竞赛辅导讲义（几何）

第二部分 空间与图形

20、线段与角

思考练习

1、已知线段AB＝16，C为AB上的一点，且AC∶CB＝3∶5，M、N分别为AC、AB的中点，求MN的长．

A

M

C N

B

2、在直线l上取A、B两点，使AB＝10cm，再在l上取一点C，使AC＝2cm， M、N分别为AB、AC的中点，求MN的长．

3、在一条直线形流水线上，依次在A1、A2、A3、A4、A5处有5个具有同样性能的机器人在工作，每隔一定时间，它们要去取零件，将零件箱放在何处，才能使机器人取零件花费的总时间最少？

P

100m 200m A区

B区

C区

A1 A2 A3 A4 A5

4、某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示，公司的班车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路线总和最少，那么停靠点的位置应在何处?

5、如图，已知?AOE和?COG都等于90?，

G F E

D C B O A ?BOC??FOG，则图中以O为顶点的锐角共有_____个．

6、时钟在12点25分时分针与时针之间的夹角度数为______． 7、若一个角的补角等于这个角的余角的6倍，则这个角等于__ ___． 8、小明家在车站O的东偏北18?方向300米处，学校B在车站O的南偏西10?方向200米，小明经车站所走的?AOB?______度

9、若?AOB与?BOC互为补角，OD是?AOB的平分线，OE在?BOC内，?BOE?D A B E 1?EOC，?DOE?72?，求?EOC． 2O

A

C

10、平面上有五个点，其中仅有三点在同一直线上，过每两点作一条直线，一共可以作_____条直线．

11、如图，OM是?AOB的平分线，射线OC在?BOM内部，

O 1 3 4 2 N B

M C

ON是?BOC的平分线，已知?AOC?80?，求?MON的度数．

38

12、平面上三条直线相互之间的交点个数是( )

A、3 B、1或3 C、1或2或3 D、不一定是1、2、3

13、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30?，求这两个角． 14、如图，已知AB∥CD，?A?110?，?C?120?，则?CEF?_______．

15、如图，已知AB与CD相交于点O，OE、OF、OG分别是?AOC、?BOD、?AOD的平分线，求证：(1) E、O、F三点共线；(2) OG?EF．

说出下列证明每一步推理的理由： 证明：(1) ∵?AOD??DOB?180?，

C 11又?GOD??AOD，?FOD??DOB，

221∴?GOF?(?AOD??DOB)?90?， 同理?EOG?90?，

2∴?EOF??EOG??GOF?180?， ∴E、O、F三点共线． (2) ∵?EOG?90?，∴OG?EF．

16、如图，平行直线a与b被两条相交直线所截，请数出图中 有多少对同旁内角．

a b A F

C

D D F

O G

B

E A B E

21、三角形的边角关系

例题讲练

例1 草原上4口油井，位于四边形ABCD的4个顶点，如图现要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到4口油井的距离之和HA?HB?HC?HD最小，说明理由．

解：维修站H建在两条对角线的交点处就符合要求． 理由如下：不妨任取异于H的一点E，连EA、EB、EC、 ED， 则EA?EC?AC，EB?ED?BD，

D H C

EA?EB?EC?ED?AC?BD?HA?HB?HC?HD． A

E B

例2 若三角形的三边长均整数，周长为15，问这样的三角形共有多少个? 解：设三角形的三边长分别为a、b、c，且a?b?c．则a?15 2当a?7时，b?7,c?1；b?6,c?2；b?5,c?3；b?4,c?4．

39

当a?6时，b?6,c?3；b?5,c?4； 当a?5时，b?5,c?5． 所以满足条件的三角形共有7个．

例3 若直角三角形的两条直角边长为a、b, 斜边长为c斜边上的高为h, 则有( ) (A)ab?h (B)

2111111?? (C) 2?2?2 (D) a2?b2?2h2 abhabh222222答：∵a＞h＞0，b＞h＞0，∴ ab＞h，a?b＞h＋h＝2h；可见，（A）、（D）

不正确；设斜边为c，

111111(a?b)h＞ch?ab，即有?＞，故（B）也不正确； 222abh11111a2?b2h?ab, 化简整理后，得 2?2?2，因些结论（C）是正确的 由22abh思考练习

