金融经济学(王江)习题解答

金融经济学习题解答

王江

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2006 年 8 月

第 2 章

基本框架

2.1 U(c) 和 V (c) 是两个效用函数，c 2 R+，且 V (x) = f(U(x))，其中 f(￠) 是一正单调

n

函数。证明这两个效用函数表示了相同的偏好。

解. 假设 U(c) 表示的偏好关系为 o，那么 8 c1; c2 2 R+ 有 U(c1) ? U(c2) , c1 o c2 而 f(￠) 是正单调函数，因而

V (c1) = f(U(c1)) ? f(U(c2)) = V (c2) , U(c1) ? U(c2)

因此 V (c1) ? V (c2) , c1 o c2，即 V (c) 表示的偏好也是 o。

N

2.2* 在 1 期，经济有两个可能状态 a 和 b，它们的发生概率相等：

a b

考虑定义在消费计划 c = [c0; c1a; c1b] 上的效用函数： U(c) = log c0 + (log c1a + log c1b) 3

1

2 ′

U(c) =

1 1?1 1?°1 1 1?°° c + c + 1?° 0° 1a1?° c1b21?

000U(c)

证明它们满足：不满足性、连续性和凸性。

?￠ ac ? 21 e?ac + e?ac = ?e?

解. 在这里只证明第一个效用函数，可以类似地证明第二、第三个效用函数的性质。

(a) 先证明不满足性。假设 c ? c，那么

0

有 c0 ? c00; c1a ? c01a; c1b ? c01b 而 log(￠) 是单调增函数，因此有

log(c0) ? log(c00); log(c1a) ? log(c01a); log(c1b) ? log(c01b) 因而 U(c) ? U(c)，即 c o c。

0

0

2

第 2 章 基本框架

(b) 现在证明连续性。令 fc

(n)13(n)

g1 为 R 中一个序列，且 limn!1 c = c。对于

\8 \0; 9 ±，当 j c0i ? ci j· ± 时我们有 j log(c0i) ? log(ci) j< 3 ; i = 0; 1a; 1b；对

于 ±，9 N 使得当 n ? N 时，

kc?ck=

(n)

q

(c0 ? c0) + (c1a ? c1a) + (c1b ? c1b)(n)

(n)2(n)2(n)2 < ±

因而 j U(c

(n)

) ? U(c) j< \，故 limc(n)!c U(c

) = U(c)。

(c) 最后证明凸性。假设 U(C) > U(C0)，那么

1 log(c0 ) log(c ) + 1 log(c ) + 1 log(c ) > log(c0 ) + 1 log(c0 ) +

1b 1a 1b 0 0 1a

2 2 2 2

对于 8 ? 2 (0; 1)，

U(?C0 + (1 ? ?)C)

1 1 0 0

= log(?c0 + (1 ? ?)c0) + 2 log(?c1a + (1 ? ?)c1a) + 2 log(?c1b + (1 ? ?)c1b)

1 1 1 0 1 0

? ?(log(c0) + 2 log(c1a) + ?)(log(c0) + 2 log(c1a) + 2 log(c1b)) 2 log(c1b)) + (1 ?

00

= ?U(C) + (1 ? ?)U(C) > U(C)

0

0

故凸性成立。

2.3 U(c) = c ? 2 a c 是一可能的效用函数，其中 c 2 R+，a 是非负的系数。U(c) 具有不

满足性吗？如果不，那么 a 取什么值和/或 c 在什么范围内时 U(c) 具有不满足性？

12

解. 不一定。比如当 a = 1 时，U(2 ) = 8 < U(1) = 2 > U(3) = ?1:5。U(c) 不

具有不满足性。当 a = 0 时，U(c) = c 具有不满足性；当 a > 0 时，当 c 2 [0;

1a ] 时 U(c) 具有不满足性。

131

2.4 考虑一个经济，它在 1 期有三个可能状态：a，b 和 c：

a

b c

证券市场包括证券 1 和 2，它们具有如下的支付向量：X1 = [1; 1; 1] 以及 X2 = [1; 2; 3]。它们的价格分别为 S1 和 S2。

(a) 描述这个经济的支付空间。

(b) 写出这个经济的市场结构矩阵 X。

(c) 考虑含有 μ1 单位的证券 1 和 μ2 单位的证券 2 的组合。写出这个组合的

支付向量。这个组合的价格是多少？

°c王江 金融经济学

3

(d) 假设这个市场中总共有 K 个参与者。每个参与者的禀赋是 1 单位的证券 1

和 2 单位的证券 2。这时的市场组合是什么？市场组合的支付向量是什么？市场组合的总价值是多少？

(e) 写出市场化支付的集合。

(f) 如果市场不允许卖空。市场化支付的集合是什么？

(g) 现在引入新的证券 3，它的支付向量为 X3 = [0; 0; 1]。写出新的市场结构矩

阵。在这个市场结构下，市场化支付集合是什么？

解.

