微积分多元函数微分习题讲解

多元函数练习题1. 讨论二重极限 时, 下列算法是否正确?

1 解法1 原式 lim 0 x 0 1 1 y xy 0

解法2 令 y k x ,

解法3 令 x r cos , y r sin ,

分析: 解法1

1 lim 1 1 0 x 0 y xy 0x 时, 1 x 1 y

此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 第二步未考虑分母变化的所有情况, 例如, y 此时极限为 1 . 解法2 令 y k x ,

1 1, x

此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 例如 y x x 时2

解法3 令 x r cos , y r sin ,

此法忽略了 的任意性,极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 同时还可看到,

本题极限实际上不存在 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.

x2 y2 2 2 2. 证明: , x y 0 3 f ( x, y ) ( x 2 y 2 ) 2 0 , x2 y2 0 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 提示: 利用 2x y x 2 y 2 , 知 1 1 2 2 2 f ( x, y ) ( x y ) 4 lim f ( x, y ) 0 f (0 , 0)x 0 y 0

故 f 在 (0,0) 连续;

又因 f ( x,0) f (0, y ) 0, 所以 f x (0,0) f y (0,0) 0

而

f

( 0, 0 )

( x) 2 ( y ) 2 [ ( x) ( y ) ]2 2 3 2

当 x 0, y 0 时, f( 0, 0 )

( x) 2 ( y ) 2

( x) 2 ( y ) 2 2 2 2 [ ( x) ( y ) ]

0所以 f 在点(0,0)不可微 !

f ( x y , x y ) x 2 y 2 ( x y) , 且 例1. 已知 f ( x,) x , 求出 f ( x, y )的表达式. 0解法1 令

v x y ,则

f (u, v) 1 (u v) 2 1 (u v) 2 (u ) 4 4即

f ( x , 0) x, ( x) x f ( x, y) x ( y 1)解法2 f ( x y, x y) ( x y)( x y) ( x y)

以下与解法1 相同.

二、多元函数微分法1. 分析复合结构 显示结构 隐式结构(画变量关系图)

自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则

“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性

例2. 设有一阶导数或偏导数, 求

其中 f 与F分别具(1999 考研)

解法1 方程两边对 x 求导, 得

dy dz xf f xf dx dx dy dz F2 F3 F1 dx dx dz dx

x f f x f F2 F1 x F1 f x F2 f f F2 x f 1 x f F3 F2 F2 F3 ( x f F3 F2 0)

z x f ( x y) , F ( x, y, z ) 0解法2 方程两边求微分, 得

化简

x f d y F2 d y消去 d y 即可得

有二阶连续偏导数, 且 u 2u u , . 求 x x y x y z 1 u 解:

f1 f 3 ( ) x y x x t 1 2u ) f12 f13 ( x y x y x y

例3.设

f f 32 33 2 x cos t 1 x 2 f3 x y

x 2 cos t (2 x sin t ) x y ( x y ) cos t 1 2 ( x y)

练习题设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数

y2 (1) z x f ( ) x y ( 2) z f ( x ) x y2 (3) z f ( x , ) x2

解答提示:

y2 (1) z x f ( ) : x

2y f y2 2y3 2 y f ( 2 ) 2 f x x

y2 (2) z f ( x ) : x2 2y 2y y (1 ) 2f f 2 x x x

2y 2y y2 2 f (1 2 ) f x x x

y2 (3) z f ( x , ) : x

2y 2z 2y 2 f2 ( x x y x

y2 2 f 22 ) x

三、多元函数微分法的应用1.极值与最值问题

极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题 2.在微分方程变形等中的应用

例5. 求旋转抛物面

与平面

之间的最短距离. 则 为抛物面 z x 2 y 2 上任一点， P 解: 设 到平面 x y 2 z 2 0 的距离为 问题归结为 目标函数: ( x y 2 z 2) 2 (min)

约束条件: x 2 y 2 z 0 作拉氏函数

F ( x, y, z ) ( x y 2 z 2) 2 ( z x 2 y 2 )

F ( x, y, z ) ( x y 2 z 2) 2 ( z x 2 y 2 )

Fx 2( x y 2 z 2) 2 x 0

令

Fy 2( x y 2 z 2) 2 y 0

Fz 2( x y 2 z 2)( 2) 0z x2 y2

1 1 1 解此方程组得唯一驻点 x , y , z . 4 4 8 由实际意义最小值存在 , 故

7 4 6

练习题1

y 设 z x f ( xy , ), ( f 具有二阶连续偏导数), x z 2 z 2 z 求 , 2, . y y x y3

2

设 u f ( x , y , z ), ( x 2 , e y , z ) 0, y sin x ,

du ( f , 具有一阶连续偏导数), 且 0, 求 . z dx u f ( x , y ), 3 设函数 u( x ) 由方程组 g ( x , y , z ) 0, h( x , z ) 0. g h du 所确定, 且 0, 0, 试求 . y z dx

1

y 设 z x f ( xy , ), ( f 具有二阶连续偏导数), x z 2 z 2 z 求 , 2, . y y x y3

解

z 1 3 x ( f1 x f 2 ) x 4 f1 x 2 f 2 , y x 2z 1 1 4 2 x ( f11 x f12 ) x ( f 21 x f 22 ) 2 y x x

x 5 f11 2 x 3 f12 xf22 ,

2z 2z 4 ( x f1 x 2 f 2 ) x y y x xy x [ f11 y f12 ( 2 )] 2 xf 2 4 x f1 x y 2 x [ f 21 y f 22 ( 2 )] x3 4

4 x 3 f1 2 xf2 x 4 yf11 yf22 .

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3wpi.html