

（A ）向左平移6π个单位长度 （B ）向右平移12π个单位长度

（C ）向右平移6

π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度 8.C 由图可知74123T T πππ=-?= 则22πωπ

== ，又s i n (2)03π??+=，结合2||π

?<可知3π

?= ，即()sin 3(2)f x x π

=+，为了得到sin 2y x =的图象，只需把

()sin(2)si 3n 26y f x x x ππ????==+=+ ????

???的图象上所有点向右平移6π个单位长度. 9.某工厂对一批新产品的长度（单位：m m ）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ）

（A ）20 （B ）25 （C ）22.5 （D ）22.75

9.C 产品的中位数出现在概率是0.5的地方．自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4,设中位数是x ，则由0.10.20.08(20)0.5x ++?-=得，22.5x =．

10. 如图，1F 、2F 分别是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，1F O 为半径的圆与该双曲线左支交于A 、B 两点，若2F AB ?是等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ）

（A ）3 （B ）2 （C ）31- （D ）31+

10.D 依题213AF AF =，12122c F F AF ==，所以()211231a AF AF AF =-=-，()1

123131AF c e a AF ===+-.

11.如图，在66?的方

格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c x a y b x y R =+∈，则x y +=（ ）

（A ）0 （B ） 1 （C ）55 （D ）135

11.D 设方格边长为单位长1.在直角坐标系内，(1,2),(2,1),(3,4a b c ==-=

，由,(,)

c xa yb x y R =+∈得，(3,4)(1,2)(2,1),(3,4)(2,2),x y x

y x y =+-=+- 所以2324x y x y +=??-=?，解得11525x y ?=????=??

，所以，x y +=135，选D . 12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）

（A ）22

（B ）52 （C ）62 （D ）3 12.B 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥的高为1，四边形B C D 是边长为1的正方形，

则

111211,12,2222

AED ABC ABE S S S =??===??=151522ACD S =??=.

13.(文) 在区间[π,π]-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数222()2f x x ax b π=+-+ 有零点的概率为（ ）

（A ）78 （B ）34 （C ）12 （D ）14

13.B 若使函数有零点，必须222(2)4()0a b π?=--+≥，即222a b π+≥．在坐标轴上将,a b 的取值范围标出，如图所示当,a b 满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分，因此概率为223144

ππ-=． π2π

2π

-2π-2π-πa

O

b

（理）2321(2)x x

+-展开式中的常数项为（ ） （A ）-8 （B ）-12 （C ）-20 （D ）20

13.C ∵236211(2)()x x x x +-=-，∴6621661()(1)r r r r r r r T C x C x x

--+=-=-， 令620r -=，即3r =，∴常数项为336(1)20C -=-.

14. 若程序框图如图示，则该程序运行后输出k 的值是（ ）

（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8

14.A 第一次循环运算：3516,1n k =?+=；第二次：168,22n k =

==；第三次：84,32n k ===；第四次：42,42n k ===；第五次：21,52

n k ===，这时符合条件输出5k =.

15.已知{}n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项和，且646536=S S ,则数列|}log {|2n a 前10项和为（ ）

（A ）58 （B ）56 （C ）50 （D ）45

15.A 根据题意3633164S S q S -==，所以14q =，从而有72113224n n n a --=?，所以2log 72n a n =-，所以有2log 27n a n =-，所以数列的前10项和等于

2(51)2(113)5311357911135822

+++++++++++=+=. 16.若G 是ABC ?的重心，a ，b ，c 分别是角C B A ,,的对边，若303

aG bG cGC A +B +=

，则角=A （

） （A ）

90 （B ）

60 （C ）45 （D ）30

16.D 由于G 是ABC ?的重心，0=++∴GC GB GA ，()GA GB GC +-=∴，代入得

()303c aGA bGB GA GB +-

+=，整理得33033c c a GA b GB ????-+-= ? ? ? ?????，c b a 3

3==∴ bc a c b A 2cos 222-+=∴2223333323

c c c c c ????+- ? ?????

=23=，因此030=A . 17.(文)函数()2sin 1x f x x =+的图象大致为（ ）

17.A 函数()f x 定义域为R ,又()()()()22sin sin 1

1x x f x f x x x --==-=-+-+,∴函数()f x 为奇函数.其图像关于原点对称.故排除C 、D ，又当0πx <<时，sin 0x >,所以()0f x >可排除B ，故A 正确.