1、若?ABC的三边长是三个不同的整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长为______

5、如图表示一个六边形的钢架ABCDEF，它的结构是不稳固的，现需要想办法稳固这种结构使之不能活动，可用钢管连接某些对角线，问至少要用____根钢管才能稳固，请在图中画出来．

2、周长为24，各边长互不相等且都是整数的三角形共有_ __个． 3、在?ABC中，?ABC??ACB，?ACB?2?A，

A

BD平分?B，BE?BD，图中有___个等腰三角形．

4、在?ABC中，若?A??B?90?，则?ABC是( ) (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 锐角三角形或钝角三角形

6、一个凸n边形的内角和小于1999, 那么, n的最大值是( ) (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14

7、一个凸n边形的内角和超过1000?，则n的最小值是( ) (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10

0E

D

B C

8、多边形边上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形．图(一)给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形．

图(一)

40

请你按照上述方法将图(二)中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数．试把这一结论推广到n边形．

图(二)

9、给定平面上的几个点，已知1、2、4、8、16、32都是其中两点之间的距离，那么点数N的最小可能值是（ ） (A) 4 (B) 5 (C)6 (D) 7

10、?ABC内共有n个点，连结这些点(含A、B、C共n?3个点)可将?ABC个割成若干个不重叠的小三角形，问有多少这样的三角形？

11、过平面内点O任意作7条直线，证明：以点O为顶点的角中，必有一个小于26?． 12、平面内有7条直线两两相交，证明：在所有的交角中，必有一个小于26?．

22、角度计算

例题讲练

例1 已知在?ABC中，D、E分别在边AC、AB上， 且AB?AC、BC?BD、AD?DE?EB，求?A的度数．

略解：设?A的度数为x，易见?A??AED?x，

E D A ?BED?180??x?EDC?2x，

B 180??(180??x)x?EBD??EDB??

22x333?ABC??C??BDC?2x??x， ∴x?x?x?180?，

2222∴x?45?．

例2 在ΔABC中,AB = AC, AD = AE, ∠BAD =60, 求∠EDC的的度数．

略解：设?CAD?2?，由AB = AC知，

∠B＝

0C

A E

B D

C

1(1800?600?2?)?600?? 2?ADB?1800??B?600?600??, 由AD = AE知，?ADE?900??,

∴?EDC?180??ADE??ADB?30．

00 41

思考练习

1、如图：求?A??B??C??D??E??F的度数．

2、如图，若EF和CF是?E和?F的平分线，若?B?40?，?D?50?，求?F． 3、如图，点D在?ABC的边BC上，且BD?DA?AC，?BAC?63?，求?DAC．

A

A F

E

D

N E F A B G H

C D

B C

B

D

C

4、如图，AB?BC?CD，AD?AE，DE?BE，求?C的度数．

5、如图，?ABC中，?B?40?，延长BA至E，作?EDA?56?，?E与?C的平分线交于F，求?EFC的度数．

6、如图，ΔABC中，∠A，∠B的外角平分线AD、BE分别交对边的延长线于点D、E， 且AD =AB =BE．求∠BAC的度数．

C

7、在ΔABC中，AB = AC， AD = AE，

B D E

F

B A

A B D C

D

A E A C E ?BAD?60，求∠EDC的度数．

8、在下列三个图形中，已知?ABC?8?，???90?． (1) 在图1中若?1??2，则?A?_____

(2) 在图2中若?1??2，?3??4，则?A?_____

0E B D

C

(3) 在图3中若?1??2，?3??4，?5??6，……，?n?1??n，(n是大于等于1的自然数)，试推出?A的度数x与n的关系式．

B

B

θ 图1

2 1 A 3 4 2 图2

A

C

B

1 C

θ

A

4 3 n 5 2 42

1 C

图3

思考练习

1、在10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 5

2、如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF， CD∥FA，且BC－E＝ED－AB＝FA－CD＜0，求该六边 形的六个角度数．

3、在梯形ABCD在中，AB∥CD，AC＝BC，且 AC⊥BC，AB＝BD，AC、BD交于点E，

求证：ΔADE为等腰三角形．

4、在梯形ABCD在中，AD∥BC，∠B＝30， ∠C＝60，点E、M、F、N分别是AB、BC、CD、 DA的中点，已知BC＝7，MN = 3，求EF.

