专题三直线与椭圆综合

专题三 直线与椭圆综合

x2y231．（12分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，椭圆C的长轴长为4．

ba2（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线l:y?kx?3与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 2．（本小题满分14分） 已知椭圆G的离心率为

（0,-1）．

，其短轴的两个端点分别为A（0,1）,B

（Ⅰ）求椭圆G的方程；

（Ⅱ）若C,D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC,BD与x轴分别交于点M,N．判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由．

x2y21（a＞b3．（本小题满分12分）已知直线l： y?3x?23过椭圆C：2＋2＝ab＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为

6． 3（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点D（0，1）的直线与椭圆C交于点A，B，求△AOB的面积的最大值．

x2y214．已知椭圆C:2?2?1（a>b>0）的两个焦点分别为F1,F2，离心率为，过F1的

2ab直线l与椭圆C交于M，N两点，且?MNF2的周长为8．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A,B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值．

5．已知椭圆的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为

3，且经过点M(4,1)，直线2l:y?x?m交椭圆于异于M的不同两点A,B．直线MA、MB与x轴分别交于点E、F．

（1）求椭圆标准方程； （2）求m的取值范围；

（3）证明?MEF是等腰三角形．

试卷第1页，总3页

6．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为距离的最大值为3．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

1，椭圆C上的点到焦点2????????（Ⅱ）若过点P(0,m)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B，且AP?3PB，求实数

m 的取值范围．

x2y237．（本小题满分13分）已知点P（一1，）是椭圆E：2?2?1(a?b?0)上一

2ab点F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．

（1）求椭圆E的方程；

????????????（2）设A，B是椭圆E上两个动点，满足：PA?PB??PO(0???4,且??2)，求

直线AB的斜率 8．已知椭圆E：x22a?yb22e??1?a ?0,b ?0?的离心率 13P3,) ，并且经过定点 (22（1）求椭圆 E 的方程；

（2）问是否存在直线y=-x+m，使直线与椭圆交于 A, B 两点，满足OA?OB,若存在求 m 值，若不存在说明理由．

x2y2319．椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点A(1,)，离心率为，左、右焦点分别为F1,F2，

22ab过F1的直线交椭圆于A,B两点． （1）求椭圆C的方程； （2）当?F2AB的面积为

122时，求直线的方程. 7x2y2210．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)经过点A(2, 1)，离心率为，过点B(3, 0)ab2的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N． （1）求椭圆C的方程； （2）求BM?BN的取值范围.

11．（满分14分）如图在平面直角坐标系xoy中，F1,F2分别是椭圆

?????????x2y2??1(a?b?0)的左右焦点，顶点B的坐标是(0,b)，连接BF2并延长交椭圆于a2b2点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接FC1.

试卷第2页，总3页

（1）若点C的坐标为(,)，且BF2?2，求椭圆的方程；

4133?AB，求椭圆离心率e的值. （2）若FC1x2y2112．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点A(2,3)，且离心率e?．

2ab（1）求椭圆C的标准方程；

?????????16（2）是否存在过点B(0,?4)的直线l交椭圆于不同的两点M、N，且满足OM?ON?7（其中点O为坐标原点），若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

1x2y2313．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为e?，且过点（3,），

ab22（1）求椭圆的方程；

（2）设直线l:y?kx?m(k?0,m?0)与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线的方程.