（理）如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下

液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x 分钟, 瓶内液面与进气管的距离为h 厘米，已知当0x =时，13h =．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完． 则函数()h f x =的图像为（ ）

17.C 由题意得，每分钟滴下药液的体积为3cm π

当134≤≤h 时，),13(42h x -??=ππ即,16

13x h -=此时1440≤≤x ； 当41<≤h 时，),4(29422h x -??+??=πππ即,440x h -

=此时156144≤

（A ） 25 （B ）3

8 （C ） 3 （D ） 6 18.B 如下图所示，抛物线C ：x y 82=的焦点为()2,0F ，准线为:2l x =-，准线与x

轴的交点为()2,0N - ，||4FN =

过点Q 作准线的垂线，垂足为M ，由抛物线的定义知||||QM QF =

又因为QF PF 3=，所以，||2||2||PQ QF QM == 所以，28433

QM

PQ QM FN PF =?=?= 所以，83QF QM ==

19.已知不等式组220,22,22

x y x y ?+-≥??≤??≤??表示平面区域Ω,过区域Ω中的任意一个点P ,作圆

221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ,当APB ∠最大时, PA PB ?的值为（ ）

（A ）2 （B ）32 （C ）52

（D ）3 19.B 如图所示，画出平面区域Ω，当APB ∠最大时，APO ∠最大，故

1s i n AO APO OP OP

∠=

=最大，故OP 最小即可，其最小值为点O 到直线220x y +-=的距离2d =，故1s i n 2

APO ∠=，此时0260A P B A P O ∠=∠=，且413P A P B ==-=，故3cos 2PA PB PA PB APB ?

=?∠=． x y

–1–2–3–41234–1

–2

–3

–4123

4

O

P A

B

20.设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈?，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为（ ）

（A ） ]2,2[- （B ） ),2[+∞ （C ） ),0[+∞ （D ）(,2][2,)-∞-+∞

20.B 设()()212

g x f x x =- 因为对任意()()2,x R f x f x x ∈-+= ，

所以，()()()()()221122g x g x f x x f x x -+=--

-+-=()()20f x f x x -+-= 所以，函数()()212

g x f x x =-为奇函数； 又因为，在),0(+∞上x x f <')(，

所以，当时0x > ，()()0g x f x x ''=-<

即函数()()212

g x f x x =-在),0(+∞上为减函数， 因为函数()()212

g x f x x =-为奇函数且在R 上存在导数， 所以函数()()212g x f x x =-

在R 上为减函数， 所以，()()()()()221144422

g m g m f m m f m m --=----+ ()()()484f m f m m =----0≥

所以，()()442g m g m m m m -≥?-≤?≥

所以，实数m 的取值范围为),2[+∞.

二、填空题

21.（文）已知直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，则m = ．

21.8 由题意得6,834

m m ==. （理）已知直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，则它们之间的距离是 ．

21. 2 由题意得6,834

m m ==，即681403470x y x y ++=?++=，所以它们之间的距离是22|7(3)|234

--=+ 22. 执行如图所示的程序框图，如果输入2-，那么输出的结果是 ．

22.10 若输入2- ，则0x >不成立，所以()22313110y --=+=+=，所以输出的值为

10．

23.（文）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001,002,,600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001,300]的人做问卷A ,编号落入区间[301,495]的人做问卷B ,编号落入区间[496,600]的人做问卷C ,则抽到的人中，做问卷C 的人数为 ．

23.8 由于

1250

600=，抽到的号码构成以3为首项，以12为公差的等差数列，因此得等差数列的通项公式为()91211-=-+=n d n a a n ，落在区间[]600,496

的人做问卷C 满足600912496≤-≤n ，得1295012142≤≤n ，由于n 是正整数，因此5043≤≤n ，人数为8人.

