北航数理统计考试题

材料学院研究生会

学术部

2011年12月

2007-2008学年第一学期期末试卷

一、（6分，A班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体N( , 2)的样本，令

T

x x)，

试证明T服从t-分布t（2）

二、（6分，B班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明

1F

的 （0< <1）的分位点x 是

1F1 (n,m)

。

三、（8分）设总体X的密度函数为

(1 )x ,0 x 1p(x; )

0 , 其他

其中

1，是位置参数。x1，x2，…，xn是来自总体

X的简单样本，

试求参数 的矩估计和极大似然估计。

四、（12分）设总体X的密度函数为

1 x exp ，x

p(x; ) ，

0 , 其它

其中

, 已知， 0,

是未知参数。x1，x2，…，xn是来自总

体X的简单样本。

（1）试求参数 的一致最小方差无偏估计 ； （2） 是否为 的有效估计？证明你的结论。

五、（6分，A班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体N( 简单样本，y1，y2，…，yn是来自正态总体N( 两样本相互独立，其中 设

H0: 1 2, H1: 1 2,

1

2

2

1

, 1)

2

的

, 2)的简单样本，且

21

, 1, 2, 2

22

是未知参数，

2

2

。为检验假

可令zi xi yi, i 1,2,...,n , 1 2 ,

则上述假设检验问题等价于H0: 1 0, H1: 1 0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变换后样本z1，z2，…，zn，在显著性水平 下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。

六、（6分，B班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体N( 简单样本， 0已知， 2未知，试求假设检验问题

H0:

2

, )0

2

的

0, H1:

22

0

2

的水平为 的UMPT。

七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？

八、（6分）设方差分析模型为

xij i j ij 2

ij服从正态总体分布N(0, )且 ij相互独立

i 1,2,...,p;j 1,...,q pq 和 满足

i 0, j 0.j

i

i 1j 1

总离差平方和

p

ST SA SB SE中SA q (xi x),x

i 1

x pq

i 1

j 1

1

pq

ij

,

xi

1

q

ij

x q

j 1

,且E(SE)=(p-1)(q-1) .

... P 0的拒绝

2

试求E(SA)，并根据直观分析给出检验假设H0: 1 2域形式。

九、（8分）某个四因素二水平试验，除考察因子A、B、C、D外，还需考察A B，B C。今选用表L

8

(2)，表头设计及试验数据如表所

7

示。试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。

十、（8分）对某中学初中12岁的女生进行体检，测量四个变量，身高x1，体重x2，胸围x3，坐高x4。现测得58个女生，得样本数据（略），经计算指标X

(x1,x2,x3,x4)

T

的协方差阵V的极大似然估计为

19.94 10.50 6.59 8.63

10.50 23.56 19.71 7.97

V

6.59 19.71 20.95 3.93 8.63 7.97 3.93 7.55

2 16.65， 3 3.38， 4 1.00。 且其特征根为 1 50.46，

（1）试根据主成分85%的选择标准，应选取几个主要成分？ （2）试求第一主成分。

2006级硕士研究生《应用数理统计》试题

一、 选择题（每小题3分，共12分）

1. 统计量T~t（n）分布，则统计量T2的α（0<α<1）分位点xα （P{T2≤xα}=α）是（ ）

t(n) 1 2

2

A. B.

t1 (n)

2

C.

t1 (n)

2

D

t(n) 1 2

2

2.设随机变量X～N(0，1)，Y～N(0，1)，则（ ）

A.

t-分布 B.X2+Y2都服从

2

服从

2

-分布

C. X2和Y2-分布 D. X2/Y2服从F-分布

3.某四因素二水平实验，选择正交表L8(27)，已填好A，B，C三个因子，分别在第一，第四，第七列，若要避免“混杂”，应安排因子D在第（ ）列.A.5 B.2 C.3 D.6

（1）

3 （2）

2 1 （3）

5 6 7 （4）

4 7 6 1 （5）

7 4 5 2 3 （6）

6 5 4 3 2 1 （7）

4.假设总体X服从两点分布，分布率为P{X=x}=p x(1-p)1-x，其中x=0或1，p为未知参数，X1,X2, ，Xn是来自总体的简单样本，则下面统计量中不是充分统计量的是（ ）

n

A.

i 1

Xi

1

n

B.

n

i 1

Xi

1

n

C.

n

i 1

Xi 1

1

n

D.

n

i 1

Xi p

二.填空题(每小题3分,共12分)

