证明隐式Euler方法稳定性

第六章 数 值 积 分

6.1 数值积分基本概念 6.1.1 引言

在区间

上求定积分

(6.1.1) 是一个具有广泛应用的古典问题，从理论上讲，计算定积分可用Newton-Leibniz公式

(6.1.2) 其中F(x)是被积函数f(x)的原函数.但实际上有很多被积函数找不到用解析式子表达的原函数，例如

等等，表面看它们并不复杂，

但却无法求得F(x).此外，有的积分即使能找到F(x)表达式，但式子非常复杂，计算也很困难.还有的被积函数是列表函数，也无法用(6.1.2)的公式计算.而数值积分则只需计算f(x) 在节点xi(i=0，1,…,n)上的值，计算方便且适合于在计算机上机械地实现.

本章将介绍常用的数值积分公式及其误差估计、求积公式的代数精确度、收敛性和稳定性以及Romberg求积法与外推原理等. 6.1.2 插值求积公式

根据定积分定义，对

及

都有

(极限存在)若不取极限，则积分I(f)可近似表示

为

(6.1.3)

这里机械求积公式.

称为求积节点，与f无关，称为求积系数，(6.1.3)称为

为了得到形如(6.1.3)的求积公式，可在

，则得

上用Lagrange插值多项式

1

其中

(6.1.4)

这里求积系数由插值基函数积分得到，它与f(x)无关.如果求积公式

(6.1.3)中的系数由(6.1.4)给出，则称(6.1.3)为插值求积公式.此时可由插值余项得到

(6.1.5)

这里ξ∈当n=1时，

，(6.1.5)称为插值求积公式余项.

，此时

由(6.1.4)可得

于是

(6.1.6)

称为梯形公式.从几何上看它是梯形AbB(见图6-1)的面积近似曲线y=f(x)下的曲边梯形面积

，公式(6.1.6)的余项为

(6.1.7)

2

6.1.3 求积公式的代数精确度

当被积函数由(6.1.5)有

即f为次数不超过n的代数多项式时，

，故

，它表明插值求积公式(6.1.3)精确成立.对一般机械求积公式

(6.1.3)，同样可以根据公式是否对m次多项式精确成立作为确定公式(6.1.3)中系数

及节点

的一种方法.在此先给出定义.

定义1.1 一个求积公式(6.1.3)若对精确成立，而对不

精确成立，则称求积公式(6.1.3)具有m次代数精确度.

根据定义，当

时公式(6.1.3)精确成立，故有等式

(6.1.8)

而

(6.1.8)是关于系数及节点的方程组，当节点给定

时，(6.1.8)取m=n就是关于系数得求积系数

例如n=1，取

.

的线性方程组，求此方程组就可求

，求积公式为

在(6.1.8)中令m=1，可得

3

解得

它就是梯形公式(6.1.6)的系数，它与用公式(6.1.4)算出的结果完全一样.对梯形公式(6.1.6)，当

时

故求积公式(6.1.6)的代数精确度为一次. 对于具有(n+1)个节点的插值求积公式(6.1.3)，当

时

，

故公式精确成立，它至少有n次代数精确度.反之，若求积公式(6.1.3)至少有n次代数精确度，则它是插值求积公式，即(6.1.3)的求积系数(6.1.4)求出.实际上，此时对基函数，即

一定可用

求积公式(6.1.3)精确成立，若取f(x)为插值

由(6.1.3)精确成立，可得

这就是(6.1.4)得到的插值求积公式系数.

定理1.1 求积公式(6.1.3)是插值求积公式的充分必要条件是(6.1.3)至少具有n次代数精确度.

定理表明直接利用代数精确度概念，由(6.1.8)可求得插值求积公式.更一般地，含有被积函数如下例所示.

的导数

的求积公式也同样可用代数精确度定义建立.

4

例6.1 求积公式

.试确定系数

及

，已知其余项表达式为

，使该求积公式具有尽可能高的代数精确

度，并给出代数精确度的次数及求积公式余项.

解 本题虽用到

的值，但仍可用代数精确度定义确定参数

及

.令

，分别代入求积公式.令公式两端相等，则

当

当

当

解得

，

于是有

再令

此时

，

，而上式右端为，两端不等，则求积公式对

不精确成立，故它的代数精确度为二次.

为求余项可将代入求积公式

当

，代入上式得

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