姜启源数学建模3.2消费者的选择
更新时间:2023-07-30 01:30:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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姜启源数学建模3.2消费者的选择
题目:基于NOTEBOOK的消费者的选择的建模与分析
一、问题思维视图:
1.系统要素:商品的价格、购买商品的数量、消费者的支出、商品的效用值(消费者的满意度) 2.要素关联:
i.消费者的支出=
*购买商品的数量 ii.购买商品的数量
32种商品时,每种商品各买
多少可使商品的效用值最大?
二、数学刻画: 1. 效用函数
当消费者购得数量分别为x1, x2的甲乙两种商品时,得到的效用可用函数u (x1, x2)度量,称为效用函数
利用等高线概念在x1, x2平面上画出函数u 的等值线, u (x1, x2)=c 称为等效用线——一族单调减、下凸、互不相交的曲线.
等效用线就是“ 实物交换模型”中的无差别曲线,效用就是那里的满意度
syms x y1 y2 y3 y1=1./x; y2=3./x;
姜启源数学建模3.2消费者的选择
y3=6./x;
ezplot('1./x',[0,10]) hold on
ezplot('2./x',[0,10]) hold on
ezplot('3./x',[0,10])
效用最大化模型
购得甲乙两种商品数量分别为x1, x2,甲乙两种商品的单价分别为p1, p2, y是消费者准备付出的钱,在条件 p1 *x1+p2 *x2 =y 下使效用函数u(x1, x2)最大.
u(x1, x2) = c 单调减、下凸、互不相交,
AB必与一条等效用线相切于Q点 (消费点)。Q (x1, x2) 唯一.
syms x y1 y2 y3 y4 y1=1./x; y2=2./x; y3=3./x;
y4=(-1/3)*x-2
ezplot('1./x',[0,10]) hold on
ezplot('2./x',[0,10]) hold on
ezplot('3./x',[0,10]) hold on
ezplot('-0.5*x+2',[0,10])
y4 =
- x/3 - 2
姜启源数学建模3.2消费者的选择
三、模型推演
max u(x1, x2) p1 *x1+p2* x2 =y
引入拉格朗日乘子构造函数
L(x1,x2, ) u(x1,x2) (y p1x1 p2x2)
L L
0, 0 x1 x2
dx2 u u
/
推出等效用线u (x1, x2)=c的斜率 dx1 x1 x2
消费线AB的斜率 p1/p2 u, u
边际效用 x1 x2
当商品边际效用之比等于它们价格之比时效用函数最大 等效用线u (x`1, x2)=c 所确定的函数 x2(x1)单调减、下凸. u 0, u 0, 2u 0, 2u 0, 2u 0
22
x2 x1 x2 x1 x2 x1
四、超参数
效用函数u(x
,x)几种常用的形式
姜启源数学建模3.2消费者的选择
购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比, 比例系数是参数α与β之比的平方根.
u(x1,x2)中参数 , 分别度量甲乙两种商品对消费者的效用,或者消费者对甲乙两种商品的偏爱 . 2.u x x ,0 , 112
购买两种商品费用之比只取决于λ,μ, 与价格无关.
. 实际应用时根据对最优解的分析,决定采用哪种效用函数,并由经验数据确定其参数 五、超模型
例1、征销售税还是收入税
利用图形从效用函数和效用最大化的角度讨论 (p1 p0)x1 p2x2 y
征税前设甲乙两种商品的单价为p1, p2,消费者准备花的钱为y, 等效用线为u (x1, x2)=c,消费点为Q(x1, x2) . 1、 征税前的消费点Q
设税率为p0 ,商品价格被迫增加为p1+p0 原来的条件变为(p1+p0)x1+x2=y
对甲商品征销售税, 税率为p0消费线AB1, B1在B的左边 AB1与l1相切于Q1(x1*, x2*) 政府得到的销售税额 p0x1* 2、 若改为征 收入税
原来的条件变为p1 x1+p2x2=y - p0x1 征收的税额与销售税额 p0x1*相同
消费线A2B2与l2相切于Q2, 可证B2在B1的右边.
syms x y1 y2 y3 y4 y5 y6 y1=1./x; y2=3./x; y3=6./x;
y4=(-1/6)*x+2 y5=(-1/3)*x+2 y6=-x+2
ezplot('1./x',[0,10])
姜启源数学建模3.2消费者的选择
hold on
ezplot('3./x',[0,10]) hold on
ezplot('6./x',[0,10]) hold on
ezplot('(-1/6)*x+2',[0,10]) hold on
ezplot('(-1/3)*x+2',[0,10]) hold on
ezplot('-x+2',[0,10]) axis([0,10,0,10])
y4 = 2 - x/6 y5 = 2 - x/3 y6 =
结论:如果l2在l1上方,Q2的效用函数值将大于Q1, 对消费者来说征收入税比征销售税好 六.评注
总而言之,该模型现实意义很大,它在比较两种商品时非常有用,而且可以拓展到两种不同的选择上,例如征收收入税还是消费税,价格补贴给生产者还是消费者,等两类比较的案例。但是它不适用于同类产品,或者产品种类比较多的案例。
姜启源数学建模3.2消费者的选择
消 费 者 的 选 择
姜启源数学建模3.2消费者的选择
姓名:徐文龙 学号:12012241683 学院:数学计算机学院 班级:应数一班
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