2016年春福师大网络与继续教育学院《实变函数》在线作业二 标准答案
更新时间:2023-11-04 17:36:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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福师《实变函数》在线作业二
一、判断题(共 37 道试题,共 74 分。)
1. 设f为[a,b]上增函数,则存在分解f=g+h,其中g是上一个连续增函数,h是f的跳跃函数.
A. 错误 B. 正确
正确答案:B
2. 有界可测集的测度为有限数,无界可测集的测度为+∞ A. 错误 B. 正确
正确答案:A
3. 有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续. A. 错误 B. 正确
正确答案:A
4. 利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。 A. 错误 B. 正确
正确答案:B
5. 积分的引进分为三个递进的步骤:非负简单函数的积分,非负可测函数的积分,一般可测函数的积分. A. 错误 B. 正确
正确答案:B
6. 函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集. A. 错误 B. 正确
正确答案:A
7. 无论Riemann积分还是Lebesgue积分,只要|f|可积,则f必可积. A. 错误 B. 正确
正确答案:A
8. f可积的充要条件是f+和f-都可积. A. 错误 B. 正确
正确答案:B
9. 集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测 A. 错误
B. 正确
正确答案:B
10. 若f有界且m(X)<∞,则f可测。 A. 错误 B. 正确
正确答案:B
11. 若对任意有理数r,X(f=r)都可测,则f为可测函数. A. 错误 B. 正确
正确答案:A
12. f∈BV,则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差. A. 错误 B. 正确
正确答案:B
13. 连续函数和单调函数都是有界变差函数. A. 错误 B. 正确
正确答案:A
14. 若f_n测度收敛于f,则1/f_n也测度收敛于1/f. A. 错误 B. 正确
正确答案:A
15. 三大积分收敛定理是积分论的中心结果。 A. 错误 B. 正确
正确答案:B
16. 若f有界变差且g满足Lip条件,则复合函数g(f(x))也是有界变差. A. 错误 B. 正确
正确答案:B
17. 当f在[a,b]上R可积时也必L可积,而且两种积分值相等. A. 错误 B. 正确
正确答案:B
18. 设f是区间[a,b]上的有界实函数,则f在[a,b]上R可积,当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续. A. 错误 B. 正确
正确答案:B
19. 若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b]. A. 错误 B. 正确
正确答案:B
20. R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并. A. 错误 B. 正确
正确答案:B
21. 存在[0,1]上的有界可测函数,使它不与任何连续函数几乎处处相等. A. 错误 B. 正确
正确答案:B
22. 函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零. A. 错误 B. 正确
正确答案:B
23. 若f∈BV,则f有界。 A. 错误 B. 正确
正确答案:B
24. 增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点,且只能有第一类间断点. A. 错误 B. 正确
正确答案:B
25. 若f_n测度收敛于f,g连续,则g(f_n)也测度收敛于g(f). A. 错误 B. 正确
正确答案:A
26. 对R^n中任意点集E,E\\E'必为可测集. A. 错误 B. 正确
正确答案:B
27. 可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g. A. 错误 B. 正确
正确答案:B
28. 若f,g∈BV,则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。 A. 错误 B. 正确
正确答案:B
29. 若f,g∈BV,则f/g(g不为0)属于BV。 A. 错误 B. 正确
正确答案:A
30. 当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时,则lim_{x->+∞}f(x)=0. A. 错误 B. 正确
正确答案:B
31. 若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R,则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集. A. 错误 B. 正确
正确答案:B
32. 测度收敛的L可积函数列,其极限函数L可积. A. 错误 B. 正确
正确答案:A
33. L积分比R积分更广泛,且具有优越性。 A. 错误 B. 正确
正确答案:B
34. 若A交B等于空集,则A可测时必B可测. A. 错误 B. 正确
正确答案:B
35. 设f:R->R可测,f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax A. 错误 B. 正确
正确答案:B
36. f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛. A. 错误 B. 正确
正确答案:A
37. 若f_n与g_n分别测度收敛于f与g,且f_n<=g_n,a.e.,n=1,2,?,则f<=g,a.e. A. 错误 B. 正确
正确答案:B
福师《实变函数》在线作业二
二、单选题(共 5 道试题,共 10 分。)
1. 若|A|=|B|,|C|=|D|,则 A. |A∪C|=|B∪D| B. |A∩C|=|B∩D| C. |A\\C|=|B\\D|
D. 当A或C为无限集时,|A∪C|=|B∪D|
正确答案:D
2. 设g(x)是[0,1]上的有界变差函数,则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的 A. 连续函数 B. 单调函数 C. 有界变差函数 D. 绝对连续函数 正确答案:C 3. fn->f,a.e.,则
A. fn依测度收敛于f B. fn几乎一致收敛于f C. fn一致收敛于f D. |fn|->|f|,a.e. 正确答案:D
4. 在( )条件下,E上的任何广义实函数f(x)都可测. A. mE=0
B. 0 D. 0<=mE<=+∞ 正确答案:A 5. 下列关系式中不成立的是( ) A. f(∪Ai)=∪f(Ai) B. f∩(Ai)=f(∩Ai) C. (A∩B)0=A0∩B0 D. (∪Ai)c=∩(Aic) 正确答案:B 福师《实变函数》在线作业二 三、多选题(共 8 道试题,共 16 分。) 1. f(x)=1,x∈(-∞,+∞),则f(x)在(-∞,+∞)上 A. 有L积分值 B. 广义R可积 C. L可积 D. 积分具有绝对连续性 正确答案:AD 2. A,B是两个集合,则下列正确的是( ) A. f^-1(f(A))=A B. f^-1(f(A))包含A C. f(f^-1(A))=A D. f(A\\B)包含f(A)\\f(B) 正确答案:BCD 3. 若f(x)为Lebesgue可积函数,则( ) A. f可测 B. |f|可积 C. f^2可积 D. |f|<∞.a.e. 正确答案:ABC 4. 若f∈BV[a,b],则( ) A. f为有界函数 B. Vax(f)为增函数 C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f) D. f至多有可数个第一类间断点 正确答案:ABCD 5. 设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g,则( ) A. fn测度收敛于|f| B. afn+bgn测度收敛于af+bg C. (fn)^2测度收敛于f^2 D. fngn测度收敛于fg 正确答案:AB 6. 若f∈AC[a,b],则( ) A. f∈C[a,b] B. f∈BV[a,b] C. f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt D. f∈Lip[a,b] 正确答案:ABC 7. 设E为R^n中的一个不可测集,则其特征函数是 A. 是L可测函数 B. 不是L可测函数 C. 有界函数 D. 连续函数 正确答案:BC 8. 若f,g是有界变差函数,则( ) A. f+g有界变差函数 B. fg有界变差函数 C. f/g有界变差函数 D. max(f,g)有界变差函数 正确答案:ABD
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