00A B

F

E

C D C E A D E C N M A D B

F B 05、在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC与BD交于点O，∠ACD＝60，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点，(1) 求证：ΔPQS是等边三角形；(2) 若AB＝5，CD＝3，求ΔPQS的周长.

6、在梯形ABCD中, AD∥BC（BC＞AD）, ∠D＝90, BC?CD?12,?ABE?45,若AE =10，求CE的长．

答案提示

1、多边形的所有外角之和为360?，故外角中的钝角的个数不能超过3个，从而知，内角中的锐角最多不能超过3个，选C．

2、过点A、C、E分别作BC、ED、FA的平行线，交于点O、P、Q，证ΔOPQ为等边三角形，得六边形的六个角都等于120．

3、过C、D作AB的垂线，易得∠ABD＝30，可得∠ADB＝∠AED＝75，

4、延长CD和BA，交于G，则∠BGC＝90，连GM，则点G、M、N三点成一直线，GN＝3.5，故GM＝0.5，从而AD＝1，EF＝4。

5、由条件易见，ΔOCD和ΔOAB是等边三角形，(1)连结CS，则CS⊥BD，在RtΔBCS

000000 48

中,SQ＝

1111BC，同理，PQ＝BC，又SP＝AD＝BC，∴SQ＝PQ＝SP，ΔPQS是等边三角2222形.(2)AC＝8，作CE⊥AB于E，则CE＝43，BC?CE2?BE2＝7，故SQ＝3.5，ΔPQS的周长为10.5

6、延长DA至M，使BM⊥BE，过B作BG⊥AM于G，易知四边形BCDG为正方形，所以BC＝BG，又∠CBE＝∠GBM，∴RtΔBEC≌RtΔBMG，∴BM＝BE，∠ABE＝∠ABM＝45，

E ∴ΔABE≌ΔABM，AM＝AE＝10，设CE＝x，则AG＝10－x，AD＝12―（10―x）＝2－x，在RtΔADE中，

C B

0D A

G M AE2?AD2?DE2，

∴100?(x?2)2?(12?x)2，即 x?10x?24?0，解得x1?4，x2?6．

226、面积问题

例题讲解

例1 在ΔABC中, D是边BC上的一点, 已知AC?5,

A H B D

C

AD?6，BD?10，CD?5，求ΔABC的面积。

解：过D作CH⊥AD于H, 因为ΔACD是等腰三角形, 所以, 在RtΔCHD中, CD＝5, DH＝3, 则CH＝4, 有S?ACD?12，

S?ABD?2S?ACD?24．S?ABC?S?ABD?S?ACD?36

例2 已知，E、F分别是矩形ABCD的边BC和CD上一点，若ΔCEF，ΔABE，ΔADF的面积分别为3，4，5，求ΔAEF的面积。

解：连结AC，设ΔAEC，ΔCAF的面积分别为

B E

F C A D x,y，则x?4?y?5即x?y?1，因为

x?4BC? xECyADx?4y??，解得 x?6,y?5， AD = BC所以3ECx3所以S?AEF?x?y?3?8．

例3 在ΔABC中 已知BD和CE分别是AC、 AB上的中线 并

E

49

A D

B C

且BD⊥CE ，BD = 4 ,CE =6, 求ΔABC的面积。

解: 连DE, 则S四边形BCDE?有, S?ABC?1BD?CE?12, DE是中位线， 244S四边形BCDE??12?16 33例4 设点EFGH分别在面积而1的四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上, 且

AEBFCGDH????k(k是正数), 求四边形EFGH的面积. EBFCGDHA解：连结AC，过点G作GP∥AC 交DH于点P，有

D P H A B

G C F

DPDGCGDH???k， ， 由已知 DADCGDHADHkDPDG1???则 ， 于是有 DAk?1DADCk?1从而

S?DHGDH??k, 又由于ΔDPG∽ΔDAC，

S?DPGDPE

有

S?DPGS?DHGk1k，故 ，因此，S?S?DAC ???DHG222S?DAC(k?1)S?DAC(k?1)(k?1)kS?BAC，两式相加，得 2(k?1)kkk (S?S)?S??DAC?BACABCD(k?1)2(k?1)2(k?1)2k， 2(k?1)2kk2?1 ?S?DHG)?1??22(k?1)(k?1)同理 S?BEF?S?DHG?S?BEF?连结BD，同理可证S?AEH?S?CFG?∴SEFGH?SABCD?(S?AEH?S?BEF?S?CFG思考练习