（理）2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有 种（用排列组合表示）．

23. 218218A A 先安排美俄两国领导人：中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，所以美俄两国领导人的安排有2

2A 种不同方法；再安排其余

人员，有1818A 种不同方法；所以，共有181822A A 种不同方法. 24.函数)12lg()(x

a x f ++=为奇函数，则实数=a . 24.-1 因为函数)12lg()(x a x f ++=为奇函数，所以()()x f x f -=-， 结束 输出y

开始 x y 2log 2= 0>x

是 输入x

13+=-x y

否

即2221lg()lg()2

1111a a a x x x a x

+=-+?+=-+-++ 2222211(2)11(1)2

x a x a a x a x a x +?+=?-=+-?=--++ 25.已知正实数,,x y z 满足112x x yz y z ?

?++= ???，则11x x y z ????++ ??????

?的最小值为 . 25.2 由题知112x x yz y z ?

?++= ???即22x x yz x y z ++=于是可将给定代数式 化简得2111112222x x yz yz x x x y z y z yz yz yz

?

???++=+++=+≥= ??????? 当且仅当2yz =时取等号.

26. 如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从M 点测得A 点的俯角30NMA ?

∠=,C 点的仰角45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?；从C 点测得60MCA ∠=?已知山高200BC m =，则山高MN = m ．

26.300 在ABC ?中, 45,90,200BAC ABC BC ∠=?∠=?=

2002002sin 45AC ∴==?

，在AMC ?中，75,60,MAC MCA ∠=?∠=? 45,AMC ∴∠=?由正弦定理可得

,sin sin AM AC ACM AMC =∠∠即1002,sin 60sin 45AM =?? 解得2003AM =,

在Rt AMN ?中sin MN AM MAN =?∠2003sin 60=??300()m =．

27.（文）如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}n a （n *∈N ）的前12项，如下表所示：

按如此规律下去，则201320142015a a a ++= ．

27. 1007 11a =，21a =，31a =-，42a =，52a =，63a =，72a =-，

84a =， ，这个数列的规律是奇数项为1,1,2,

2,3,3,---偶数项为1,2,3,，故201320150a a +=，20141007a =，故2013201420151007a a a ++=．

（理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,，第

n 个三角形数为

2(1)11222

n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(),N n k （3k ≥），以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 ()211,322N n n n =

+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522

N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =- 可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = .

7.1000 ()211,312322

N n n n n =++++=+， ()()2,413521N n n n =+++

+-=，()()231,51473222N n n n n =+++

+-=-()()2,6159432N n n n n =++++-=-，

从中不难发现其中的规律：

(),N n k 就是表示以1为首相，()2k -为公差的等差数列前n 项的和，

即有()()(),112122N n k k k =++-++?-+????????()()112n k ++-?-????

()()11122n n k ++-?-???

?=，

所以()()()101110124210,2410002N ++-?-????

==.

28.已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．

28.13π 设正六棱柱的的底面边长为x ，高为y ，则69x y +=，所以302x <<

，正六棱柱的体积223333()6(96)42

V x x y x x =?=-，2'()273()V x x x =-，令2'()273()0V x x x =->，解得1x <<，令2'()273()0V x x x =-<得312

x <<，即函数()V x 在(0,1)是增函数，在3(1,)2

是减函数，所以()V x 在1x =时取得最大值，此时3y =.易知正六棱柱的外接球的球心是其上下中心连线的中点，如图所示，外接球的半径为2213(),22

y OE x =+=所以外接球的表面积为2413.S R ππ==

29.我们把离心率2

15+=e 的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线()

2222

22,0,01b a c b a b y a x +=>>=-的图象，给出以下几个说法： ①双曲线11522

2

=+-y x 是黄金双曲线； ②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；

③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且021190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线；

④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线．

其中正确命题的序号为 _________ ．

29.①②③④对于①，215,122+=

=b a ，则235222+=+=b a c ，2222215235???

? ??+=+==a c e ，215+=∴e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于②，ac a c b =-=222，整理得012=--e e

解得

251+=e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于③()2221222212211,,2c a A F a b A B b c B F +=+=+=，由勾股定理得

()22222c a a b b c +=+++，整理得ac b =2由②可知2

51+=

e 所以双曲线是黄金双曲线；对于④由于()0,2c F ，把c x =代入双曲线方程得12222=-b y a c ，解得a

b y 2

±=，a b NF 22=，由对称关系知2ONF ?为等腰直角三角形，a

b c 2

=∴，即ac b =2，由①可知251+=e 所以双曲线是黄金双曲线. 30.设函数()y f x =的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有()()f x T T f x +=?，则称函数()y f x =是“似周期函数”，非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：

