浙江大学1998-2008年量子力学考研真题

浙江大学1998-2008年量

子力学考研真题

浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题：（10分）

（1） 写出玻尔-索末菲量子化条件的形式。

（2） 求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。（利用玻尔-索末菲量子化条件

?求，设外磁场强度为B）

第二题：（20分）

（1） 若一质量为?的粒子在一维势场V(x)??级。

（2） 若某一时刻加上了形如esin为一已知常数）。

?0,0?x?a中运动，求粒子的可能能

??,x?a,x?0?xa，（e?1）的势场，求其基态能级至二级修正（??122???x,x?0（3） 若势能V(x)变成V(x)??2，求粒子（质量为?）的可能的能级。

?x?0??,

第三题：（20分）

氢原子处于基态，其波函数形如??ce?ra，a为玻尔半径，c为归一化系数。

（1） 利用归一化条件，求出c的形式。

（2） 设几率密度为P(r)，试求出P(r)的形式，并求出最可几半径r。 （3） 求出势能及动能在基态时的平均值。

??联系起来？ ??及?T（4） 用何种定理可把?V

第四题：（15分）

?2?2?2LLLy??x??z，转子的轨道角动量量子数是1， 一转子，其哈密顿量H2Ix2Iy2Iz?，L?的形式； ?，L（1） 试在角动量表象中求出角动量分量Lxzy?的本征值。 （2） 求出H

第五题：（20分）

t?0???0,若基态氢原子处于平行板电场中，电场是按下列形式变化E???t，?为大于零

????0e,t?0??为微扰哈密顿，的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P态的几率。（设H????H

100,21028a?0e??t??（当t?0）H??5?e；

23??100,21?1。 ?0）

第六题：（15分）

（1） 用玻恩近似法，求粒子处于势场V(x)??V0e（设粒子的约化质量为?）。

（2） 从该问题中，讨论玻恩近似成立的条件。

?ra，（a?0）中散射的微分散射截面。

浙江大学1999年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题：（10分）

（1）试求出100ev的自由电子及能量为0.1ev、质量为1克的质点的德布罗意波长。 (1ev?1.6?10?19J,h?6.6?10?34J?s)

（2）证明一个自由运动的微观粒子对应的德布罗意群速度vg，即为其运动速度v。

第二题：（10分）

（1）证明定态中几率流密度与 时间无关。

（2）求一维无限深势阱中运动的粒子在第n个能级时的几率流密度。

第三题：（15分）

x?0??,?（粒子处于一维势阱V(x)???U0,0?x?a（取的恒定常量）中运动，

?0,x?a?（1）画出势能V(x)的示意图，设粒子质量为?，

（2）求解运动粒子的能级E。（?U0?E?0）(写出E所满足的方程)

第四题：（10分）

12kx，（k为常量）。若该谐振子又受一恒力F作用，试求2其本证能量及能量本证函数。该振子的质量为?。

一维谐振子，其势能为V(x)?

第五题：（20分）

（1）写出线性、厄米算符的定义。

（2）判断下列算符中，哪一个是线性厄米算符？

???? a.F1???ap?x?bx?, (a,b为恒定实常数) , b.F2?x??为线性厄米算符，i为虚宗量。 ??eiA c.F， A3（3）证明厄米算符对应有实得本证值。

?为厄米算符，[B?的本证值，?]?BC???0,若在b,c分别为B?、C?、C?,C???CB（4）若算符B???1，则c必取c??1。 证明： ①bc?0,②若C2

第六题：（20分）

?E1(0)???0设哈密顿算符在能量表象中形如H??a?或b为实数，试

0(0)E2ba??(0)(0)b?，其中E1(0)、E2、E3远大于aE3(0)????的合理形式。 ?与微挠哈密顿量H（1）写出未微挠哈密顿量H0?为厄米算符（E(0)、E(0)、E(0)全为厄米算符本证值）（2）证明H。 123（3）若E1?E2?E3，用微扰论起初其本征能量（至二级）。 （4）若E1?E2?E3，试求其本征能量（至一级）。

第七题：（15分）

用玻恩近似计算粒子（质量为?）被形如V(r)?B?(r)的势场散射时的微分散射截面，并说明其特点。（B为常数）

?0??0??0??0??0??0???