1、ΔABC的周长是24, M是AB的中点, MC＝MA＝5, 求ΔABC的面积．

2、在梯形ABCD中, AB∥CD, AB = 8, BC =62, ?BCD?45, ?BAD?120, 求梯形ABCD的面积．

3、已知一个梯形的四条边的长分别是1、2、3、4, 求此梯形的面积．

4、在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，DF ：FC = 1 ：1，CE ：EB = 2 ：1，若ΔADF的面积为m， 四边形AECF的面积为n，（n＞m）求四边形ABCD的面积．

5、已知正方形ABCD的面积为35， E、F分别为边AB、BC上的点，AF、CE相交于G，

00 50

并且ΔABF的面积为5，ΔBCE的面积为14，求四边形BEGF的面积．

6、点E、F分别是矩形ABCD的边AB与BC的中点，连AF、CE，交于点G，求四边形AGCD与矩形ABCD的面积比．

7、在ΔABC中, DE∥AB∥FG, 且FG到DE、AB的距离之比为1: 2. 若ΔABC的面积为32, ΔCDE的面积为2, 则ΔCFG的面积等于( ) (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12

答案提示

1、由MC＝MA＝MB＝5知?ABC?90，又由ΔABC的周长是24, 且斜边AB＝10, 故BC＋CA＝14, 且BC?CA?10, ∴2BC?CA?(BC?CA)2?(BC?CA)2

2220?142?102?24，故S?ABC?24．

2、A、B分别作AE⊥CD于E, BF⊥CD于F , 在RtΔBFC中, BC =62, ?BCD?45, 则BF = FC = 6. 在RtΔAED中,AE = 6, ?DAE?30, 则DE?23, 所以CD = 14?23, 故S梯形ABCD?001(8?14?23)?6?663. 23、以1、2、3、4为边作梯形, 按底边分类有六种可能: (1)以1、2为底; (2) 以1、3为底; (3) 以1、4为底; (4) 以2、3为底; (5) 以2、4为底; (6) 以3、4为底;易知,只有(3)才能构成梯形, 在

梯形ABCD中, AB＝3, BC＝4, CD＝2DA＝1, 过点A作AH⊥BC于H,作AE∥CD交BC于E, 则

11?AE?2ΔBAE为等腰三角形, 由BE?AH?S?ABE?AEAB???得

22?2? AH?222242102, 所以 S梯形ABCD?． 3?1?3334、连AC，则

S?ACFCFSBE1??1 ?ABE??, S?ACF?S?ADF?m S?ADFDFS?CAECE211S?CAE??n?m? 22SCAE?S四边形AECF?S?CAF?n?m, S?ABE? S四边形ABCD?m?n?1?n?m??1m?3n． 222D C 5、连结BG，记ΔAGE面积为a，ΔEGB面积为b，ΔBGF面

积为c，ΔFGC面积为d

G

51

F B

A E

BFS?ABF52?a?b?c?5BE4??? 同理? 则?BCS?ABC17BA5?b?c?d?14 ?352aAE1dFC515??，??，所以 a?b,d?c. bBE4cBF242

18??5b?b?c?5??12827，故 S?b?c? 代入得 ?4 解得?． BEGF710027?b?c?14?c?27?2?16、连结AC，则G是ΔABC的重心，所以 S?AGC?S?ABC

3因为

从而 S四边形AGCD??1???1?4?S?ABC?S?ABC 3?3D G A E

C F B

所以

S四边形AGCDS矩形ABCD4S?ABC2?3?. 2S?ABC37、选（B）∵

CD?CAS?CDEFD1FD121?，所以 ?， ??，又由题设知FA2AD3S?CAB3242S11131?1?FD?AD??AC?AC，故FD?DC，于是 ?CDE????， S?CFG?8．