3

(a) 这个经济的支付空间是 R； 4 1 1 5

1 3

(b) 市场结构矩阵为 X = 2 1 2 3 = [X1; X2]；

(c) 组合的支付向量为 μ1X1 + μ2X2 = [μ1 + μ2; μ1 + 2μ2; μ1 + 3μ2]，组合的价格是 μ1S1 + μ2S2；

； (d) 市场组合是 K 单位的证券 1 和 2K 单位的证券 2，组合的支付向量为

[3K; 5K; 7K]，组合的总价值是 KS1 + 2KS2 (e) 市场化的支付集合是 M = fY 2 R

2

2

: Y = μ1X1 + μ2X2; μ1; μ2 2 Rg；

(f) 这时的市场化支付集合是 M+ = fY 2 R : Y = μ1X1 + μ2X2; μ1; μ2 2 R+g；

4 1 1 0 5 合为 。 3

1

3

1

(g) 新的市场结构矩阵为 X = 2 1 2 0 3 = [X1; X2; X3]，此时的市场化支付集

M = fY 2 R : Y = μ1X1 + μ2X2 + μ3X3; μ1; μ2; μ3 2 Rg

2.5 在练习 2.4 中定义的只存在证券 1 和 2 的经济中。考虑一个禀赋为 μ1 单位的

证券 1 和 μ2 单位的证券 2 的参与者。写出他的预算集。

解. 参与者的预算集是 fC 2 R+ : C = ?1X1 + ?2X2; 其中 ?1S1 +

3

?2S2 · μ1S1 + μ2S2g。

2.6 在上面的练习中引入练习 2.4 中定义的证券 3，它的价格为 S3。这时，参与者的

预算集是什么（他在证券 3 上的禀赋为 0）？证明由证券 1、2、3 构成的预算集包含仅由证券 1、2 构成的预算集。

解. 此时参与者的预算集就变成了 fC 2 R+ : C = ?1X1 +?2X2 +?3X3; 其中 ?1S1 +

3

?2S2 + ?3S3 · μ1S1 + μ2S2 + μ3S3g。

2.7* 考虑一个在 1 期只有一个可能状态的经济。（在这种情况下不存在不确定性。）参与者

1 的 0 期禀赋为 100 而 1 期禀赋为 1，即他的禀赋向量为 [100; 1]。他的偏好可

金融经济学 江

°c王

4 第 2 章 基本框架

以表示成如下形式：

U(c0; c1) = log c0 + ? log c1:

系数 ? 为反映参与者在当前消费和未来消费之间相对偏好的参数。有一只证券，它

的 0 期价格为 1、1 期支付为 1 + rF 。这里，rF 是利率。

(a) 如果这个参与者不能在市场上进行交易，那么他的消费计划以及相应的效用

U 是什么？

(b) 现在假设他可以在市场上进行交易。

2 他的预算集是什么？以当前消费为单位，他的总财富 w 是多少？

2 写出参与者的优化问题。令 c0 为参与者的当前（即 0 期）最优消费、s 为最优储蓄以及 U 为在最优策略下得到的效用。求解他的最优消费/储蓄选择

以及相应的效用。把 U 表示成财富 w、利率 rF 和偏好系数 ? 的函数。 2 讨论参与者的最优选择如何依赖于利率 rF 和偏好系数 ? 。给出解释。

b

b

a

(c) 证明 U ? U。

(d) 令 g 为参与者由于能够在证券市场上交易而获得的益处。它的定义为

U(w ? g) = U:

计算 g。讨论 g 如何依赖于 ?？g 如何依赖于 rF ？给出解释。

b

a

ba

解.

(a) 如果不能交易，那么参与者只能消费自己的初始禀赋，即

c0 = 100; c1 = 1; U = log(100) + ? log(1) = log(100)

(b) 参与者的预算集是 fC 2 R+ : c0 = 100 ? S; c1 = 1 + S(1 + rF ); S 2 Rg，如

果以当前消费为单位，他的总财富是 w = 100 + 1+rF 。参与者的优化问题就是

a

2

1max log(100 ? S) + ? log(1 + S(1 + rF ))

S

我们求得最优储蓄 1 S = 100?(1 + rF ) ?

(1 + ?)(1 + rF ) 最优消费为

c 王江 100(1 + rF ) + 1 1 ?(100(1 + rF ) + 1) ?(1 + rF ) c0 = (1 + ?)(1 + rF ) = 1 + ? w; c1 = (1 + ?)(1 + rF ) = 1 + ? w

金融经济学 °

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