浙江大学2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题：（20分）

（1）下列说法哪个是正确的？对不正确的说法给予修正。 a.量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系。 b.电子是粒子，又是波。 c.电子是粒子，不是波。 d.电子是波，还是粒子。

（2）a.厄米算符的定义是什么？算符x????d是否厄米？ dx b.等式eg?ef?eg?f是否成立？何时成立？

（3）若太阳为一黑体，人所能感受的太阳光能量的最大的波长为?m?0.48?m，太阳半径

R?7.0?108m，太阳质量m?2?1030kg，试估算太阳质量由于热辐射而损耗 1?所需要

的时间。（斯特藩常数??5.67?10W/(cmk)）

第二题：（20分）

1224??0,V(x)?若有一粒子，质量m，在有限深势阱???V0,（1） 试推出其能量本征值所满足的方程。

x?a中运动，V0为某一正常数。 x?a（2） 如何求能量本征值？试作出求解本征值的草图。

?0,0?r?a（3） 若粒子不作一维运动，而是三维运动，V(r)??，试求出至少存在一

V,r?a?0个本征能的条件。

第三题：（20分）

?为守恒量的定义是什么？守恒量A?的本?不显含时间，（1） 量子力学中，若H则力学量A征态有何特点？

（2） 本征值简并的概念是如何表述的？一维运动的粒子（势场为V(x)），其能级是否简

并？

?是否守恒？ （3） 在一维势场V(x)中运动的粒子，其动量Px（4） 试说出氢原子问题中的量子跃迁的选择定则的内容。

第四题：（25分）

若一二维谐振子哈密顿量为：

??H??H?? H0122??1(p??H?p)???2(x2?y2) 0xy2?2???2?xy，（?为一小量） H（1） 用微扰论，求其基态的能量修正（至?项）及第一激发态的能量修正（至?项） （2） 如何求出非微扰论的本征能量？试求之，并同微扰论的结果比较。 （3） 相干态的定义为：

2??e??22?n?0??nn!?为一维线性谐振子的哈密顿量，H?n?En，n，H00n1En?(n?)??，试证明，相干态是测不准关系取最小值时的状态。

2

第五题：（15分）

质量为m的粒子受到势能为V(r)?a的场的散射（a为某一正常数），在入射能量极低的r2

l??sin?x???2??条件下，计算其微分散射截面。（球贝塞尔函数jl?，x??）。 x

浙江大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题：（15分）

（1） 试确定，在3K温度下，空腔辐射的最大能量密度所对应的光子的波长?m是多少？ （2） 此时，光子的对应能量为多少？

（3） 光电效应中，如何测定某金属板的脱出功A？

第二题：（20分）

设氢原子处于状态：?(r,?,?)?13R21(r)Y10(?,?)?R31(r)Y11(?,?) 22（1） 问测量氢原子的能量，所得的可能值及相应的几率为多少？

?，所得的可能值及相应的几率为多少？ （2） 问测量氢原子的角动量平方L2?的可能值及相应的几率为多少？ （3） 问测量氢原子的角动量分量Lz

第三题：（20分）

x?0??,?（1） 一质量为m的粒子于势场V(x)中运动，V(x)??0,0?x?a

??,x?a?求该粒子的能级及对应的本征波函数？

（2） 若一质量为m的粒子与势场

??V >0,V(x)??0??0,x?a中运动，求束缚态能级E所x?a

满足的方程。

（3） 若一质量为m的粒子于三维势场V(r)中运动，V(r)??则若欲得二个束缚能态，其势能值V0至少应为多少？

第四题：（15分）

??V0,0?r?a V0?0，

r?a?0,???（1）何谓厄米算符，试写出其定义，及判断算符A?是否厄米？ ?x?,P?n]的值？ （2）计算对易子[X（3）证明厄米算符有实的本证值？ （4）试说明为何要力学量对应为厄米算符？ 下面二组题（五、六题与七、八题）任选一组解答。

第五题：（15分）

?x的平均值为零。 证明对任何束缚态，粒子动量p

第六题：（15分）

如果氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0表面分布着均匀电荷的小球，计算这种效应对氢原子基态能量的一级修正。（已知r0?a，a为玻尔半径）

第七题：（15分）

?V0?e?re?2r一质量为m的高能粒子被势场V(r)????1.125?r?aa波矢。

（1）用哪种方法计算其散射截面较为合理？

??散射，V0较小，k为入射?