1. 设X1,X2, ，Xn是来自总体N(0， )的简单样本,则常数

m

2

c Xi

c=_________

时统计量____________

服从t-分布（1 m n），其自由度为

2. 设X1,X2, ，Xn是来自总体N( ， )的简单样本,其中 已知。

2

2

则在满足P{X间类{[

a X b

}=1-a的均值 的置信度为1-α的置信区

X a,X b

]:

a

,b常数}中区间长度最短的置信区间为

（ ）

)的简单样本, 3. 设X1,X2, ，Xn是来自总体N( ，

2

已知，则

2

的无偏估计

S

2

1

(Xn 1

k 1

1

n

k

X)

2

，

S

22

1

n

k

(Xn

k 1

)

2

中较优的是

（ ）

4．在双因素实验的方差分析中，总方差ST的分解中包含误差平方和

p

q

r

ijk

S

E

(x

i 1

j 1k 1

xij.)

2

，则SE的自由度为（ ）

1 x e

f(x)

0

x 0x 0

三，（12分）设X1,X2, ，Xn来自指数分布

的简

单样本，试求参数 的极大似然估计 ，它是否是无偏估计？（2）求

样本的Fisher信息量；（3）求 的一致最小方差无偏估计;(4)问 是否

是 的有效估计？

四．（6分，A班不做）在多元线性回归Y

X

中，参数 的最小

1

二乘估计为 (X'X)X'Y

Z

e

1

，残差向量为

e Y Y (I X(X'X)X')Y

。

令

(X'X) 1X'Y

I X(X'X) 1X'Y

,当 ~N(0, I)时，Z

2

服从多元正态分布。

试证明 与e相互独立。

五．（6分，A班不做）

设某切割机切割金属棒的长度X服从正态分布，正常工作时，切割每段金属棒的平均长度为10.5cm。某日为了检验切割机工作是否正常，随机抽取15段进行测量，得平均样本值x=10.48cm，样本方差s2=0.056cm2。在显著性水平α=0.05下，试问该切割机工作是否正常(

？

z0.95 1.64,z0.975 1.96,t0.95(14) 1.7631,t0.975(14) 2.1448

）

2

22

六．（6分，B班不做）设X～N( ， ), 已知，X1,X2, ，Xn来自X的样本，并设 的先验分布为 ～N( , ), 的Bayes估计为

n

2

已知，则可知均值

2

X n

1

2

1

2

2

试通过此例说明Bayes估计的特点。

七．（B班不做）设总体X服从正态总体N(0， )，X1,X2, ，Xn是来自总体的简单样本，考虑检验问题

H0:

2

2

1

H1:

2

2

在显著水平α=0.05下，求最优检验（MP）的拒绝域。

八．研究小麦品种与施肥的农田实验，考察的因素与水平如下表所示:

据经验需考虑交互作用A×B，选用正交表L8(27)，数据如表所示。

用极差分析确定最优方案（以数据大者为好）

九．（6分）设X= (X1,X2,X3,X4)’的协方差阵为

2

2 V 2

2

222

2

222

2

2

2

2

2

2

2

已知V的特征根是

1 (3 1)

，

2 3 4 (1 )

，其中 =0.83，

试根据85%的选取标准确定确定主成分个数，并求出主成分。

应用数理统计（2000 年）

一、填空

1 、设x1,x2,…x10 来自总体N(0,1) 的样本， 若y=k1(x1+2x2+3x3)2+k2(x4+x5+…+x10)2~x2(2)，则k1=__________ k2=__________

2、设x1,x2,…x2m来自总体N(4,9)的样本，若y=，

且

Z=，服从t分布，则

c=________ ,z~t(_________ )

3、设x1,x2,…x2m来自总体N(μ,σ2)的样本，已知y=( x2-x1)2+（x3-x4） 2 +…+(x2m-x2m-1)2，且Z=cy为σ2的无偏估计，则c=_________

4、上题中，Dz=_________

5、由总体F(x)与G(x)中依次抽得容量为12 和11 的样本，已计算的游程总个数

U=12，试在水平α=0.05 下检验假设H0：F(x)= G(x)，其结论为___________ （U0.05（12，11）=8）

二、设x1,x2,…x61 来自总体N(0,1) 的样本， 令y=，

(t0.975(60)=2)

