2014高考数学 黄金配套练习6-2 理

2014高考数学（理）黄金配套练习

一、选择题

1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( ) A．5 B．6 C．8 D．10 答案 A

解析 依题意得a1＋a9＝2a5＝10，a5＝5，选A.

3ππ

2．在等差数列{an}中，a2＋a6＝，则sin(2a4－)＝( )

23A.

31

B. 22

31

D．－ 22答案 D

3π3ππ3πππ1

解析 ∵a2＋a6＝，∴2a4＝，∴sin(2a4－)＝sin(－)＝－cos＝－，选

2232332C．－D.

3设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a4＝9，S3＝15，则数列{an}的通项an＝( )

A．2n－3 B．2n－1 C．2n＋1 D．2n＋3 答案 C

????a4＝9?a1＋3d＝9?a1＝3??解析 由???，所以通项an＝2n＋1. ?S3＝15?3a1＋3d＝15?d＝2???

2

4．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－2am＝0，S2m－1＝39，则m＝( ) A．38 B．39 C．20 D．19 答案 C

2

解析 ∵am－1＋am＋1＝2am 又∵am－1＋am＋1＝2am ∴am＝1或0(舍去)

2m－1a1＋a2m－1∵S2m－1＝＝(2m－1)am

2

∴(2m－1)am＝39，∴2m－1＝39 ∴m＝20. 5．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝( ) A．120 B．105 C．90 D．75 答案 B

解析 设公差为d且d>0.

??a1＋a2＋a3＝15由已知?，

?aaa＝80123?

得?

??a1＋d＝5??a1a1＋da1＋2d＝80解得a1＝2，d＝3(∵d>0)．

∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝105

6．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝

.

Sn7na5

，则等于( )

Tnn＋3b5

- 1 -

2

A．7 B.

3

2721C. D. 84答案 D

9

a1＋a9a52a5a1＋a92S921解析 ＝＝＝＝＝. b52b5b1＋b99T94

b1＋b92

7．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于( )

5

A．1 B. 3

C．2 D．3 答案 C

3a1＋4??＝6

2解析 由???a1＋2d＝4

，解得d＝2.

二、填空题

8．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)、Q(4，a4)的直线的斜率是________．

???a4＝a1＋3d＝15?a1＝3?解析 设数列{an}的公差为d，则依题意，得??，故直线?S5＝5a1＋10d＝55?d＝4??

a4－a3dPQ的斜率为＝＝4.

4－31

1

9．已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若{}是等差数列，则a11＝________.

1＋an答案 0

11111111n＋1

解析 记bn＝，则b3＝，b5＝，数列{bn}的公差为×(－)＝，b1＝，∴bn＝，1＋an3222312612

1n＋111－n即＝，∴an＝，故a11＝0. 1＋an12n＋1

10．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2010，－＝2，则S2010的值为________．

20092007

答案 －2010

＝a1＋(n－1)，∴

n22009

S2007dd2010×2009－＝a1＋×2008－a1－×2006＝d＝2，∴S2010＝－2010×2010＋×2＝－20072222010×2010＋2010×2009＝－2010.

122

11．方程(x－x＋m)(x－x＋n)＝0有四个不等实根，且组成一个公差为的等差数列，则2

mn的值为________．

15

答案 － 256

解析 设四个根组成的等差数列为x1，x2，x3，x4，根据等差数列的性质，则有x1＋x4＝x2＋x3＝1

解析 在等差数列{an}中，设公差为d，则＝

S2009S2007

Snnnna1＋(n－1)d2

dS2009

- 2 -

11

∴2x1＋3d＝1，又d＝，∴x1＝－ 24

135∴x2＝，x3＝，x4＝ 444

15

∴mn＝(x1x4)(x2x3)＝－ 256

12．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，

第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … … … … … … 那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________． 2

答案 n＋n

解析 第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，则其第n＋1项

2

为n＋n·n＝n＋n.

