四边形全章知识点与常见题型总结(讲解)

知识点总结

1．平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

这个定义包含两层意义：①四边形；②两组对边分别平行

2．对角线的定义

平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线

3．平行四边形的性质

①从边看：平行四边形的对边平行且相等

②从角看：平行四边形的对角相等，邻角互补

③从对角线看：平行四边形的对角线互相平分，互相平分是指两条线段有公共的中点4．平行四边形的面积

平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．

5.平行四边形的判别方法

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形

②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形

④对角线互相平分的四边形是平行四边形

⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形

6.平行四边形的性质与判定的区别

平行四边形的性质是指平行四边形的边,角,对角线等所具有的大小或位置之间的关系,而平行四边形的判定是指四边形具有什么条件就是平行四边形

7.矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形是矩形

8.矩形的性质

①具有平行四边形的一切性质

②矩形的四个角都是直角

③矩形的对角线相等

④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴

9.矩形的判定

①有一个内角是直角的平行四边形是矩形

②对角线相等的平行四边形是矩形

③有三个角是直角的四边形是矩形

另外还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形

10.直角三角形的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

11.矩形对角线产生的三角形的特点

矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形,两条对角线把矩形分成四个小的全等的等腰三角形

12.有关矩形面积的计算

①面积公式:矩形面积=长?宽

②如图.矩形ABCD的两条对角线相交于O,则

1

4 ABO BCO CDO ADO

S S S S S

????

====

矩形ABCD

O

A

B C

D

13.菱形的定义

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

14.菱形的性质

①具有平行四边形的一切性质

②菱形的四条边都相等

③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角

④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴

15.菱形的判定方法

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形

③四条边都相等四边形是菱形

16.有关菱形的面积计算

由于菱形的对角线互相垂直平分,

11

()

22

ABD CBD

S S S BD OA OC BD AC ?

=+=+=?

A

B

C D

O

也可以用平行四边形的面积计算公式=底?高

17.正方形的定义

一组邻边相等的矩形叫做正方形

正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形

18.正方形的性质

正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质

①边:四边相等,对边平行

②角:四个角都是直角

③对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45?

④正方形是轴对称图形,有四条对称轴

19.正方形的判定

①菱形+矩形的一条特征

②菱形+矩形的一条特征

③平行四边形+一个直角+一组邻边相等

说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判

断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形

20.正方形对角线产生的三角形特点

正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形

21.正方形常用的辅助线添加方法

①正方形中常连对角线,把四边形的问题转化为三角形的问题

②有垂直时做垂线构造正方形

③有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形来应用

④利用旋转法将与正方形有关的题目的分散元素集中起来,从而为解决问题创造条件

22.平行四边形,菱形,矩形,和正方形四者之间的关系

一个内角为直角

正方形

菱形

平行四边形

矩形

23.梯形定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形

梯形的底:梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底梯形的腰:梯形中不平行的两边叫做梯形的腰

梯形的高:梯形两底之间的距离叫做梯形的高

等腰梯形:两腰相等的梯形

直角梯形:一腰垂直于底的梯形

24.梯形的判定

①判定四边形一组对边平行,另一组对边不平行

②一组对边平行但不相等的四边形是梯形

25.等腰梯形的性质

①两底平行,两腰相等

②等腰梯形在同一底上的两个角相等

③等腰梯形的两条对角线相等

④等腰梯形是轴对称图形,只有一条对称轴,一底的垂直平分线是它的对称轴

26.等腰梯形的判定

①两腰相等的梯形是等腰梯形

②在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

(以前出现,但是在新课标中没有出现的判定方法:对角线相等的梯形是等腰梯形)

27.梯形的面积

面积=（上底+下底）×高÷2

28．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线．梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

梯形辅助线的添法

（图一） （图二） （图三）

（图四） （图五） （图六）

（图七） （图八）

基础题型

1．如图在平行四边形ABCD 中，:5:3A B ∠∠=，求这个平行四边形各内角的度数

A B C

D

解：四边形ABCD 是平行四边形

∴AD BC ∥，180A B ∠+∠=?

由于:5:3A B ∠∠=

故设5A x ∠=，则3B x ∠=

即53180x x +=?

解得22.5x =? 因此522.5112.5A ∠=??=?，322.567.5B ∠=??=? ∴平行四边形各内角度数分别是112.5?，67.5?，112.5?，67.5? ２．已知平行四边形ABCD 的周长为38cm ，AC ，BD 相交于O ，且AOB ?的周长比BOC ?的周长小于3cm ，如图，求平行四边形ABCD 各边的长 解：四边形ABCD 为平行四边形

∴OA OC =，AB CD =，BC AD =

AOB ?的周长＝OA OB AB ++

BOC ?的周长＝OC OB BC ++

且AOB ?的周长比BOC ?的周长小于3cm

∴()()3OC OB BC OA OB BC ++-++=

3BC AB ∴-=

又平行四边形ABCD 的周长为38cm

∴19BC AB +=

∴8AB =cm ，11BC =cm

∴8CD =cm ，11AD =cm

３．如图，已知：在平行四边形ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ⊥于E ，CF BD ⊥于F 求证：AE CF =

D

C B A

E F

证明：方法一：四边形ABCD 是平行四边形

∴AB CD ∥，AB CD =

∴ABE CDF ∠=∠

AE BD ⊥，CF BD ⊥

∴AEB CFD ∠=∠

∴()ABE CDF AAS ???

