导数寒假作业

15-16河北衡水中学高二数学 寒假作业(二) 组编：孙卫权 孙中杰 审核： 姓名： 学号： 日期：

导数1

一、 选择题(每题5分，共60分)

1．函数y?x3?3x2?3在（1，1）处的切线方程为 （ ）

A．y??3x?4 B．y?3x?4 C．y??4x?3 D．y?4x?3 2．函数f(x)?x3,f?(x0)?6,则x0? ( )

A.2 B.?2 C.?2 D.?1

A．2f()?f() B．2f(?)?f(?) C．f(0)?2f() D．f(0)?2f()

34344 358．已知f'(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且f(x)?f(5?x),(?x)f'(x)?0 若

2??????x1?x2,x1?x2?5，则下列结论中正确的是 （ ）

A．f(x1)?f(x2) B．f(x1)?f(x2)?0 C．f(x1)?f(x2)?0 D．f(x1)?f(x2) 9．已知函数f（x）＝x

n＋1

（n∈N）的图象与直线x＝1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交

*

点的横坐标为xn，则log2014x1＋log2014x2＋?＋log2014x2013的值为（ ） A．﹣1 B．1﹣log20142013 C．﹣log20142013 D．1 10．若函数f（x）＝2（e＋e

1λx

－λx

13．若不等式x?ax?1?0对于一切x?(0,]恒成立，则a的最小值是（ ）

25A．0 B．－2 C．? D．－3

22） （λ∈R），当参数λ的取值分别为λ1与λ2时，其在区间

2y?x4．曲线在(1,1)处的切线方程是（ ）

[0,＋∞）上的图像分别为图中曲线C1与C2，则下列关系式正确的是：（ ）

A．λ1＜λ2 B．λ1＞λ2 C．|λ1|＜|λ2| D．|λ1|＞|λ2| 11．设p:f(x)?x3?2x2?mx?1 在(-∞，+∞)上单调递增；q:m?A.2x?y?3?0 B.2x?y?3?0 C.2x?y?1?0 D.2x?y?1?0

5．f(x)是定义在非零实数集上的函数，f?(x)为其导函数，且x?0时，xf?(x)?f(x)?0，记

4，3则p是q的( )

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.以上都不对 12．已知f?x??f(20.2)f(0.22)f(log25)，则 （ ） a?，b?，c?log2520.20.22（A）c?a?b （B） b?a?c （C） a?b?c （D） c?b?a

6．设函数y?f?x?在区间?a,b?上的导函数为f??x?，f??x?在区间?a,b?上的导函数为f???x?，若区间?a,b?上f???x??0，则称函数f?x?在区间?a,b?上为“凹函数”，已知

12x?cosx，f??x?为f?x?的导函数，则f??x?的图象是( ) 4

二、填空(每题5分，共20分)

151x?mx4?2x2在?1,3?上为“凹函数”，则实数m的取值范围是（ ） 20123131A．(??,) B．[,5] C．(??,3] D．???,5?

99f?x??7．已知函数y?f?x?对于任意的x?(?x2?a13．已知函数f(x)?，当x?N*时，f(x)?f(3)恒成立，则实数a的取值范围

x为 ．

14．曲线y???,)满足f??x?cosx?f?x?sinx?0（其中f??x?是22sinx1??在点M(,0)处的切线的斜率为 ．

4sinx?cosx215．设f '(x)和g'(x)分别是f(x)和g(x)的导函数，若f '(x)g'(x)≤0在区间I上恒成立，则称

函数f?x?的导函数），则下列不等式不成立的是（ ）

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f(x)和g(x)在区间I上单调性相反．若函数f(x)＝13x3－2ax与g(x)＝x2＋2bx在开区间(a，b)上

单调性相反(0

16．已知函数f(x)?13x3?mx2?2n（m，n为常数），当x?2时，函数f(x)有极值，若函数y?f(x)有且只有三个零点，则实数n的取值范围是 ． 三、解答(17题10分，其余每题12分，共70分)

17.（10分）设f(x)?x3?x22?2x?5． （1）求函数f(x)的单调递增、递减区间；

（2）求函数f(x)在区间[?1,2]上的最大值和最小值．

18．（12分）已知函数f(x)?x3?ax2?x?3在x??1时取得极值．

（1）求f(x)的解析式；

（2）求f(x)在区间[?2,1]上的最大值．

19．（12分）设函数f(x)?alnx?1?a2x2?bx，a?R且a?1.曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为0. （1）求b的值；

（2）若存在x??1,???，使得f(x)?aa?1，求a的取值范围.