S?CFG?2?43344

27、 比例线段

例题讲解

例1：在ΔABC中，BD＝DC，E为AB上任意一点，CE交AB于F， 求证：

A E

F B

D

M C

AF2AE?. FDBEAFAE?证明：过D作DM∥AB，交CE于M，则， FDDM1AF2AE?∵BD＝DC，∴CM＝ME，又DM＝BE， ∴

2FDBEAD?AB于E，连CE交AD于F，求△AFE的面积．

解：作FG⊥AB于G，则FG∥DE∥AC 于是

例2 直角三角形ABC的面积为120，且?BAC?90?，AD是斜边上的中线，过点D作

FGEGFGFGAG? ， ??1ACAEDEAEAC252

C

D

F A

B E G

两式相加，得 所以 FG?故S?AFE?3FGAG?EGAE???1, ACAEAE1AC 31111AE?FG??AB?AC?20 2223A

E D F 思考练习

1、 梯形ABCD中，AB∥DC，E是DC的 中点，直线BE交AC于F，交AD的延长线于G， 求证：EF?BG?BF?EG

2、在正方形ABCD中，A、E、F、G在同一 直线上，并且AE = 5cm，EF = 3cm，求FG的长。

3、工地上竖立着两根电线杆AB、CD, 它们相距15cm, 分别自两杆高出地面4m, 6m,的A、C处, 向两侧地面上的E和D, B和F点处, 用钢丝绳拉紧, 以固定电线杆, 那么钢丝绳AD和BC的交点P离地面的高度是多少。

4、在RtΔABC中，两条直角边AB、AC的长分别为1cm、2cm，那么，直角的角平分线的长度等于多少。

C

A P D

F

E

A B D

C

B G C

E B

5、设ΔABC的面积为1，D是边AB上一点，且边形DECB的面积为

答案提示 1、∵AB∥DC，∴

AD1?，若在边AC上取一点E，使四AB33CE，求的值． 4EAEFECEDEG???， BFABABBGAEEG16AE225??2、由条件得， EG?， FG?EG?EF? EFAE3EF33、作PQ⊥EF于Q, 设BQ = x , QD = y, PQ = h,由AB∥PQ∥CD, 得

5hhyhx?1, 则h = 2.4m, 即点P离地面高度为2.4m. ?，?两式加, 得124x?y6x?y4、过B作BE∥DA交CA延长线于E，则∠EBA＝∠BAD＝45，得BE=2

53

0ADAC22231??， 故 AD?EB?2． 5、连结BE，S?ADE?1??，EBCE33344CE1?x11CE1?x，则S?ABE?1?x，S?ADE??，x?，? 设AC344EA3由

28、相似三角形

例题讲解

例1 已知D是ΔABC的BC边上一点，且∠ACD＝∠B，求证：AC?AD?AB 证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，

∴ΔACD∽ΔABC，

∴

C 2ACAD?， ABAC2A

∴AC?AD?AB.

0D

B

例2 在ΔABC中，∠ABC＝60，点P是ΔABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，求PB的长.

解: ∠APB＝∠BPC＝∠CPA?120， ∠PAB＝60－∠PBA＝∠PBC，∴ΔPAB∽ΔPBC 从而

00A PAPB? 即PB?PA?PC?43 PBPCB

C

思考练习

1、在ΔABC中，D是边AC上一点, 下列四种情况 中, 不能使ΔABD ∽ ΔACB成立的情况是（ ）

2(A)AD?BC?AB?BD (B)AB?AD?AC

F

E

A

C

(C) ?ABD??ACB (D)AB?BC?AC?BD

2、已知直角ΔABC（AC＞BC）的斜边AB的中点为D过D作AB的垂线交AC于E，交BC的延长线于F，连结DC， 求证：DC?DE?DF

3、如图, 若PA = PB, ∠APB =2∠ACB, AC与PB交于点D,且PB = 4, PD =3, 求AD?DC.

4、ΔABC的三边长为a、b、c, 且求证：∠B＝2∠A .

54

2D

B

P C D A

aa?b?, ba?b?cB

A

M

D N

T O

5、在正方形ABCD中, , N是DC的中点, M是AD上异 于D的点, 且∠NMB＝∠MBC, 求tan∠ABM

6、将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转

M

B/

N

600至AB'C'D'的位置，求这两个正方形重叠部分的面积．

答案提示

D C

A

D/

1、因为由(B)(C)都能得出ΔABD∽ΔACB, 因此可将(B)(C)排除掉.对于(A), 分别作BE⊥AC于E, DF⊥AB于F, 则DF = ADsinA, BE = ABsinA, 由AD?BC?AB?BD得

DF?BC?BE?BD，∴RtΔBDF ∽ RtΔCBE, ∴∠ABD＝∠ACB, ∴ΔABD ∽ ΔACB ，

故排除(A), 选(D).

