浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透

浅谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透

摘要：“数”与“形”之间密不可分，它们相互转化，相辅相成。在教学中渗透数形结合的思想，可把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念；可使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上把握算法；可将复杂问题简朴化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。

关键词：数形结合；小学数学；数学思想

美国教育心理家布鲁纳也指出：掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法是解决数学问题所采用的方法。它是数学概念的建立、数学规律的归纳、数学知识的掌握和数学问题解决的基础。在人的数学研究中，最有用的不仅仅是数学知识，更重要的是数学思想方法。小学数学中常用的数学思想方法中“数形结合”思想尤为重要。那么在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？以下根据自身的数学教学实践谈谈自己的粗浅见解。

数、形是数学中两大基本概念之一，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展而展开的。“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。“数形结合“的思维方法，便是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。

本文先解读“数形结合”思想，浅谈其历史性及重要意义，后结合实践重点探讨“数形结合”在小学数学教学中的实际应用和实施途径。

一.了解小学数学教材中蕴涵的主要数学思想方法

数学思想：符号思想，集合思想，对应思想，化归思想。 数学方法：

（1）思维方法：分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎

（2） 一般方法：观察、实验、比较、分类、联想、类比、化归、猜想 （3）数学特点较强的方法：函数法、数学模型法、数形结合法、统计法、变换法、分析法、综合法

（4）数学技能：换元法、代入法、系数比较法、合并同类项法、因式分解法、判别式法、配方法、加减消元法、代入消元法、待定系数法、恒等变形法、公式法、构造法、通分母、去括号

在小学数学教学中渗透的数学思想和方法，是以数学方法为主，一般称为数学思想方法，包括思维方法与数学技能。、 二、“数形结合”，由来已久

早在数学被抽象、分离为一门学科之前，人们在生活中度量长度、面积和体积时，就已经把数和形结合起来了。在宋元时期，我国古代数学家系统地引进了

几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形中的几何关系描述成代数关系。

这些都说明了“数形结合”思想有着悠久的历史。在小学数学教学中，我们虽还用不到这种高深的数学知识，却也在低年级“数的认识”中就接触到了数形结合这个思想。以形助数——借助形的生动和直观来阐明数与数之间的联系，以形为手段，数为目的，比如：运用同数相加的图像来直观地说明乘法的意义。以数助形——借助数的简洁性和概括性来提炼事物（图形）的本质，以数为手段，形为目的，比如：一个特定的数字可以代表任何达到这个数量的事物。（3可以代表达到3这个数量的苹果、衣服、车子……）

数形结合就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起。如果把抽象的数学知识与具体的图形结合起来，挖掘和利用概念中的直观成分，充分利用这种结合，寻找解题思路，就能有效降低教学难度，使问题化难为易，化繁为简，从而得到解决。 三、“数形结合”，教学实施情况

数形结合思想是数学的本质之一，是数学教学的精髓，在教学过程中应用广泛，贯穿、融合在课堂教学过程中。我们利用数形结合引进新知，建构概念，解决问题，用数学思想和数学方法去激发学习兴趣，提高数学能力，可为学生以后的学习、工作打下坚实的基础。 〈1〉“数形结合”，教学应用

1．小学生都是从直观、形象的图形开始入门学习数学。

从人类发展史来看，具体的事物是出现在抽象的文字、符号之前的，人类慢慢的发展成为用形象的符号记事，最后才有了数字。一年级的小学生学习数学，也是从具体的物体开始认数，很多知识都是从具体形象逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。众所周知，学生从形象思维向抽象思维发展，一般来说需要借助于直观。例如：中年级学生学习“求比一个数的几倍还多几(少几)”的应用题时，学生对“几倍多几”或“几倍少几”较难理解，为突破这个教学难点，我设计了右面的图形：

结合图形，让学生说：有6个□，△的个数比□的3倍还多4个；也可以说：有6个□，△的个数比□的4倍少2个；接着，出示下面的问题：

(1)□有6个，△比□的3倍多4个，△有多少个？ 算式：6×3+4=22个

(2)□有6个，△比□的4倍少2个，△有多少个？ 算式：6×4-2=22个

比较两题的算法，都要分两步。第一步先求整倍是多少；第二步再加上或减去跟整倍相差的数。这一段教材，一般的教法是：先教求比一个数的几倍多几的数，再教求比一个数的几倍少几的数，最后综合练习。我把这两个相关的内容结合起来一起教，并借助图形的帮助，学生容易理解，比分开教还理解得清楚，学生的思维也更灵活。如自编应用题时，有的学生编了：“皮球的个数比足球的4倍少3个，也就是比足球的3倍多2个，足球有多少个？”这题编得富有创造性，这是用一般教法所不能达到的，如果没有图形的帮助，这样的教学效果也是不可能达到的。