（2）试指出在哪些方向上，散射粒子最少？

第八题:(15分)

试写出定态微挠论中对非简并态微扰的能级修正（至二级）

浙江大学2002年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题：从下面四题中任选三题（15分）

（1）试说明光电效应实验中的“红限”现象，为何光电效应实验中有所谓截止频率的概念？ （2）如何从黑体辐射实验的Planck公式中推出Stefan公式？（只要求给出思路）。根据该公式，能否做出什么测温仪器？

（3）你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 （4）你能从固体与分子的比热问题中得出哪些量子力学的概念？

第二题（20分）： 设氢原子处于状态：

?(r,?,?)?171R21(r)Y11(?,?)?R21(r)Y10(?,?)?R31(r)Y1?1(?,?) 442（1）测量该原子的能量，测得的可能值为多少？相应的几率为多少？

?2，测得的可能值为多少？相应的几率又为多少？ （2）测量该原子的角动量平方Lz（3）测得的角动量分量Lz的可能值和相应几率为多少？

第三题：（20分）

一质量为m的粒子处于势场V(x)中运动，若

（1）V(x)???????0x?a则该粒子的本征能量为多少？ x?a（2）V(x)?a?(x)，a?0为已知常数，则该粒子的本征能量为多少？特征长度为多少？

??V0?(x),（3）V(x)?????,x?a，V0?0，是一个给定的常数，则该粒子满足的方程为何？ x?a（4）能量为E的平行粒子束，以入射角?射向平面x?0，在区域x?0，V?0，在区域

x?0，V??V0。试从量子力学的角度，分析粒子束的反射及折射规律。（用?及

?V?n??1?0?表示反射几率R及折射几率D。

E??

第四题：（15分）

12??i?x（1） 如何证明一个算符为厄米算符？算符A33????,p?x??i?，计算对易子?x,p（2） 若?xx??。

d是否为厄米算符？ dx（3） 证明厄米算符对应不同本征值的本征函数相互正交。 （4） 为何物理量要用厄米算符来表示？

下面二组试题（五题、六题与七题、八题），任选一组解答

第五题：（15分）

在一维谐振子问题中，若谐振子的质量为m相互作用势用V(x)?1m(?12x2??2x?e)来表2??t?0?0，?p??t?0?0，问其位移x的平均值与时示，其中?1，?2，e为一常数。若?x间的关系为何？

第六题：（15分）

如果有一二能级系统1，2，其相应的能级的能量分别为E1，E2，哈密顿算符的有关矩

··，对应于E0?E1?E2?E3···，把两个全同粒子（不考虑它们之间的相互作用）?2，?3·放到该系统。

（1）对于自旋为零的粒子，写出基态与第一激发态的波函数。 （2）对于自旋为12的粒子，写出基态波函数。

浙江大学2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题：简答题（28分）

（1）写出测不准关系； （2）写出泡利矩阵；

2?p???，??L（3）对于H，下列力学量中哪些是守恒量？ y（?为常数）2m?，p?2 ?，L?，L?，L?x，p?z，L?y，pHxzy（4）能级的简并度指的是什么？

