《概率论与数理统计教程》课后习题解答

第一章 事件与概率

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述ABC的意义。

(2)在什么条件下ABC?C成立？ (3)什么时候关系式C(4) 什么时候A??B是正确的？

B成立？

解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。 (2)

ABC?C 等价于C?AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。 1.3 一个工人生产了n个零件，以事件示下列事件：

(1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。 解 (1)

Ai表示他生产的第i个零件是合格品（1?i?n）。用Ai表

?A; (2) ?A??A; (3) ?[A(?A)];

innnnniiiji?1i?1i?1i?1j?1j?i(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为

i,j?1i?j?AAinj；

1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

解 样本点总数为

A82?8?7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、

4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件

11A32?2A3?A5?2?3?6个样本点。于是

A“所得分数为既约分数”包含

P(A)?2?3?69?。

8?7141.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。 解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9?10?1?89个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9?8?17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为

P(A)?17 891.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为9。事件

1

7。所A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”以包含

A79个样本点，于是

A97P(A)?79。

1.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？

94?9?解 用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)????10000?10?94?9?P(A)?1-P(A)?1??1???10000?10?1.11 任取一个正数，求下列事件的概率： (2)该数的四次方的末位数字是1； (3)该数的立方的最后两位数字都是1；

44，所以

解(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为

42? 1052(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含10个样本点。，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a?7，因此A所用事件

包含的样本点只有71这一点，于是

1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。

解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5?3?1种接法，同样对尾也有5?3?1种接法，所以样本点总数为(5?3?1)。用

2“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5?3?1A表示

种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4?2。所以含的样本点数为(5?3?1)(4?2)，于是P(A)(2) 2n根草的情形和(1)类似得

1.15 在?ABC中任取一点P，证明?ABP与?ABC的面积之比大于解 截取CD?A包

?(5?3?1)(4?2)8? 215(5?3?1)n?11的概率为2nn。

?1CD，当且仅当点P落入?CA?B?之内时?ABP与?ABC的面积之比大于n221?CD2n?1?A?B?C有面积CD?1n??，因此所求概率为P(A)??2?ABC的面积CD2nn2CD。

1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

2

x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当

11242??232??222220?x?y?2,0?y?x?1。因此所求概率为P(A)??0.121 224解 分别用1.17 在线段

AB上任取三点x1,x2,x3，求：

(1) x2位于x1与x3之间的概率。 (2)

Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。

111?3??132?1 解 (1) P(A)? (2) P(B)?3121.20 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。

b个???解?1表示白，?2表示黑白，?3表示黑黑白，…?b?1表示黑?黑白，

a则样本空间??{?1，?2，…，?b?1}，并且P({?1})?，

a?bbabb?1a， P({?3})?，…， P({?2})????a?ba?b?1a?ba?b?1a?b?2P({?i})?bb?1b?(i?2)a????? a?ba?b?1a?b?(i?2)a?b?(i?1)b!a(a?b)(a?b?1)?a

P({?b?1})?甲取胜的概率为P({?1})+P({?3})+P({?5})+… 乙取胜的概率为P({?2})+P({?4})+P({?6})+… 1.21 设事件A,B及解 由P(A?B)求P(AB)，P(AB)，P(AB)，P(AB) A?B的概率分别为p、q及r，

?P(A)?P(B)?P(AB)得

P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?p?q?r

P(AB)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?r?q ，P(AB)?r?p P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?r

1.22 设

A1、A2为两个随机事件，证明：

3

(1) P(A1A2)(2) 1??1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2);

P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2).

证明 (1) P(A1A2)?P(A1?A2)?1?P(A1?A2)=1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)

?0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。

(2) 由(1)和P(A1A2)1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：

(1)只订甲报的； (2)只订甲、乙两报的； (3)只订一种报纸的； (4)正好订两种报纸的； (5)至少订一种报纸的； (6)不订任何报纸的。 解 事件

A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。

?P(A?(AB?AC))=P(A)?P(AB?AC)=30% ?P(AB?ABC)?7%

?P(B)?[P(AB)?P(BC)?P(ABC)]?23%

(1) P(ABC)(2) P(ABC)(3) P(BAC) P(CAB) P(ABC?P(C)?[P(AC)?P(BC)?P(ABC)]?20%

?+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73% ?ACB?BCA)?P(ABC)?P(ACB)?P(BCA)?14%

(4) P(ABC(5) P(A?B?C)(6) P(ABC)?90%

?1?P(A?B?C)?1?90%?10%

1.26 某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？

解 用

Ai表示“第i张考签没有被抽到”， i?1,2,?,N。要求P(?Ai)。

i?1nnN?N?1?，?N?N??N?2?，……，

P(Ai)??P(A1?AN)??P(AiAj)?????0 ??N??N??N?nnN?N??N?1???N?1??1?1P(Ai)????1????N??(?1)??1???N?

??i?1??????Nn 4

?N??N?2?2?1?N??N?2?????P(AiAj)???????(?1)??2???N?2N??1?i?N??????i?1?N?i?所以P(?Ai)??(?1)??N??i?1i?1NNnnn，……

1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。

解 用b,g分别表示男孩和女孩。则样本空间为：

??{(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(b,g,g)g,b,g}(g,g,b)(g,g,g)}

其中样本点依年龄大小的性别排列。

， B表示“有男孩”，则 A表示“有女孩”

P(B|A)?P(AB)6/86??

P(A)7/871.30 设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件，

(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 (2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 解（1）设

， B表示“所取产品都是不合格品”，则 A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”

?m??m??M?m???2?????1????1?? ??????P(A)?P(B)??M???2?????m???2???? ?M???2????P(B|A)?P(AB)P(B)m?1??

P(A)P(A)2M?m?1(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”， D表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则

?m??M?m??M?m???1????1?????2?? ??????P(C)?P(D)??M???2?????m??M?m???1????1?? ?????M???2????P(D|C)?P(CD)P(D)2m??

P(C)P(C)M?m?11.31 n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求： (1)已知前k(2)第k解 设

?1(k?n)个人都没摸到，求第k个人摸到的概率；

(k?n)个人摸到的概率。

Ai表示“第i个人摸到”， i?1,2,?,n。

5

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