2．以形助数，揭示数量之间的关系，解决大量实际问题。

如果说从图形上抽象出符号，只能代表人们的认知事物的过程，还不能体现其在数学中的独特作用。那么以形助数，善于在图形的分析中快捷地解决问题，思维层次不断上升。这就充分体现了“数形结合”在小学数学中用处了。

数形结合的思想方法将小学数学中一些抽象的代数问题给以形象化的原型，将复杂的代数问题赋予灵活变通的形式，从而给人们思维灵活性的思维迁移训练，这正是反映了数形结合的思想方法解决数与代数问题的有效途径所在。

这方面的例子在小学数学中有很多。从教材上的内容来说：五年级的认识公倍数与公因数就很好的体现了这一点。用长2，宽3的长方形可以铺满边长是6的正方形，而不能铺满边长是8的正方形。从图形拼摆中说明6是2和3的公倍数，而8不是它们的公倍数。

此外，在容斥问题、行程问题中，图形也是好帮手，甚至可以说离开了图，小学生很难理解这类问题。

如常见的容斥问题：班上的学生每人至少参加一项兴趣小组，有35人参加了美术组，有26人参加了合唱组，有9人两个小组都参加了，求班上有多少个同学？

美术组 35人 9人 35合唱组 26人

从图上可以很直观的看出9人是重复了的部分，那么全班的人数就是35+26-9=42（人）。

再如像这一类复杂的行程问题，在没有学习二元一次、三元一次方程的小学阶段，还只能利用图形来表示数量关系帮助解决：一辆汽车从甲地开往乙地。如果把车速提高20%,可以比原来提早1小时到达；若以原速行驶120千米之后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达。问两地距离多少千米？

用长方形的长表示速度，宽表示时间，则长方形的面积表示总路程，因为不管是以原速度原时间行，还是以变化后的速度和时间行，总路程都不变，即长方形的面积不变，那么减少的面积=增加的面积，即两阴影部分的面积相等。

先根据第一种走法画图：

原速度

20%

原时间 1小时

总路程 原速度×20%×（原时间-1）=原速度×1 原时间=6小时

再根据第二种方法画图：

25% 原速度

余下路程 2/3小时剩下的时间

原速度×2/3=原速度×25%×（剩下时间-2/3） 剩下时间=3 （小时）

除了以上提到的这些，求助画线段图的方法在解决和差、和倍、盈亏、找规律等问题中，也是屡见不鲜，在此就不一一举例了。 3．数形结合，为建立函数思想打好基础。

小学数学中虽然没有学习函数，但还是慢慢的开始渗透函数的思想。为初中数学学习打好基础，如确实位置中，用数对表示平面图形上的点，点的平移引起了了数对的变化，而数对变化也对应了不同的点。此外，在六年二期学习的比例中，让学生通过描点连线来表示正比例函数的图象，发现成只要是正比例关系的式子，画在坐标图中是就一条直线。从而体会到图形与函数之间密不可分的关系。

4、在数学练习题中挖掘数形结合思想。

运用数形结合不仅有助于学生逻辑思维与形象思维协调发展，相互促进，提高学生的思维能力，而且有助于培养学生的创新思维和数学意识。

例如：三角形面积计算练习 。民医院包扎用的三角巾是底和高各为9分米的等腰三角形。现在有一块长72分米，宽18分米的白布，最多可以做这样的三角巾多少块？有些学生列出了算式:72×18÷（9×9÷2）,但有些学生根据题意画出

了示意图,列出72÷9×（18÷9）×2、72×18÷（9×9）×2和72÷9×2×（18÷9）等几种算式。

在上面这个片段中,数形结合很好地促进学生联系实际，灵活解决数学问题，而且还有效地防止了学生的生搬硬套，打开了学生的解题思路，由不会解答到用多种方法解答，学生变聪明了。

总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效。最关键一点，能使抽象枯燥的数学知识，形象化具体化，使得数学教学充满乐趣，相信巧妙地运用数形结合，一定会引导学生由怕数学变成爱数学。 〈2〉“数形结合”，教学精髓 1.以“形”激情，激发求知欲望。

让我们来看看发生在我班级上的一个案例：教学“分一分与除法”时，我将“平均分”的意义设计了一个活动情景。

师：（课开始，教师在每个小组的桌上放了一个红色的小巧玲珑的正方体盒子，并高高举起正方体小盒子）说：“小朋友请你猜一猜，这个盒子里放了什么？”老师话音刚落，教室里骚动起来：“是糖？”“玻璃球！”“是巧克力吧！”“老师，能不能打开看看啊？”……老师说：能，请组长打开盒子，并按盒子里的要求做一做。