13．已知数列{an}共有m项，记{an}的所有项和为S(1)，第二项及以后所有项和为S(2)，第三项及以后所有项和为S(3)，…，第n项及以后所有项和为S(n)，若S(n)是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当n

答案 －2n－1

n(n－1)2

解析 由题意得S(n)＝an＋…＋am＝n×1＋×2＝n，当n

2

22

an＋1＋…＋am＝(n＋1).故an＝S(n)－S(n＋1)＝n－(n＋1)2＝－2n－1.

三、解答题

14．在编号为1～9的九个盒子中，共放有351粒米，已知每个盒子都比前一号盒子多放同样粒数的米．

(1)如果1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？ (2)如果3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几米粒？ 答案 (1)7 (2)8

解析 1～9号的九个盒子中米的粒数依次组成等差数列{an} (1)a1＝11，S9＝351，求得：d＝7 (2)a3＝23，S9＝351，求得：d＝8

15．(2010·浙江卷，文)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.

(1)若S5＝5，求S6及a1； (2)求d的取值范围．

15

解析 (1)由题意知S6＝－＝－3，a6＝S6－S5＝－8，

S5

??5a1＋10d＝5，所以?

?a1＋5d＝－8.?

解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.

(2)因为S5S6＋15＝0，

所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，

22

即2a1＋9da1＋10d＋1＝0，

222

故(4a1＋9d)＝d－8，所以d≥8.

故d的取值范围为d≤－22或d≥22.

16．设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn. (1)若a11＝0，S14＝98，求数列{an}的通项公式；

(2)若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式．

- 3 -

答案 (1)an＝22－2n

(2)an＝12－n和an＝13－n

解 (1)由S14＝98得2a1＋13d＝14，

又a11＝a1＋10d＝0，故解得d＝－2，a1＝20.

因此{an}的通项公式是an＝22－2n，n＝1,2,3，….

S14≤77??(2)由?a11>0

??a1≥6

2a1＋13d≤11??

，得?a1＋10d>0

??a1≥6

，

2a1＋13d≤11 ①??

即?－2a1－20d<0， ②??－2a1≤－12 ③

11由①＋②得－7d<11，即d>－. 7

由①＋③得13d≤－1，

1111

即d≤－.于是－

13713

又d∈Z，故d＝－1.④

将④代入①②得10

所以所有可能的数列{an}的通项公式是 an＝12－n和an＝13－n，n＝1,2,3，….

拓展练习·自助餐

1．在数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( )

A．a21·a22 B．a22·a23 C．a23·a24 D．a24·a25 答案 C

22

解析 由3an＋1＝3an－2 ，得an＋1＝an－，即数列{an}是以a1＝15为首项，－为公

33

247－2n差的等差数列，所以an＝15－(n－1)＝，可得a23>0，a24<0，即得a23·a24<0，故选C.

33

2．(09·安徽)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( ) A．－1 B．1 C．3 D．7 答案 B

解析 两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋(－34)＝1.

nn＋1

3．已知An＝{x|2

67

解析 ∵A6＝{x|2

m＝9

各数成一首项为71，公差为7的等差数列，

- 4 -

9×8

∴71＋78＋…＋127＝71×9＋×7＝891

2

4．已知等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值是________． 答案 25

解析 方法一 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

20×19

由题意：20a1＋×d＝100，即a1＝5－9.5d，

2

2

又a7·a14＝(a1＋6d)(a1＋13d)＝(6d＋5－9.5d)(5－9.5d＋13d)＝25－12.25d 所以a7·a14的最大值为25. 方法二 ∵a7＋a14＝10，

a7＋a142

∴a7·a14≤()＝25.

