2019年上海市长宁嘉定高三二模文科数学试卷及答案

高考数学精品复习资料

2019.5

20xx学年长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试

数学试卷（文）

一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分） 1．函数f(x)?sin(2x??3)的最小正周期是__________．

2．若关于x的不等式2x2?3x?a?0的解集为(m,1)，则实数m?_________．

x3． 已知集合A???1,0,a?,B?x1?3?9,x?Z，若A??B??，则实数a的值

是 ． 4．已知复数z满足

i＝3，则复数z的实部与虚部之和为__________． z?12013?(?2)2013C2013?___________．

125．求值：1?2C2013?4C2013?6．已知向量a?(?2,2),b?(5,k).若|a?b|不超过5，则k的取值范围是____________．

ax7．设a?0,a?1，行列式D?21031中第3行 开始 24?3k?1 否 第2列的代数余子式记作y，函数y?f?x?的反函 数图像经过点?2,1?，则a? ． 8． 已知cos(???)?k2?6k?5?0 是 输出k k?k?1 35,sin???，且 513??(0,),??(?2??2,0)，则sin??_____．

结束 9．如图是一个算法框图，则输出的k的值是____________． 10．设函数y?1?x2的曲线绕x轴旋转一周

第 9题

所得几何体的表面积__________．

11．从4名男生和3名女生中任选3人参加会议，则选出3人中至少有1名女生的概

率是__________． 12．函数f(x)?|x?4|?x?4x的单调递减区间是___________．

22?x?2y?3?0,?13.已知变量x，y满足约束条件?x?3y?3?0, 若目标函数z?ax?y仅在点(3,0)处取

?y?1?0.?到最大值，则实数a的取值范围_______________.

14．设数列?an?是公差不为零的等差数列，a1?2,a3?6，若自然数n1,n2,...nk,...满足

3?n1?n2?...?nk?...，且a1,a3,an1...ank,...是等比数列，则nk=_______________.

二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）

15. 已知A(a1,b1)，B(a2,b2)是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OA?OB的充要条件是 （ ） bbabA．1?2??1 B.a1a2?b1b2?0 C.1?1 D.a1b2?a2b1 a1a2a2b216.关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是

（ ）

A．若l//?,????m,则l//m B．若l??,m//?,则l?m C．若l//?,m//?,则l//m D．若l//?,m?l，则m??

y2?1交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样17. 过点P(1,1)作直线l与双曲线x?22的直线l （ ） A．存在一条，且方程为2x?y?1?0 B．存在无数条 C．存在两条，方程为2x??y?1??0 D．不存在 18.已知函数f(x)?2x?1,g(x)?1?x2,构造函数F(x)，定义如下：当

|f(x)|?g(x)时,F(x)?|f(x)|,当|f(x)|?g(x)时,F(x)??g(x)，那么F(x)（ ）

A．有最小值0，无最大值

C．有最大值1，无最小值

B．有最小值?1，无最大值 D．无最小值，也无最大值

三．解答题（本大题满分74分，共5小题）

19. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的表面积为24?，OA?2，?AOP?120?．

（1）求三棱锥A1?APB的体积；

（2）求异面直线A（结果用 1B与OP所成角的大小．反三角函数值表示）． A

20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

A1O1B1OP

B在△ABC中，角A，B，C所对应的边a，b，c成等比数列． （1）求证：0?B??31?sin2B（2）求y?的取值范围．

sinB?cosB21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）

设函数f(x)?ax?(k?1)a?x(a?0且a?1)是定义域为R的奇函数． （1）求k的值；

（2）若f(1)?0，试说明函数f(x)的单调性，并求使不等式f(x2?tx)?f(4?x)?0恒成立的t的取值范围．

22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）

如图，已知点F(0,1)，直线m：y??1，P为平面上的动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q，且QP?QF?FP?FQ．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过轨迹C的准线与y轴的交点M作方向向量为

OxyF；

d?(a,1)的直线m?与轨迹C交于不同两点A、B，问是否

存在实数a使得FA?FB？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由；

?m（3）在问题（2）中，设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为D(0,y0)，求y0的取值范围． 23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且对于任意n?N，总有Sn?2(an?1)． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）在an与an?1之间插入n个数，使这n?2个数组成等差数列，当公差d满足

*3?d?4时，求n的值并求这个等差数列所有项的和T；

（3）记an?f(n)，如果cn?n?f(n?log*n?N（），问是否存在正实数m，使得m)2数列{cn}是单调递减数列？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

20xx学年长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试

数学试卷（参考答案）

一、填空题（每小题4分，共56分） 1．? 2。

14 3。（文）1 4。 5。?1 6.[?2,6] 7。4 238．

3331?1? 9。6 10。4? 11． 12。(??，2] 13。?，??? 6535?2?k?114． 3

二、选择题（每小题5分，共20分） 15．B 16。B 17。D 18。B

三、解答题 19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

解：（1）由题意S表?2??22????2?AA1?4. ………………2分 1?24?，解得AA在△AOP中，OA?OP?2,?AOP?1200，所以AP?23．

在△BOP中，OB?OP?2,?BOP?600，所以BP?2． ………………4分

所以VA1?APB?11183S?APB?AA1???23?2?4?． ………………6分 3323（2）取AA1中点Q，连接OQ，PQ，则OQ//A1B，

得?POQ或它的补角为异面直线A1B 与OP所成的角. ………………8分 又AP?23，AQ?AO?2，得OQ?22，PQ?4，

PO2?OQ2?PQ22由余弦定理得cos?POQ?， ………………10分 ??2PO?OQ4所以异面直线A1B 与OP所成角的大小为arccos2． ………………12分 4 20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 解：（1）由已知，b?ac，所以由余弦定理，

2a2?c2?b2a2?c2?ac?得cosB? ………………2分

2ac2ac2ac?ac122?．………………4分 由基本不等式a?c?2ac，得cosB?2ac2??1?所以cosB??,1?．因此，0?B?．………………6分

3?2?