3、延长BP到Q, 使PQ = PB = 4, 连AQ, ∵PQ= PB = PA, ∴∠APB =2∠AQD, ∠APB =2∠ACB，∴∠AQD =∠ACB，又∠ADQ = ∠BDC，ΔADQ∽ΔBDC,

ADDQ? ，故 AD?DC?BD?DQ?7. BDDCaa?bab4、由?得?延长CB到D, 使BD = AB = c, 则CD = a?c

ba?b?cba?cBCAC?在ΔABC和ΔDAC中, ， 又∠C公用, ∴ΔABC∽ΔDAC, ACEC从而得

从而∠BAC = ∠D = ∠BAD, ∴∠ABC = ∠D + ∠BAD = 2∠D = 2∠BAC.

5、延长MN交BC的延长线于T, 设MB的中点为O, 连结TO, 则ΔBAM∽ΔTOB. 所以

AMOB22?, 即 MB?2AM?BT, 在直角三角形BAM中, BM?4?(2?k) MBBT422又BT?2?k, 所以4?(2?k)?2(2?k)(2?k)，解得 k?, 从而 AM?,

33AM1?. 所以 tan?ABM?AB36、过B作MN∥AD，分别交CD、AB于M、N，设BC交CD于K，则

'''B'N?AB'sin600?331'，所以 BM?1?,AN?，又Rt?AB'K≌Rt?ADK，所以22255

?KAB'＝?KAD?150，AD?AB'.??ADB'??AB'D?750，则?MDB'?150

DKADAD?MB'?ADK∽?DMB，?,DK??2?3，S?2S?ADK?2?3. 'DMMBDM'

29、圆

例题讲练

例1 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上, 求满足条件∠BPC＝90的点P的个数.

解: 因为AB +CD = 1999 = AD, 所以梯形的中位线等于腰BC的一半, 故以BC为直径的圆与AD的一个交点恰为AD的中点, 即AD的中点对BC张成的角为直角. 又在AD上取点Q, 使AQ = AB, DQ = DC, 由ΔABQ和ΔDCQ都是等腰三角形, 知Q对BC成90角. 注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点, 可知所求的点数为2 .

例2 已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O, 对角线AC是直径, AC与BD相交于点P, AB = BD, 且PC = 0.6, 求四边形ABCD的周长.

解: 连结BO并延长交AD于H, 因为AB = BD, O是圆心, 所以BH⊥AD, 又因为∠ADC＝90, 所以BH∥CD, 从而

000B A O H D C

CDCPCD0.6?, ? 故 CD = 1 BOPO1.51.5?0.611于是 AD?AC2?CD2?9?1?22， 又OH?CD?

22ΔOPB∽ΔCPD，所以 AB?AH2?BH2?2?4?6

BC?AC2?AB2?9?6?3，四边形ABCD的周长为1?22?3?6.

例3 设ΔABC是直角三角形, 点D在斜边BC上, BD = 4DC, 已知圆过点C且与AC相交于F, 与AB相切于AB的中点G，求证: AD⊥BF.

证明: 过D作DE⊥AC于E, 则

A G

F E C D

55AE，AG?ED， 4252∵AG?AF?AC?AF?AE，

4AC?B

56

255ED2?AF?AE， 即5ED2?AF?AE 44 ∴AB?ED?AF?AE，故ΔBAF∽ΔAED ∠ABF＝∠DAE,

而∠EAD +∠DAB = 90，∴∠ABF +∠DAB = 900, 故 AD⊥BF.