∴AE CF =

O D

C B A

E F

方法二：连接AC ，交BD 于O

四边形ABCD 是平行四边形

∴OA OC =，又AE BD ⊥，CF BD ⊥

∴AEO CFO ∠=∠，而AOE COF ∠=∠

∴AEO CFO ???（AAS ）∴AE CF =

４．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AC ，CA 延长线上的点，且CE AF =，则BF 与DE 具有怎么样的位置关系？试说明理由

E

F

A B C

D

解：BF DE ∥

证明：方法一：在平行四边形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD =， ∴BAC DCA ∠=∠

180BAC BAF ∠+∠=?，180ACD DCE ∠+∠=?

∴BAF DCE ∠=∠ 又AF CE = ∴AFB CED ???()SAS

方法二．连接BD ，交AC 于O

在平行四边形ABCD 中，AO CO =，BO DO =

AF CE = ∴OF OE =

FOB EOD ∠=∠ ∴BOF DOE ???（SAS ）

∴F E ∠=∠ ∴BF DE ∥

O

E F

A

B C D O E

F A B

C D

方法三．连接BD ，交AC 于O ，连接DF ，BE

由方法二知．OF OE =，OB OD =

∴四边形BEDF 为平行四边形

∴BF DE ∥

５．如图，已知O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，38AC =cm ，24BD =cm ，14AD =cm ，那么OBC ?的周长为＿＿＿＿＿

O

D

C

B A

解：根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知

14BC AD ==cm ，11241222OB BD ==?=cm ，11381922

OC AC ==?=cm ∴OBC ?的周长为14121945BC OB OC ++=++=cm ６．如图平行四边形ABCD 中，EF AB ∥，GH AD ∥，EF 与GH 交于O ，则该图形中的平行四边形的个数共有（ ）

Ａ．7 Ｂ．8 Ｃ．9 Ｄ． 10

F

E

D C

B A

G

H

O

由题意可知图中的平行四边形分别是：DEOH ，EAGO ，HOFC ，OGBF ，DAGH ，HGBC ，DEFC ，EABC ，DABC 所以共有9个

７.如图，平行四边形ABCD 中，AF 平分DAB ∠交CD 于N ，交BC 的延长线于F ，

DE AF ⊥，交AB 于M ，交CB 延长线于E ，垂足为O ，试证明：BE CF =

O

N M

F E

A

B

C

D

证明：四边形ABCD 为平行四边形 ∴AD BC ∥，AB CD ∥，AB CD =

∴DAF F ∠=∠，ADE E ∠=∠，EDC AMD ∠=∠

DE AF ⊥，∴90AOM AOD ∠=∠=? AF 平分DAB ∠，∴DAF BAF ∠=∠ OA OA = ∴AOM AOD ???（ASA ）

∴ADM AMD ∠=∠，BAF F ∠=∠，EDC E ∠=∠ ∴AB BF =，CD CE =

BF CE ∴=∴BE CF =

８．如图，已知：D ，E ，F 分别在ABC 的各边上，DE AF ∥，DE AF =，延长FD 到G ，使2FG FD =．求证：AG 与DE 互相平分．

A

B

C

D

E

F

G

A

B

C D E

F G

证明：连接AD ，EG DE AF ∥，DE AF =

∴四边形AEDF 是平行四边形 ∴DF AE =，DF AE ∥

又2FG FD =

∴12

DG DF FG == ∴DG AE =，而DF AE ∥

∴四边形AEGD 为平行四边形

∴AG 与DE 互相平分

９．如图，已知D 是ABC ?的边AB 的中点，E 是AC 上的一点DF BE ∥，EF AB ∥试说明：AE 与DF 互相平分

A

B C D

E

F A B C D E F

证明：连接AF ，DE

DF BE ∥，EF AB ∥

∴四边形BDFE 为平行四边形，∴EF BD =

D 是AB 中点

∴BD AD =

∴AD EF =，AD EF ∥ ∴四边形ADEF 为平行四边形

∴AE 与DF 互相平分

10．如图，点M ，N 分别在平行四边形ABCD 的边BC ，AD 上，且BM DN =，ME BD ⊥，NF BD ⊥，垂足分别为E ，F ，求证：MN 与EF 互相平分

M N

A B C D

E F M N A B C

D E F

证明：连接EN ，MF

四边形ABCD 是平行四边形

∴BC AD ∥，∴CBD ADB ∠=∠

90MEF NFE ∠=∠=?，90MEB NFD ∠=∠=?

∴ME NF ∥

BM DN = ∴BME DNF ???()AAS

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