1?sin2B(sinB?cosB)2???（2）y???sinB?cosB?2sin?B??，

sinB?cosBsinB?cosB4??………………9分

由（1），0?B?所以，y??3，所以

?4?B??4?7????2??,1?， ，所以sin?B?????124??2??1?sin2B的取值范围是1,2． ………………12分

sinB?cosB?? 21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）

解：（1）由题意，对任意x?R，f(?x)??f(x)，即a?x?(k?1)ax??ax?(k?1)a?x，

………………2分

即(k?1)(ax?a?x)?(ax?a?x)?0，(k?2)(ax?a?x)?0， 因为x为任意实数，所以k?2． ………………4分

解法二：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)?0，即1?(k?1)?0，k?2． 当k?2时，f(x)?ax?a?x，f(?x)?a?x?ax??f(x)，f(x)是奇函数． 所以k的值为2． ………………4分 （2）由（1）知f(x)?ax?a?x，由f(1)?0，得a?1?0，解得0?a?1． a………………6分

当0?a?1时，y?ax是减函数，y??a?x也是减函数，所以f(x)?ax?a?x是减函数．

………………7分

由f(x2?tx)?f(4?x)?0，所以f(x2?tx)??f(4?x)，………………8分 因为f(x)是奇函数，所以f(x2?tx)?f(x?4)． ………………9分

因为f(x)是R上的减函数，所以x?tx?x?4即x2?(t?1)x?4?0对任意x?R成立， ………………11分 所以△?(t?1)?16?0， ………………12分 解得?3?t?5． ………………13分 所以，t的取值范围是(?3,5)． ………………14分 22．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分） 解：（1）设P(x,y)，由题意，Q(x,?1)，QP?(0,y?1)，QF?(?x,2)，

22

FP?(x,y?1)，FQ?(x,?2)， ………………2分

由QP?QF?FP?FQ，得2(y?1)?x2?2(y?1)，

化简得x2?4y．所以，动点P的轨迹C的方程为x2?4y．………………4分

（2）轨迹C为抛物线，准线方程为y??1，即直线m，所以M(0,?1)，……………5分 当a?0时，直线m?的方程为x?0，与曲线C只有一个公共点，故a?0．…………6分

?x?ay?a,x所以直线m?的方程为?y?1，由?2 得a2y2?(2a2?4)y?a2?0，

a?x?4y，由△?4(a2?2)2?4a4?0，得0?a?1． ………………8分 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1?y2?所以x1?x2?24?2，y1y2?1， 2a4，x1x2?4， ………………9分 a若FA?FB，则FA?FB?0，即(x1,y1?1)?(x2,y2?1)?0，

?4?x1x2?y1y2?(y1?y2)?1?0，4?1??2?2??1?0， ………………11分

?a?解得a?212．所以a??． ………………12分 22（3）由（2），得线段AB的中点为??22?,2?1?，线段AB的垂直平分线的一个法向量为?aa?AB的

垂

直

平

分

线

的

方

程

为

?n?(a,1)，所以线段

2??2??a?x????y?2?1??0， ………………15分

a??a??2?1， ………………16分 2a22因为0?a?1，所以2?1?3．

a令x?0，y0?所以y0的取值范围是(3,??)． ………………18分 23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分） 解：（1）当n?1时，由已知a1?2(a1?1)，得a1?2．

当n?2时，由Sn?2(an?1)，Sn?1?2(an?1?1)，两式相减得an?2an?2an?1， 即an?2an?1，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列．

所以，an?2n（n?N）． ………………4分 （2）由题意，an?1*an?1?an2n，即d?，………………6分 ?an?(n?1)d，故d?n?1n?12n?4，即3n?3?2n?4n?4，解得n?4，…………8分 因为3?d?4，所以3?n?11616．所以所得等差数列首项为16，公差为，共有6项．………………10分 536?(16?32)?144． ………………11分 所以这个等差数列所有项的和T?2所以，n?4，T?144． ………………12分

所以d?

（3）由（1）知f(n)?2，所以cn?n?f(n?logn2m)?n?2n?log2m?n?2n?log2m2

?n?22n?log2m?n?(2log2m)2n?n?m2n．………………14分

由题意，cn?1?cn，即(n?1)?m2n?2?n?m2n对任意n?N成立，

*n1*?1?对任意n?N成立．………………16分 n?1n?111*因为g(n)?1?在n?N上是单调递增的，所以g(n)的最小值为g(1)?．

n?12?12?2?． 所以m?．由m?0得m的取值范围是?0,?22???所以m?2所以，当m??0,

???2??时，数列{cn}是单调递减数列． ………………18分 2??

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