①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数()f x x =是“似周期函数”；

③函数-()2x f x =是“似周期函数”；

④如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么“,k k ωπ=∈Z ”．

其中是真命题的序号是 ．（写出所有．．

满足条件的命题序号） 30.①③④

①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为-1，则)()1(x f x f -=-，则)()1()2(x f x f x f =--=-，所以它是周期为2的周期函数；

②假设函数()f x x =是“似周期函数”，则存在非零常数T ，使)()(x Tf T x f =+对于R x ∈恒成立，即

Tx T x =+，即0)1(=--T x T 恒成立，则1=T 且0=T ,显然不成立；

③设x T x T -+-?=22)(，即T T =-2,易知存在非零常数T ，使T T =-2成立，所以函数-()2x f x =是“似周期函数”；

④如果函数()c o f x x ω=是“似周期函数”，则

x T T x T x ωωωωc o s

)c o s ()(c o s =+=+，由诱导公式，得，当1=T 时，Z k k ∈=,2πω,当1-=k 时，Z k k ∈+=,)12(πω,所以“,k k ωπ=∈Z ”； 故选①③④.

三、解答题

31.设函数π

()4cos sin()33

f x x x =-+，x ∈R . （Ⅰ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的值域；

（Ⅱ）已知函数()y f x =的图象与直线1y =有交点，求相邻两个交点间的最短距离. 解析：（Ⅰ）解：因为1

3()4cos (sin cos )322

f x x x x =-+ 3cos 32cos sin 22+-=x x x

x x 2cos 32sin -= =π

2sin(2)3

x -， 因为 π02

x ≤≤， 所以π

π2π23

33x --≤≤， 所以 sin(3π2)123

x --≤≤， 即3()2f x -≤≤， 其中当5π12

x =时，()f x 取到最大值2；当0x =时，()f x 取到最小值3-， 所以函数()f x 的值域为[3,2]-.

（Ⅱ）依题意，得π2sin(2)13x -=，π1sin(2)32

x -=， 所以ππ22π36x k -=+ 或 π5π22π36

x k -=+， 所以ππ4x k =+ 或 7ππ12

x k =+()k ∈Z ， 所以函数()y f x =的图象与直线1y =的两个相邻交点间的最短距离为

π3. 32. (文)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为10.

8709

201012n m 甲组乙组

（1）分别求出m ，n 的值；

（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差2s 甲和2s 乙，并由此分析

两组技工的加工水平；[来源:5dfb848d844769eae009edaf]

（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率. （注：方差2222121

=[()()()]n s x x x x x x n -+-+-+，其中x 为数据12,,,n x x x 的平

均数）.

解析：（1）根据题意可得：10)10121087(5

1=+++++=m x 甲，∴3=m ，10)1211109(5

1=++++=n x 乙，∴8=n ； （2）根据题意可得：

2222221[(710)(810)(1010)(1210)(1310)] 5.25

s =-+-+-+-+-=甲， 2222221[(810)(910)(1010)(1110)(1210)]25

s =-+-+-+-+-=乙， ∵乙甲x x =，22乙甲s s <，∴甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些；

（3）质监部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为),(b a ，则所有的),(b a 有)8,7(，)9,7(，)10,7(，

)11,7(，)12,7(，)8,8(，)9,8(，)10,8(，)11,8(，)12,8(，)8,10(，)9,10(，(10,10)，(10,11)，(10,12)，(12,8)，(12,9)，(12,10)，(12,11)，(12,12)，(138)，，(13,9)，(13,10)，(13,11)，(13,12)，共计25个，而17a b +≤的基本事件有)8,7(，)9,7(，)10,7(，)8,8(，)9,8(，共计5个基本事件，故满足17a b +>的基本事件共有25520-=，即该车间“质量合格”的基本事件有20个，故该车间“质量合格”的概率为204255

=. （理）在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：

(Ⅰ)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；

(Ⅱ)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解析：(Ⅰ)学生甲的平均成绩687679868895826x +++++=

=甲， 学生乙的平均成绩717582848694826

x +++++==乙， 又2

2222221[(6882)(7682)(7982)(8682)(8882)(9582)]776

s =-+-+-+-+-+-=甲， 2

2222221167[(7182)(7582)(8282)(8482)(8682)(9482)]63

s =-+-+-+-+-+-=乙， 则x x =甲乙，2

2s s >甲乙，

说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛.