20．（12分）已知函数f（x）＝x3?ax2?bx?c在x??23与x＝1时都取得极值 （1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（2）若对x?[-1，2]，不等式f（x）?c2恒成立，求c的取值范围。

21．（12分）已知f(x)?1?lnxx． （1）求函数y?f?x?的单调区间；

（2）若关于x的方程f(x)?x2?2x?k有实数解,求实数k的取值范围；

22. （12分）已知函数f?x??exx?a（其中常数a<0）.

（1）求函数f?x?的定义域及单调区间；

（2）若存在实数x??a,0?，使得不等式f?x??12成立，求a的取值范围．

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导数1参考答案

1．A. 试题分析：y'?3x2?6x，则k?3?6??3，则切线方程为y?1??3(x?1)，即

y??3x?4.

55(?x)f'(x)?0x?22，f'(x)?0，故函数f(x)在?5,???上是增函数，在???,5?，所以当????2??2??5x?2处取得最小值，又因为x?x,x?x?5，故x?5?x?5，所以上是减函数，在1212122．C. 试题分析：?f(x)?x3,?f'(x)?3x2；f'(x20)?3x0?6，解得x0??2. 3．C试题分析：因为x?(0,1]，所以原不等式化为a????x?1?2?x??恒成立，只须要使a?????x?1?x?1?1?1?，因为对勾函数y?x?在?0,1?上单调递减，所以y????x???在(0,maxxx2]上单

调递增，所以???x?1?x??在上的最大值为????2?1?52????2，所以a??52，a的最小值为?5?2， 4．D：因

f,(x)|x?1?y,|x?1?2,f(1)?1，故切线方程为y?1?2(x?1)即2x?y?1?0 5．A令g(x)?f(x)x,则g?(x)?xf?(x)?f(x)x2,因为当x?0时，xf?(x)?f(x)?0，所以g(x)在?0,???上单调递减，因为log25?log24?2，1?20.2?2,0.22?0.04，所以log225?20.?0.22所以c?a?b.

6．C由已知条件得f'(x)?14x4?13mx3?4x，则f''(x)?x3?mx2?4，所以x3?mx2?4?0在?1,3?恒成立，则m?x?444x2，因为x?x2在?1,3?递增，所以x?x2??3，所以m??3．

7．B设g(x)?f(x)f?(x)cosx?cosx，则g?(x)?f(x)sinxcos2x.由已知得g?(x)?0，所以

g(x)?f(x)cosxf(??在(??2,??3)f(?)2)上单调递增.所以

?4，选B. cos(???3)cos(?4)x?58．D因为函数f(x)满足f(x)?f(5?x)，则函数f(x)的图像关于

2对称，又因为22f(x1)?f(x2)．

9．A∵f（x）＝xn＋1

（n∈N*

），∴f′（x）＝（n＋1）xn

（n∈N*

），

则f′（1）＝n＋1，f（1）＝1，∴在P处的切线方程为y－1＝（n＋1）（x－1）， 当y＝0时，解得x＝nn?1，即xnn＝n?1， ∴log2014x1＋log2014x2＋?＋log2014x2013＝log2014（x1?x2?x2013） ＝log12014（2?220133?......?2014） ＝log12014（2014）＝－1， 10．D由图象可知，曲线C2与C1的图象低，不妨设x?1，由图象可知当x?1时，

12?e?1?e??1??12?e?2?e??2?，令g?x??ex?e?x，则g?x?为偶函数，又因为g'?x??ex?e?x?e2x?1ex，当x?0时，g'?x??0，故g?x?在?0,???上单调递增，有偶函数的性质可知

