高中数学 函数奇偶性的性质及其应用素材
更新时间:2023-07-29 04:39:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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函数奇偶性的性质及其应用
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f( x) f(x),那么函数f(x)叫做奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f( x) f(x),那么函数f(x)叫做偶函数。
其判定的法则是:(1)看关系式是否出现f( x) f(x)(此为奇函数)或f( x) f(x)(此为偶函数),(2)看定义域是否关于原点对称;(3)看图象是否关于原点对称(此为奇函数)或关于y轴对称(此为偶函数)。显然,法则(1),(2)与法则(3)是等价的。也就是说,一个函数不满足这三条法则中的任何一条,它是非奇非偶函数;如果函数f(x)满足了法则(1),(2)或者满足法则(3),则可判定它的奇偶性。
因此,就奇偶性而言函数可以分为四类:①奇函数;②偶函数;③既是奇函数又是偶函数;④非奇非偶函数。
设f(x)是奇函数,如果当x>0时,f(x) g(x),则 f(x)
g(x)(x 0) g( x)(x 0)
(证明从略,类似情况略)。
设f(x)是奇函数,如果当x>0时,f(x)是增函数,则当x<0时,f(x)仍然是增函数(证明从略,类似情况略)。
一. 判断函数的奇偶性
例1. 判定函数f(x) 1 x2
2
x 1的奇偶性。
2
1 x 0
解:函数的定义域满足 2,即为{ 1,1},函数的图象表示两个点:(-1,0),
x 1 0
(1,0)。其图象既关于原点对称,又关于y轴对称。从而函数f(x)既是奇函数又是偶函
数。
二. 求函数的函数值 例3. 设f(x)
a
x
a2
x
b logc(x
x
2
1) x(其中a,b,c为常数),且f( 2) 5,
2
试求f(2)的值。 解:设g(x)
a
x
a2
x
b logc(x
x
2
1),易证g(x)是奇函数,故
g( 2) g(2),f(x) g(x) x2 于是
f( 2) g( 2) 4 f(2) g( 2) 4
(1)(2)
两式相加得:f(2) 8 f( 2) 8 5 3,即f(2) 3
三. 函数的解析式
例3. 设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x) lg(x 1) 2x2 1。试求此函数的解析式。
解:(1)当x=0时,f(0) f( 0) f(0),于是f(0) 0;
(2)当x<0时, x 0,则f( x) lg( x 1) 2( x)2 1,由于f(x)是定义在R上
的奇函数,则
f(x) f( x) lg( x 1) 2x2 1 此函数的解析式为
lg( x 1) 2x2 1(x 0)
f(x) 0(x 0)
32
x 2x 1(x 0)
例4. 设x ( 1,1),f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(x) g(x) 2x lg(1 x),求f(x)的表示式。
解:f(x)是奇函数,有f( x) f(x);g(x)是偶函数,有g( x) g(x),则
f(x) g(x) 2x lg(1 x) f( x) g( x) 2( x) lg(1 x) f(x) g(x) 2x lg(1 x) f(x) g(x) 2x lg(1 x)
即
)
两式相减得f(x) 2x
12
lg(
1 x1 x
四. 解不等式
例5. 解不等式(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 120
解:设f(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4),因f( x) f(x),则f(x)是偶函数,即f(x)的奇数次方为0,可设f(x) 2x4 Ax2 48,以x=1代入,得 2 14 A 12 48 (1 1)(1 2)(1 3)(1 4) (1 1)(1 2)(1 3)(1 4) 解得A=70,即f(x) 2x4 70x2 48,原不等式可化为: 2x4 70x2 48 120 即x4 35x2 36 0 即(x2 36)(x2 1) 0 因而x2 1,x 1或x>1
例6. (2004年上海卷)设奇函数f(x)的定义域是[-5,5]。当x [0,5]时,f(x)的图象如图1,则不等式f(x)<0的解是______________。
图1
解:根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质,画出函数y f(x)在区间[-5,5]上的图象如图2,易知不等式f(x) 0的解是( 2,0) (2,5]。
图2
五. 在二项式的展开式中的应用
例7. 若(1 2x 3x2 4x3)11(1 2x 3x2 4x3)11 a66x66 a65x65 a1x a0,求a65 a1的值。
解:设f(x) (1 2x 3x2 4x3)11(1 2x 3x2 4x3)11,则f(x)是偶函数 则f(x) a66x66 a65x65 a1x a0的奇数次方的系数 a65 a63 a3 a1 0 则a65 a1 0
六. 函数的奇偶性的综合应用题 例8. 已知函数f(x)
b N ,且f(1)
ax
2
1
bx c
(a 0,b 0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其中
52
(1)试求f(x)的解析式;
(2)问函数f(x)的图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。
解:知函数y f(x)(a 0,b 0)是奇函数,f( x) f(x),则c=0 由于f(x)
2
ab
x
1bx
2
ab
2
,所以a b2,又a b2,又f(1)
a 1b
52
,于是
2b 5b 2 0
1
解得 b 2,又b N
2
所以b=1,a=1 所以f(x) x
1x
x
2
(2)设点(x0,y0)存在关于点(1,0)对称点(2 x0,y0),此两点均在函数y 的图象上,则y0
x0 12
2
1x
2
, y0
(2 x0)
2
1
2 x0
2,从而,当x0 1
2时,得
联立以上两式得x0 2x0 1 0,即x0 1
y0 22;当x0 1
2时,得y0 22
即存在点(1 2,22),(1 2, 22)关于点(1,0)对称。
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