2

5．在等差数列{an}中，Sn是它的前n项的和，且S6S8.有下列四个命题： ①此数列的公差d<0； ②S9一定小于S6；

③a7是各项中最大的一项； ④S7一定是Sn中的最大值．

其中正确命题的序号是________． 答案 ①②④

解析 ∵S60 ∵S7>S8 ∴a8<0

∴d<0，∴S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0 n＝7时，Sn最大． 6．将等差数列3,8,13,18，…按顺序抄在练习本上，已知每行抄13个数，每页抄21行．求数33333所在的页和行．

解析 a1＝3，d＝5，an＝33333，∴33333＝3＋(n－1)×5，∴n＝6667，可得an在第25页，第9行．

教师备选题

1．若{an}是等差数列，首项a1>0，a2003＋a2004>0，a2003·a2004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是( )

A．4005 B．4006 C．4007 D．4008 答案 B

4006a1＋a4006解析 解法一：S4006＝ 2

＝2003(a2003＋a2004)>0. ∵a2003>0，a2004<0. ∴S4007＝4007a2004<0.

∴4006是Sn>0的最大自然数．

解法二：a1>0，a2003＋a2004>0且a2003·a2004<0 ∴a2003>0且a2004<0.

∴S2003为Sn中的最大值． ∵Sn是关于n的二次函数．

∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小． 4007∴在对称轴右侧．

2

∴4006在抛物线与x轴右交点的左侧，4007、4008都在其右侧． ∴Sn>0中最大的自然数是4006.

- 5 -

2．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和．若Sn取得最大值，则n＝________.

答案 9

解析 设公差为d，由题设，3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，

4

解得d＝－a1<0，

33

4

解不等式an>0，即a1＋(n－1)(－a1)>0，

33

37

得n<，则n≤9.当n≤9时，an>0.

4

同理，可得当n≥10时，an<0. 故当n＝9时，Sn取得最大值．

3．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn.已知2a2＝a1＋a3，数列{Sn}是公差为d的等差数列．求数列{an}的通项公式(用n，d表示)．

解析 由题设知，Sn＝S1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)d，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(Sn22

－Sn－1)(Sn＋Sn－1)＝2da1－3d＋2dn.

22

由2a2＝a1＋a3，得2(2da1＋d)＝a1＋2da1＋3d，解得a1＝d.

22

故当n≥2时，an＝2nd－d.

22

又a1＝d，所以数列{an}的通项公式为an＝(2n－1)d.

2

4．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；

(2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，请说明理由；

2

解 (1)由于an＋1＝(n＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1， 所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.

2

从而a3＝(2＋2－3)×(－1)＝－3.

(2)数列{an}不可能为等差数列．证明如下：

2

由a1＝1，an＋1＝(n＋n－λ)an得

a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)． 若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即

(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，

这与{an}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{an}都不可能为等差数列．

5．已知等差数列{an}中，公差d>0，其前n项和为Sn，且满足：a2·a3＝45，a1＋a4＝14. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)通过公式bn＝

Sn(3)求f(n)＝(n∈N)的最大值．

n＋25·bn＋1

解析 (1){an}为等差数列，

∴a1＋a4＝a2＋a3＝14，又a2·a3＝45.

2

∴a2，a3是方程x－14x＋45＝0的两实根． 又公差d>0，∴a2

n（n－1）2

(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n－n，

2

2

Sn2n－n∴bn＝＝.

n＋cn＋cn＋cbn构造一个新的数列{bn}，若{bn}也是等差数列，求非零常数c；

*

- 6 -

∴b1615

1＝1＋c，b2＝2＋c，b3＝3＋c.

又{bn}也是等差数列，∴b1＋b3＝2b2.

即2·62＋c＝11＋c＋153＋c，解得c＝－1

2(c＝0舍去)．

2

∴b2n－nn＝＝2nn－1.

2

易知{b}是等差数列，故c＝－1

n2. (3)f(n)＝2nn（n＋25）·2（n＋1）＝n2＋26n＋25＝111n＋25≤＋26

＝n＋2622536. n＝25n，即n＝5时取等号，∴f(n)1

max＝36. - 7 -

当且仅当

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3xag.html