?1??2，故选D．

11．C由f(x)?x3?2x2?mx?1在（-∞，+∞）内单调递增，得f（?x）?3x2?4x?m?0 在R上恒成立，只需??16?12m?0 ，即m?43 ∴命题p等价于命题：m?43∴p是q的充分必要条件，故选C. 12

．

A

函

数

f?x??14x2?cosx，

f??x??x2?sinx，

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?x?x?f???x???sin??x?????sinx???f??x?，

2?2?故f??x?为奇函数，故函数图象关于原点对称，排除B,D，f??故C不对，答案为A． 13．[6,12].当a?0时，f(x)?x?a在(0,??)上递增，∴当x?N*时，f(x)?f(3)不恒成立；当a?0x216．∵f?(x)=x2?2mx，由当x?2时函数f(x)有极值知，f?(2)?22?4m?0，解得m?1，所以f?(x)=x2?x?x(x?1)，所以当x?0或x?2时，f?(x)＞0，当0?x?1时，f?(x)＜0，则f(x)??1???1?????sin???0，

6122?6?26在（-?，0）和（1，+?）上是增函数，在（0,1）上是减函数，所以当x=0时，f(x)取极大值f(0)=2n，

x2?a时，f(x)?在(0,a]上递减，在[a,??)上递增，∵当x?N*时，f(x)?f(3)恒成立，∴

x?2?a?3?3?a?4??或?，解得6?a?12. ?f(2)?f(3)f(4)?f(3)?????f(0)?2n?02?当x=1时，f(x)取极小值f(1)=2n?，要使f(x)有三个零点，则?，解得023f(1)?2n??0?3?11，所以n的取值范围为（0，）. 332217．（1）f(x)的单调增区间为(??,?]和 [1,??)，减区间为[?,1]；（2）f(x)的最大值为7，最

337小值为.

22解：（1）f'(x)?3x2?x?2， 2分由f'(x)?0得x??或x?1， 4分

322所以f(x)的单调增区间为(??,?]和 [1,??)，减区间为[?,1]； 6分

33＜n＜（2）列表如下

14．

12试题分析：

y'?cosx?sinx?cosx??sinx(cosx?sinx)?sinx?cosx?x?2?cos2x?sin2x?sinx?cosx?2?1?sinx?cosx?2 所以y'?4?1????sin?cos??44??2?11，故填．

2215．1132∵f(x)＝x－2ax，g(x)＝x＋2bx， 232

∴f '(x)＝x－2a，g'(x)＝2x＋2b；

由题意得f '(x)g'(x)≤0在(a，b)上恒成立， ∵a＞0，∴b＞a＞0，∴2x＋2b＞0恒成立，

∴x－2a≤0恒成立，即－2a≤x≤2a；又∵0＜a＜x＜b，∴b≤2a，即0＜a≤2a，解2

所以f(x)的最大值为7，最小值为

327． 14分 218．（1）f(x)?x?x?x?3；（2）?2. （1）f?(x)?3x?2ax?1.

因为f(x)在x??1时取得极值， 所以f?(?1)?0，

即3?2a?1?0 解得a?1．

21221得0＜a≤2；∴b－a≤2a－a＝－(a?)＋，当a＝时，取“＝”，∴b－a的最大值222为1． 2 15-16河北衡水中学高二数学 寒假作业(二) 组编：孙卫权 孙中杰 审核： 姓名： 学号： 日期：

经检验，a?1时，f(x)在x??1时取得极小值.

所以 f(x)?x3?x2?x?3． 6分 （2）f?(x)?3x2?2x?1，

令f?(x)?0，解得x??1或x?13； 令f?(x)?0，解得?1?x?13． 所以f(x)在区间(?2,?1)和(113,1)内单调递增，在(?1,3)内单调递减，

所以当x??1时，f(x)有极大值f(?1)??2． 又f(1)??2,f(?2)??5， 所以函数f(x)在区间[-2,1]上的最大值为 -2. 19．（1）a?(1?a)?b?0，?b?1 （2）a的取值范围是??2?1,2?1???1,??? 【解析】（1） ?f(x)?alnx?1?a2x2?bx ?f'(x)?ax?(1?a)x?b 由曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为0.得f'(1)?0 即a?(1?a)?b?0，?b?1 （2）若存在x??1,???，使得f(x)?aa?1，即(f(x))amin?a?1 由b?1，x??1,???得

f'(x)?a(1?a)x2?x?a(x?1)?(1?a)x?a?x?(1?a)x?1?x?x（a?1）

令f'(x)?0得x1?1，xaa2a2?1?a，且1?a?1??11?a

当a?