第二题：（21分）

?（1）电子在二维均匀磁场中运动，B?(0,0,B)，试写出描写该系统的哈密顿量；

（2）现有三种能级En?统。

（3）放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这

与什么量子效应有关？

I1IIIII，En?n2，En?n，请分别指出他们对应的是哪些系2n

第三题：（只需选做（A）、（B）中一题）（20分） 已知氢原子的基态波函数为?(r,?,?)?1?a03e?ra0，求

e2（A） 势能的平均值V(r)??；

r（B） 动能的平均值。

第四题：（21分） 考虑一维阶梯势V(x)???U0?0x?0，若能量E的粒子（E?U0）从左边入射，试求该阶x?0梯势的反射系数和透射系数。

第五题：（20分）

?e??R将质子看作是半径为R的带电球壳，V(r)???e??rr?R，（其中e为基本电荷值，a0为玻

r?R尔半径，R?a0），计算由于质子（即氢原子核）的非点性引起氢原子基态能级的一级修正。

第六题：（选做（A）、(B)其中一题即可）（20分）

（A）求一粒子被半径为R的不可穿透硬球散射的s波相移。 （B）试求屏蔽库伦场V(r)?Q?rae的微分散射截面。 r（提示：可直接用中心势散射的玻恩近似公式的化简形式）

4m2?(?)?4?

??0?rsinK(r)K?2ksin。 Vr(d)，其中r2K2

第七题：（20分）

一个量子点中的单电子能级有两个本征值?1和?2，并且都是非简并的。其中?1??2，它们相应的单电子空间波函数分别为f(r)和g(r)。试求该量子点中有两个电子时（电子的自旋为12），基态和第一激发态的波函数和能级简并度（假定电子间无相互作用）。

浙江大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题（50分）简答题：

???,p?]?i?等）推出角动量算符与动量算符的对易关（1）从坐标与动量算符的对易关系（[x系。

?01??0?i??10?yz（2）请用泡利矩阵????，????定义电子的自旋算符，?，???i00?110??????x并验证它们满足角动量对易关系。

（3）量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？ （4）你知道量子力学中的哪些效应在经典物理中没有对应。

???的非简并本征函数，??H??H??，（5）设?n为H相应的能量本征值为En，如果H其中H00可看作微扰。试写出能级的微扰修正公式（写到二级修正）。 （6）什么叫受激辐射，什么叫自发辐射？ （7）写出由两个

第二题（20分）：

1自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 2

已知氢原子的基态波函数为?(r,?,?)?1?a03e?ra0，

（1）求氢原子的最可几半径（即径向几率密度取最大值的r值）。 （2）求氢原子的平均半径（即r得平均值）。

第三题（20分）：

有一个质量为M的粒子在宽度为a的无限深势阱中运动。 （1）求出其能级和波函数。 （2）如果该粒子的自旋为

1，则能级二重简并。加入磁场后Zeeman效应会让能级分裂，2简并消除。当磁场为某个特殊值时，又会出现简并能级。试求该磁场的值。

第四题（20分）：

??试求H1?2M?的能级。你觉得能级简并度有什么特?y2??c2?x2?y2???cLPx?pz2M2??点？[提示：二维各向同性谐振子可用极坐标求解，能级为E?2n??m?1??c，n?为径向量子数，m为磁量子数。]

第五题（20分）：

xz一个体系的哈密顿量为H??1x?2，其中?为实数，泡利矩阵的下标1，2??1x?2y???1z?2xx表示第一个粒子和第二个粒子，用矩阵的直乘理解即为?1x?2等等。 ??1x??2??（1）求出其本征值。

（2）对于不同的?取值范围，写出相应的基态矢量。

第六题（20分：选做（A）、（B）、（C）其中一题即可）：

（A）用玻恩近似求势场V(r)?V0e2?r2x0的散射截面。

（B）用分波法求势场V(n)???0r?R散射的s波相移。

??r?Rx?ax?a的透射系数，并给出发生共振透射的条件。

?0（C）求一维方势阱V(x)????V0

浙江大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题（50分）简答题： （1）写出泡利矩阵的形式。

（2）量子力学中的可观测量算符为什么要求是厄米算符？

（3）放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？

（4）试求质量为m的粒子处在长度为L的一维盒子（可看成是无限深势阱）中，试求他对盒子壁的压力。

（5）自发辐射和受激辐射的区别是什么？ （6）写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 （7）请分别之处下列三种能级对应的是哪些系统， En?I1II2III?，，E?nEnn?n 2n??可看作??H??H??，设?为H?的能量本征值为E的非简并本征函数，如果H（8）Hnn00微扰。试写出能级的微扰论修正公式（写到二级修正）。

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