例4 如图, 已知P是⊙O外一点, PS、PT是⊙O的两条切线, 过点P作⊙O的割线PAB,交⊙O于A、B两点, 与ST交于点C, 求证：

011?11????? PC2?PAPB?S P 证明：过P作PH⊥ST，则H是ST的中点，

A T C H

PC2?PH2?CH2?PS2?SH2?CH2

?PS2?(SH?CH)(SH?CH)?PS2?SC?CT

22又PC?PS?SC?CT?PA?PB?AC?CB

B

?PA?PB?(PC?PA)(PB?PC)?2PA?PB?(PA?PB)PC?PC2

∴(PA?PB)PC?2PA?PB, ∴

例5 圆O1与圆O2外切于点A,两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B, 若AB与两圆的另一条外公切线平行, 求圆O1与圆O2的半径之比.

解: 由AB∥CD, 且O1C⊥CD, ∴O1C⊥AB.

于是?CO1B??CO1A, 由对称性知?CO1A??BO1A，

从而 ?CO1B??CO1A??AO1B?120，∴?O2O1E?120?90?30， ∴O1O2?2O2E,即r1?r2?2(r2?r1)，∴r1:r2 = 1: 3

思考练习

1、点A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求ΔABC的面积.

57

000011?11????? PC2?PAPB?D

C O1 B

A O2

2、已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形, AB＝12, CD＝6, 分别延长AB和DC, 它们交于P, 且BP＝8, ∠APD＝60, 求R.

3、如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20 个点中选取的正多边形的个数有多少个.

4、在ΔABC中, ∠B = 36, ∠ACB = 128, ∠CAB的平分线交BC于M, ΔABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N, 求ΔANM的最小内角.

5、如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切，若AB = 4，BE = 5，求DE的长．

6、如图，设四边形ABCD的对角线AC、BD交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于E、F, 交BC延长线于点O, P是以O为圆心，OM为半径的圆上一点，

求证：∠OPF＝∠OEP.

7、圆内接六边形ABCDEF中，AB =CD = EF，且对角线AD、BE、CF相交于点Q，AD与CE的交点为P.

A D M E A F Q P E D B B C

F O P

A B D E C 000QDAC（1）求证：ED?EC

CPAC（2）求证：PE?CE2.

28、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P, 求点P到两圆外公切线的距离.

答案提示

1、 连结OB、OC，由BC∥OA，得S?OBC?S?ABC，由 OA=2，OB＝1，则?AOB?60，

0易得ΔOBC为等边三角形，?BOC?60，∴S?ABC?S扇OBC?01?S圆? 6602、由割线定理, 得 PB?PA?PC?PD 有8×20＝PC(PC＋6) 解得PC＝10. 连AC, 在ΔPAC中, 由PA＝2PC, ∠APC＝60,得∠PCA＝90, 从而AD是圆的直径,

0AC?PA2?PC2?103, AD?AC2?CD2?421,所以 R?3、由条件得∠CAM =∠MAB =

1AD?221 211800?360?1280?80, 从而∠AMC =440, 又AN2?? 58

00000为切线, 所以∠NAC = ∠B =36, ∠MAN = 44于是, ?N?108?44?44?92, 故Δ

00ANM的最小内角为44．

5、如图，易见ABCE是等腰梯形，AC?BE?5，又?BAC??ACD??ABC，

AC?BC?AD?5，DC?AB?4，由DC2?AD?DE，得DE?16． 5QDAC7、（1）由AB = CD = EF，得对应弧相等，在ΔQDE和ΔACE中，∠QDE＝∠BEC＋∠CED＝∠BEC＋∠AEB＝∠AEC， ∴∠QDE＝∠ACE，∴ΔQDE∽ΔACE，故ED?EC．

（2）易见DE∥CF，得ΔCPQ ∽ ΔEPD，∴

CPQC?，在ΔQDC和ΔDEQ中，∠QEDPEDE＝∠AEC＝∠CDQ， ∠DQE＝∠DQF－∠EQF＝∠QDC＋∠QCD－∠DEQ＝∠QCD，∴ΔQDC

CPQCQC?DEQD2AC2QDQC2????∽ΔDEQ， ∴， ∴QD?QC?DE，∴． ?PEDEDEQDDE2DE2CE28、解: 如图, MN为⊙O1与⊙O2的一条公切线, M, N为切点, PH⊥MN于H, O1M = O1P = 1 , O2N = O2P = 2 ,分别取

H K N O2P、NH的中点Q、K, 则QK⊥MN. 得PH?QK?

1?QK, 2M PH?24， 消去QK, 得PH?. 23O1P Q

O2 59

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