1a2时，

1?a?1，在?1,???上f(x)为增函数 (f(x))1)?1?a?a?1min?f(2?1?2

令?a?12?aa?1，即a2?2a?1?0，解得?2?1?a?2?1 当12?a?1时，x?a21?a?1?x1，f(x)的单调性如下表： x (1,aaa1?a) 1?a (1?a,??) f'(x) — 0 + f(x) 减 极小值 增 (f(x))?f(amin1?a)?alnaa2aa1?a?2(1?a)?a?1?a?1 不合题意，无解。

③当a?1时，在x??1,???上，f'(x)?0，f(x)为减函数

(f(x))a?a?1amin?f(1)?1?2?1?2?a?1恒成立，符合题意 综上，a的取值范围是??2?1,2?1???1,??? 20．（1）f（x）的递增区间是（－?，－

23）与（1，＋?），递减区间是（－23，1） （2）c?－1或c?2

（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f?（x）＝3x2

＋2ax＋b 由f?（－21243）＝9－3a＋b＝0，f?（1）＝3＋2a＋b＝0得 a＝－12，b＝－2 所以函数f（x）的递增区间是（－?，－

23）与（1，＋?）递减区间是（－23，1） 15-16河北衡水中学高二数学 寒假作业(二) 组编：孙卫权 孙中杰 审核： 姓名： 学号： 日期：

（2）f（x）＝x3

－

12x2－2x＋c，x?〔－1，2〕，当x＝－23时，f（x）＝2227＋c 为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。 要使f（x）?c2（x?〔－1，2〕）恒成立，只需c2

?f（2）＝2＋c解得c?－1或c?2 21．（1）函数f(x)在区间（0,1）上为增函数；在区间(1,??)为减函数；（2）k?2；

1?x?(1?（1）?f(x)?1?lnxlnx)x,?f?(x)?xx2??lnxx2 ∴当x?(0,1)时,f?(x)?0；当x?(1,??)时, f?(x)?0；

∴函数f(x)在区间（0,1）上为增函数；在区间(1,??)为减函数 4分

（2）由（1）得f(x)的极大值为f(1)?1,令

g(x)?x2?2x?k, 所以当x?1时,函数g(x)取得最小值g(1)?k?1,

又因为方程

f(x)?x2?2x?k有实数解,那么k?1?1,即k?2, 22．（1）定义域为{x|x?a}，单调递增区间为(a?1,??)，单调递减区间为(??,a),(a,a?1)；（2）a?ln12?1。 （1）函数f?x?的定义域为?xx?a?． 1分

xf??x??e?x?a??ex?1ex??x??a?1????x?a?2??x?a?2． 3分

由f??x??0，解得x?a?1.由f??x??0，解得x?a?1且x?a．

∴f?x?的单调递增区间为?a?1,???，单调递减区间为???,a?，?a,a?1?．

（2）由题意可知，a?0，且f?x??ex1x?a在?a,0?上的最小值小于等于2时，存在实数x??a,0?，

使得不等式f?x??12成立． 7分 若a?1?0即a??1时， x ?a,a?1? a+1 ?a?1,0? f??x? ? 0 + f?x? ↘ 极小值 ↗ ∴

f?x?在?a,0?上的最小值为

f?a?1??ea?1．则ea?1?12，得

a?ln12?1． 10分

若a?1?0即a??1时，f?x?在?a,0?上单调递减，则f?x?在?a,0?上的最小值为

f?0???111a． 11分由?a?2得a??2（舍）

． 综上所述，a?ln12?1．

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