(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0，1，2，则

24262(0)5C P C ξ===，1142268(1)15C C P C ξ===，22261(2)15

C P C ξ===， ξ的分布列为 ξ

0 1 2 P 25 815 115

所以数学期望2812()012515153

E ξ=?+?+?=． 33.(文) 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，且90ACB ∠=，30BAC ∠=，1BC =，16AA =，点P 、M 、N 分别为1BC 、1CC 、1AB 的中点．

（1）求证：//PN 平面ABC ；

（2）求证：1A M ⊥面11AB C ；

（1）证明：连接1CB ，P 是1BC 的中点 ，1CB ∴过点P ， N 为1AB 的中点，//PN AC ∴，

又AC ?面ABC ，PN ?面ABC ，//PN ∴平面ABC ；

（2）证明：连结1AC ，连接1AC ，在直角ABC ?中，1BC =，30BAC ∠=，113AC AC ∴==，

11111

12CC AC AC MC ==，111~Rt AC M Rt C CA ∴??， 11AMC CAC ∴∠=∠，1111190AC C CAC AC C AMC ∴∠+∠=∠+∠=， 即11AC A M ⊥，

1111B C C A ⊥，111CC B C ⊥，且1111C A CC C =，

11B C ∴⊥平面11AAC C ，111B C A M ∴⊥，又1111AC B C C =，故1A M ⊥平面11AB C ； (理) 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，120BCD ∠=，2AB PC ==，2AP BP ==.

（Ⅰ）求证：AB PC ⊥；

（Ⅱ）求二面角B PC D --的余弦值.

解析：（Ⅰ）证明：取AB 的中点O ，连接,PO CO AC ，．

∵AP BP =，∴PO AB ⊥

又四边形ABCD 是菱形，且120BCD ∠=?，

∴ACB V 是等边三角形，∴CO AB ⊥

又CO PO O =I ，∴AB PCO ⊥平面，

又PC PCO ?平面，∴AB PC ⊥

（Ⅱ）由2AB PC ==，2AP BP ==，易求得1PO =，3OC =，

∴222OP OC PC +=，OP OC ⊥

以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 分别为

x 轴，y 轴，z 轴建立空间直坐标系

O xyz -， 则(0,1,0)B ，(3,0,0)C ，(0,0,1)P ，(3,2,0)D -， ∴(3,1,0)BC =-，(3,0,1)PC =-，(0,2,0)DC = A

D C B P

设平面DCP 的一个法向量为1(1,,)n y z =，则1n PC ⊥，1n DC ⊥， ∴113020

n PC z n DC y ??=-=???==??，∴3z =，0y =，∴1(1,0,3)n = 设平面BCP 的一个法向量为2(1,,)n b c =，则2n PC ⊥，2n BC ⊥， ∴223030

n PC c n BC b ??=-=???=-=??，∴3c =，3b =，∴2(1,3,3)n = ∴121212427cos ,7||||27

n n n n n n ?<>===??， ∵二面角B PC D --为钝角，∴二面角B PC D --的余弦值为277-

. 34.在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，满足1=c ， 且()()0cos sin sin cos =+-+B A B a C B .

（1）求角C 的大小；

（2）求22b a +的最大值，并求取得最大值时角,A B 的值.

[来源:学优高考网gkstk] 解析：（1）由()()0cos sin sin cos =+-+B A B a C B ，

可得()0cos sin sin cos =--C B a C B ，

即C a A cos sin =，又1=c ，所以C a A c cos sin =，

由正弦定理得C A A C cos sin sin sin =，

因为π

C . （2）由余弦定理222cos 2c C ab b a =-+，得1222=-+ab b a ，

又222b a ab +≤，所以()122122≤+???

? ??-b a ，于是2222+≤+b a ， 当π8

3==B A 时，22b a +取到最大值22+. 35.如图，1F 、2F 为椭圆22

22:1x y C a b

+=的左、右焦点，D 、 E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率32e =，2312DEF S ?=-．若00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b 称为

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