试卷第3页，总3页

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参考答案

y211?x2?1；1．（1）（2）存在实数k??使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点42O．

【解析】 试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用椭圆的离心率和长轴长列出方程，解出a和c的值，再利用a2?b2?c2计算b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，将直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，得到x1?x2、x1x2，由于以线

????????段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以OA?OB?0，即x1x2?y1y2?0，代入x1x2和y1y2，解出k的值．

?a?2?试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得?c3，

??2?a解得???a?2222，所以b?a?c?4?3?1，

??c?3y2?x2?1． 故所求椭圆C的方程为4（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O． 理由如下：

设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，

?y?kx?3?则?y2

2??x?1?4并整理，得(k2?4)x2?23kx?1?0．（*）

则x1?x2??123kxx??，． 12k2?4k2?4因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，

????????所以OA?OB?0，即x1x2?y1y2?0．

又y1y2?kx1x2?3k(x1?x2)?3，

2答案第1页，总15页

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x2y2试题解析：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：2?2?1(a?b?0)．

ab?c1?a?2?a?2??x2y2?1． ??b?3, 所求椭圆方程为：?由题意?a?c?343?a2?b2?c2?c?1???（Ⅱ）若过点P(0,m)的斜率不存在，则m??3． 2若过点P(0,m)的直线斜率为k，即m??3时，直线AB的方程为y?m?kx． 2?y?kx?m222?(3?4k)x?8kmx?4m?12?0． 由?22?3x?4y?12于是 ??64m2k2?4(3?4k2)(4m2?12)．

因为AB和椭圆C交于不同两点，所以??0，4k2?m2?3?0，所以4k2?m2?3． ①

????????8km4m2?12,x1x2?设A(x1,y1),B(x2,y2)．由已知AP?3PB，则x1?x2??． 23?4k3?4k2②

????????AP?(?x1,m?y1),PB?(x2,y2?m) ， 所以 ?x1?3x2 ③

4km24m2?122222)?将③代入②, 得 ?3(．整理得 16mk?12k?3m?9?0． 223?4k3?4k9?3m29?3m2224k??m?3． 所以 k?, 代入①式, 得 2216m?124m?324m2(m2?3)3332?m?3?0即 ，解得．所以 或?3?m???m?3． 综上44m2?322可得，实数m的取值范围为 (?3,?33]?[,3)． 22考点：1、椭圆标准方程和简单几何性质；2、直线和圆锥曲线位置关系．

1x2y27．（1）??1,（2）

243答案第7页，总15页

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【解析】

试题分析：（1）求椭圆的方程，利用椭圆的定义求出a2,b2的值；（2）利用点差法可求圆锥曲线和一直线两个交点的问题，第一步，先设出直线与圆锥曲线两个交点如A(x1,y1)，

B(x2,y2)，这两点是圆锥曲线上的点，代入圆锥曲线方程，然后作差，通过变形可得一个

直线AB斜率的式子，一般情况下，知道AB的中点

常用这种方法，但要注意必要时，对得出的答案要验证，有时会产生增根． 试题解析：（1）?PF1?x轴，，?PF2?5 2分 ,?F1(?1,0)，c?1,F（,0）212?2a?PF1?PF2?4，?a?2,b2?3 分

x2y2故 所求椭圆方程是??1． 6分

43（2）设A(x1,y),B(x2,y2)，由于PA+PB=?PO , 得，(x1?1,y1?3)?(x2?1,y2?3)??(1,?3), 222?x1?x2???2,y1?y2?223(2??), 9分 222又:3x1?4y1?12 3x2?4y2?12 ,两式相减得 3(x1?x2)(x1?x2)+4(y1?y2)(y1?y2)?0

?(y1?y2)3(x1?x2)， 11分 ??(x1?x2)4(y1?y2) 而，x1?x2???2,y1?y2?3(2??)

2?KAB?(y1?y2)3(x1?x2)1??? 13分

(x1?x2)4(y1?y2)2考点：（1）求椭圆的标准方程;（2）直线与椭圆相交的综合问题．

x2210?y2?1;（2）m??8．（1）． 45【解析】

试题分析：（1）利用椭圆E：222xa?yb2e??1?a ?0,b ?0?的离心率 3，并且经过定2P3,)，建立方程，求出a，b，即可求椭圆E的方程；（2）直线y=-x+m代入椭圆方点 (12????????＝0，即可求m值． 程，利用韦达定理，结合OA⊥OB?OA?OB答案第8页，总15页

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试题解析：解（1）由题意：e?31c3222?1且2?，又 c?a?b?2a4ba2x2?y2?1 解得：a?4,b?1，即：椭圆E的方程为422（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)

?x22??y?1?x2?4(m?x)2?4?0?5x2?8mx?4m2?4?0 （*） ?4??y??x?m8m4m2?4,x1x2?所以x1?x2? 55824m2?4m2?4y1y2?(m?x1)(m?x2)?m?m(x1?x2)?x1x2?m?m??