试求P

三、设总体x 的密度函数为

而（x1,x2,…xn）为来自x的样本，试求α 的极大似然估计量。

四、设x~N(μ1,σ2)，y~ N(μ2,σ2),今抽取x的样本x1,x2,…x8；y的样本y1,y2,…y8； 计算得

1．试在水平α=0.01 下检验假设H0：μ1=μ2，H1：μ1>μ2 2．试求α=0.02 时，μ2-μ1的估计区间（t0.99(14)=2.6245）

五、欲考察因子A,B,C,D及交互作用A×C，且知B也可能与其它因子存在交互作

用，试在L8(27)上完成下列表头设计。并说明理由。

B A D C B 1 2 3 4 5 6 7

用L8(27)的交互作用表

六、已知(x1, y1), (x2, y2),…, (x9, y9)为一组实验值，且

计

算

得

,

,

试求线性回归方程y = a + b x

七、x1,x2,…x100来自总体x~π(λ)的一个样本，试求参数λ的近似(1-α)置信区间，

/S

(Ex=λ,Dx=λ)

八、在一元线性回归中，lyy=Q+U,F=U来判定回归显著性的办法。

Q/S

~F(s,t),试给出用F值

应用数理统计（2001 年）

一、 填空（每空3 分，共30 分）

1．设x1,x2,…… ， x10 为来自总体N （ 0 ， 1 ） 的样本， 若y ＝

k1(2x1+x2-3x3)+k2(x4+x5+……＋x10)2,且y~x2(2).则k1=_______,k2=_______

2．设x1,x2,……，x12为来自总体N（0，A）的样本，若y=（x12+x22+x32）÷（x12+x22+……＋x12）且Z＝cy~F分布，则c=__,Z~F( )

3．若x1,x2,……，x20为来自总体N（μ，σ2）的样本,若y=(x2-x1)2+(x4-x3)2+……＋（x20-x19）2，且Z=cy为σ2的无偏估计，则c=__,DZ=__

4．若x1,x2,……，x100为来自总体N（10，σ2

）的样本，若

，则Ey=__,Dy__

5．若x1,x2,……，x16为来自总体N（μ，0.012）的样本,其样本平均值x---=2.215,则μ的0.20 置信区间为_________（取三位小数），（已知Ф（1.645）＝0.95，Ф（1.282）＝0.90）

二（10 分）设总体X 的概率密度函数为

材料学院研究生会学术部

而x1,x2,……，xn为来自X的样本，试求α的矩估计量和极大似然估计量。

三（10 分）设x1,x2,……，x61为来自总体N（0，1）的样本。令

y=

,且P （x61/y≤k）＝0.95，试求k。

四（10 分）设X~N（μ1，σ2）,Y~N（μ2，σ2）令抽取A的样本x1,x2,……，x8，Y的样本y1,y2,……，y8试推导假设H0：μ1＝μ2；H1：

μ

1＞μ2的拒绝域，设若

,是否接受H0？

五（10 分）设y～N（Ae-Bx，σ2）,试由样本（x1,y1）（x2,y2）,……（xn,yn）估计参数A及B（可利用已有的结论或公式些出相应的结果）。

六（10 分）今有正交试验结果列于下表（大者为好）

试用级差分析对结果进行分析判断，若A、B、C 的水平数皆为实际条件数据由小到大排列，试选出最优工艺条件并指出进一步试验的方

向。

七、（10 分）设t~t(n)，F~F(n, 1)且p{t≤tα(n)}=α，p{F≤Fα(n, 1)}=α

试证明：

八、（10 分）设X 的概率密度函数为

试求β 的极大似然估计量，并由此求一个

β 的无偏估计量

应用数理统计（2003 年）

1. 设X1, X2, … , X100为来自正态总体N(0,σ2)的样本，若

Y=，求EY，EY2。

2. 设总体X~N(μ,σ2)，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，记

,

,求ES4。

3. 已知随机变量X的分布律为：P{X=k}=qpk-1，k=1，2，…，（q=1- p）

试求X 的特征函数 (t)，并由此求EX，DX。

4. 设总体X的概率密度为f(x;θ)= 为常数，试用来自X的样本

,其中c>0

构造的θ矩估计量。

5. 设总体X~N(μ,52)，其样本为（X1，X2，…，Xn），这时μ的置信区间为1-α， 的置信区间为_____

① 当 n 固定时，若要提高置信度，置信区间长度会＿ ② 当置信度固定时，增大 n，置信区间长度会＿

6. 设（X1，X2，…，Xn）为来自正态总体N(0,σ2)的样本，若

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