这是一个新课的引入片段，新课以“形”（一个盒子）为背景让学生猜测，恰到好处地将现实生活和数形结合，利用学生的好奇心理，引发了学生的求知欲望，使课堂的学习氛围出现了最佳态势。 2.数形结合，建构概念。

建构主义认为学生学习活动的本质是：学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。数学意义所指的“意义”是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物，学生容易掌握和理解。

“有余数除法”教学片段：课始创设情境：9根小棒，能搭出几个正方形？要求学生用除法算式表示搭正方形的过程。

生：9÷4

师：结合图我们能说出这题除法算式的商吗？ 生：2，可是两个搭完以后还有1根小棒多出来。 师反馈板书：9÷4=2??1，讲解算理。

师：看着这个算式，教师指一个数，你能否在小棒图中找到相对应的小棒？?? 通过搭建正方形，大家的脑像图就基本上形成了，这时教师作了引导，及时抽象出有余数的除法的横式、竖式，沟通了图、横式和竖式各部分之间的联系。这样，学生有了表象能力的支撑，有了真正地体验，直观、明了地理解了原本抽象的算理，初步建立了有余数除法的竖式计算模型。学生学得很轻松，理解得也比较透彻。

3.数形结合，解决问题。

运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。

如：下例是从二年级数学第一册的一次练习中截下的，此前，学生已经掌握“一个数的几倍是多少”和“一个数是另一个数的几倍”的知识。

这道题的意思是：一个数减少几，另一个数减少到几才能使剩下的量是第一个量的几倍。如果没有图形只给出数量关系，对二年级学生来说比较难的，因为这是四年级知识。但是此题将图形与数量结合呈现，就大大降低了解题的难度，学生可以一边借助图形一边思考寻找解题方式。实际教学中有95%的学生做对了！而且这道题既包含了图形的表义，又揭示“倍”的含义，无形中把学生一般思维过渡到高级思维，并且训练了学生综合运用所学知识处理问题的能力。这道题引发了学生的创新思路，它将学生头脑中原有的思维方式进行了更新，它的解题

过程，成功地成为发动认识与构思的内在机制。

数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象、表象之间的转化，发展学生的思维。

“高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”“数形结合”作为数学思想方法之一，它也是数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的，无怪乎有人认为，对于学生“不管他们将来从事什么工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”在小学数学教学中，学生懂得“数形结合”的数学思想方法后，对于小学数学知识的理解性记忆是非常有益的。 四、“数形结合”，意义深远

1.有利于更好地理解、掌握数学知识。

心理学认为：“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”“下位学习所学的知识具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新知识。”

学生在进入小学学习之前，他们的知识基本上是建立在现实生活中客观事物上的。其知识特点是直观形象，看得见，摸得着。而进入小学阶段，教师如果运用数形结合来引入新知、建构概念、解决问题，就相当于在原有的知识体系上添砖加瓦，新知识的学习就变成了下位学习。这样新学的知识就会具有较高的稳定性和牢固性，而我们也达到了所需的教学效果，也就是所谓深入浅出。 2.有利于数学能力的提高。

在小学数学教学中，培养学生的能力始终是新课程提出的一个重要方面。但是能力不是一朝一夕就能拥有的。能力形成于学习和掌握数学概念的过程中，发展于灵活运用数学知识独立解决问题的过程里。分析综合、归纳类比、抽象概括，都应该从小学开始着力培养。

数形结合是一个引导学生入门的途径之一。 比如：通过图来揭示数与数之间的规律。

一个简单的例子：根据前面的盘子里出现的量，最后一个盘子应该放几个苹

果呢？

小学数学教师在教学中注重“数形结合”思想的渗透，引导学生严密思维，灵活思考，善于抓事物的主要矛盾，就能使学生学会有效的思维方法，从而促进学生数学能力的提高。

3.有利于培养学生的创新意识和创造能力。

因此，教学中要对学生加强“数形结合”思想教育，培养学生运用“数形结合”的意识尤为重要。我认为：第一，在平时教学中适时渗透，以逐步培养学生运用“数形结合”解决这类问题的能力，所谓“润物细无声”；第二，在习题的设置上要有意识地培养学生运用“数形结合”思想方法的习惯，促使学生领悟数形结合思想方法的精髓，并灵活运用。第三，教师要转变观念，深挖教材，教学中着力培养学生创新意识与实践能力。 总之，新课程呼唤我们每位教师要从根本上改变教学方法，强化数学思想方法的教与学，培养学生运用数学思想方法的意识和能力，锻炼学生的思维。

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