55522????????由OA?OB?OA?OB?0

4m2?4m2?4210得(x1,y1)? (x2,y2)?0,x1x2?y1y2?0,??0,m??555又方程（*）要有两个不等实根，??(?8m)2?4?5(4m2?4)?0,?5?m?5 m的值符合上面条件，所以m??210 5考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

x2y2??1；9．（1）（2）直线方程为：x?y?1?0或x?y?1?0. 43【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过F1的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为

??时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与22椭圆方程联立，利用韦达定理得到x1?x2和x1x2，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.

答案第9页，总15页

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x2y2319试题解析：（1）因为椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点A(1,)，所以2?2?1①，又

2a4babb231c1因为离心率为，所以?，所以2?②，解①②得a2?4,b2?3.

2a2a4x2y2??1 （4分） 所以椭圆的方程为：43（2）①当直线的倾斜角为

?33时，A(?1,),B(?1,?),

222S?ABF2?11122AB?F1F2??3?2?3?227，不适合题意。 （6分）

②当直线的倾斜角不为

?时，设直线方程l:y?k(x?1)， 2x2y2??1得：(4k2?3)x2?8k2x?4k2?12?0 （7分） 代入43?8k24k2?12设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2?,x1x2?, 224k?34k?3?S?ABF212k211?AB?F1F2?y1?y2?F1F2?k22?1227(x1?x2)?4x1x2?k2?8k224k2?12(2)?4(2)?4k?34k?3k2?14k?3

?17k4?k2?18?0?k2?1?k??1，

所以直线方程为：x?y?1?0或x?y?1?0 （12分）

考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积

公式.

x2y2??1；10．(1)（2）(2, 3]. 63【解析】

?41?a2?b2?1,??试题分析：(1)利用题干中的两个条件，和椭圆本身的性质，得?a2?b2?c2,然后求解，

??c?2.?2?a代入即可；

答案第10页，总15页

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（2）由题干 “过点B(3, 0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N”．设直线l的方程为

y?k(x?3)，

?y?k(x?3),?由?x2y2得(1?2k2)x2?12k2x?18k2?6?0，设M，N的坐标分别为(x1,y1)，

?1,??3?6(x2,y2)，

?????????3?3k2然后利用根与系数的关系，代换出BM?BN?(x1?3)(x2?3)?y1y2?，注意：k21?2k的范围.

?41?a2?b2?1,??试题解析：（1）由题意得?a2?b2?c2, 解得a?6，b?3．?椭圆C的方程为

??c?2.?2?ax2y2??1． 63（2）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?k(x?3)，

?y?k(x?3),?2222由?x2y2得(1?2k)x?12kx?18k?6?0. ?直线l与椭圆C交于不同的两

?1,??3?64222点M，N，???144k?4(1?2k)(18k?6)?24(1?k)?0，解得?1?k?1.设M，

12k218k2?6N的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则x1?x2?，x1x2?，y1?k(x1?3)，221?2k1?2ky2?k(x2?3)．

?????????BM?BN?(x1?3)(x2?3)?y1y2?(1?k2)[x1x2?3(x1?x2)?9]?????????3?3k23333??1?k?1?2??????3?BM?BN的范围为21?2k222(1?2k2)22(1?2k)(2, 3]．

考点：椭圆定义，转化与化归思想，舍而不求思想的运用.

x21?y2?1；11．（1）（2）．

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