第26讲解直角三角形的应用

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第26讲解直角三角形的应用

考点知识精讲

中考典例精析

举一反三

考点训练

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考点知识精讲考点一解直角三角形的应用中的相关概念

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1.仰角、俯角：如图①,在测量时，视线与水平线所成的角中，视

线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.

2.坡度(坡比)、坡角：如图②,坡面的高度 h 和水平距离l 的比叫 h 坡度(或坡比),即 i=tanα = ,坡面与水平面的夹角 α 叫坡角. l 3.方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水

平角，叫做方向角.如图③,表示北偏东60°方向的一个角.

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注意：东北方向指北偏东 45° 方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向.我们一般画

图的方位为上北下南，左西右东.4.方位角：从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角.

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考点知识精讲考点二直角三角形的边角关系的应用

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日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，直角

三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节： (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题); (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案.

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中考典例精析30°,点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )

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(1)(2011·贵阳)如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=3,∠B=

A.3.5C.5.8

B.4.2D.7

(2)(2010·深圳)如图，一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向，距离灯塔 40 2 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则海轮行驶的路程 AB 为________海里(结果保留根号).

【点拨】本组题重点考查解直角三角形的应用及有关概念.准确掌握直角三角形的两锐角间的关系,三边之间的关系和边角关系是解题的关键.上一页下一页

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中考典例精析【解答】(1)D

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AC 3 ∵sinB= ,∴AB= =6.又 AC≤AP≤AB, AB sin30°

∴3≤AP≤6,∴AP 的长不可能是 7.故选 D. (2)40+40 3 PA·sinA=40 2× 在 Rt△APC 中，AP=40 2,∠A=45°,则 AC=PC= 2 =40.在 Rt△PBC 中，PC=40,∠B=30°,则 BC= 2

PC 40 = =40 3.所以海轮行驶的路程 AB=AC+BC=40+40 3(海里). tanB 3 3

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中考典例精析(2011·芜湖)如图所示，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的

高度，他们先

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在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°,再沿着BA的方向后退20 m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°,求该古塔BD的高度.( 3 ≈1.732,结果保留一位小数) 【解答】根据题意可知∠BAD=45°,∠BCD=30°,AC=20m.Rt△ABD 中,由BD BD ∠BAD=∠BDA=45°,得 AB=BD.在 Rt△BDC 中,由 tan∠BCD= ,得 BC= BC tan30° = 3 BD. 设 BD=xm 则 AB=xm,BC= 3 xm,∵BC-AB=20,∴ 3 x-x=20,x= ≈27.3. 答：该古塔的高度约为 27.3 m.上一页下一页

20 3-1

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举

一

反

三)

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1.某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于 60°,否则就有危险，那么梯子的长至少为( A.8 米 B.8 3 米 8 3 C. 米 3 4 3 D. 米 3

答案：C 2.如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离) 为4 m.如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m,那么相邻两树间的坡面距离为( A.5 m 答案：A B.6 m ) C.7 m D.8 m

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3.河堤横断面如图所示，堤高 BC=5 米，迎水坡 AB 的坡比是 1∶ 3(坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比),则 AC 的长是( A.5 3 米 ) B.10 米 C.15 米 D.10 3 米

答案：A 4.如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD=12°,为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°.参考数据 (1)求坡高CD; sin12°≈0.21 (2)求斜坡新起点A与原起点B的距离(精确到0.1米). cos12°≈0.98 tan5°≈0.09 答案：(1)2.1米 (2)13.5米上一页下一页

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5.如图所示，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到 O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A岛

在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？(参考数据： 3 ≈1.732)

答案：AC≈27.32>25,所以轮船不会触礁

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解直角三角形的应用

训练时间：60分钟

分值：100分

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一、选择题(每小题4分，共40分)

1.(2011· 日照)如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90° ,把∠A b 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作 cotA=a.则下列关系式中不成立的是( )

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考A.tanA·cotA=1 B.sinA=tanA·cosA

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C.cosA=cotA·sinAD.tan2A+cot2A=1

ab a ab 【解析】∵tanA· cotA= ·=1,sinA= ,tanA· cosA= ·= ba c bc a b ba b ,cosA= ,cotA· sinA= ·= ,∴A、B、C 三项均正确；而 c c ac c4 4 a2 b2 a +b tan2 A+cot2 A= 2+ 2= 2 2 ≠1,∴D 项不成立. b a ab

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2.(2010

中考变式题)如图，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，

拉线和地面成60°角，则拉线AC的长为(

)

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考A.5tan60°m 5 C. m tan60°

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练5 B. m sin60° 5 D. m cos60°

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5 【解析】∵sin60°= ,∴AC= (m). AC sin60°【答案】B

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3.(2010中考变式题)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD=30°,在C点测得∠BCD=60°,又测得AC=50 m,

则小岛B到公路l的距离为______m.(

)

A.25

B.25 3

100 3 C. 3

D.25+25 3

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【解析】过点 B 作 BE⊥AD 于 E,设 BE=x,在 Rt△ABE 中，

AE = x

,在 Rt△CBE 中，CE = ,∴ AC =AE -CE = tan30° tan60°

- =50,解得 x =25 3,即小岛 B 到公路 l 的距 tan30° tan60° 离为 25 3 m.【答案】B

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4.(2011·潍坊)身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的),

则四名同学所放的风筝中最高的是(同学放出风筝线长线与地面夹角甲 140 m 30°

)乙 100 m 45° 丙 95 m 45° 丁 90 m 60°

A.甲 C.丙

B.乙 D.丁

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1 【解析】甲=140· 30° h sin =140× =70(m), 乙=100· 45° h sin 2 2 2 95 =100× =50 2(m),h 丙=95· 45° sin =95× = 2(m), 2 2 2 3 h 丁=90· 60° sin =90× =45 3(m), 丙<h 甲<h 乙<h 丁. ∴h 2【答案】D

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5.(2010中考变式题)某人沿着坡度i=1∶1的山坡走了500米，这时他的垂直高度上升了( )

A.500 米 B.500 2米 C.250 米 D.250 2米

【解析】500÷ 2=250 2(米).【答案】D

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