第四讲 一次函数

第四讲 一次函数(1)

一、一次函数的定义： 1、问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是y℃．试用解析式表示y?与x的关系．当登山队员由大本营向上登高0．5km时，他们所在位置气温就是多少：

这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同？它的图象又具备什么特征？我们这节课将学习这些问题． 2、导入新课：

我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示？它们又有什么共同特点？

（1） 有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t（℃）有关，即

C?的值约是t的7倍与35的差．

（2） 一种计算成年人标准体重G（kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h

减常数105，所得差是G的值．

（3） 某城市的市内电话的月收费额y（元）包括：月租费22元，拨打电话x

分的计时费（按0．01元／分收取）．

（4） 把一个长10cm，宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形面积y（cm2）

随x的值而变化．

这些问题的函数解析式分别为：

（1）C=7t-35． （2）G=h-105． （3）y=0．01x+22． （4）y=-5x+50．

它们的形式与y=-6x+15一样，函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和．

如果我们用b来表示这个常数的话．?这些函数形式就可以写成： y=kx+b（k≠0）

一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0?）的函数，?叫做一次函数（?linearfunction）．当b=0时，y=kx+b即y=kx．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数． 【练习】：

１．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？

?8 （1）y=-8x． （2）y=x．

（3）y=5x2+6． （3）y=-0．5x-1．

２．一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加２米． （1）一个小球速度v随时间t变化的函数关系．它是一次函数吗？

（2）求第2．5秒时小球的速度．

３．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（升）随行驶时间x（时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．y是x的一次函数吗？

二、一次函数的性质： 1、活动一

（1）画出函数y=-2x+1 y=-2x y=-2x-1的图象．（利用两点确定一条直线，利用函数关系式，找出两个点）

（2）比较上面三个函数的图象的相同点与不同点。

（3）结果：这三个函数的图象形状都是______,并且倾斜程度_______. 函数 y=-2x的图象经过原点,

函数 y=-2x+1 的图象与y轴交于点_______,即它可以看作由直线y=-2x 向___平移__个单位长度而得到.

函数 y=-2x-1 的图象与y轴交于点_______,即它可以看作由直线y=-2x 向___平移__个单位长度而得到.

（4） 结论： b决定直线y=kx+b与y轴交点的坐标（0，b）． 当b>0时，交点在原点上方． 当b=0时，交点即原点． 当b<0时，交点在原点下方．

2、画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.你会发现什么？

3、活动二

（1）画出函数y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1的图象．由它们联想：一次函数解析式y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中，k的正负对函数图象有什么影响？

（2）规律：

当k>0时，直线y=kx+b由左至右上升；当k<0时，直线y=kx+b由左至右下降． 一次函数图像的性质：

当k>0时，y随x增大而增大． 当k<0时，y随x增大而减小． y=kx+b （k?0） 决定图 决定与 像的上 y轴交 升或下 点的位 降 置

三、练习与作业

１．直线y=2x-3与x轴交点坐标为_______，与y轴交点坐标为_________，?图象经过第________象限，y随x增大而_________． ２．分别说出满足下列条件的一次函数的图象过哪几个象限？请画出它的大致图像

（1）k>0 b>0 （2）k>0 b<0 （3）k<0 b>0 （4）k<0 b<0

3．若函数y=mx-（4m-4）的图象过原点，则m=_______，此时函数是______?函数．若函数y=mx-（4m-4）的图象经过（1，3）点，则m=______，此时函数是______函数．

4．若一次函数y=（1-2m）x+3图象经过A（x1、y1）、B（x2、y2）两点．当x1?y2，则m的取值范围是什么？

第五讲 一次函数（2）

一、用待定系数法求一次函数的解析式：

1、已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式． ［分析]：求一次函数解析式，关键是求出k、b值．因为图象经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式．由此可列出关于k、b的二元一次方程组，解之可得． 解：设这个一次函数解析式为y=kx+b．

?3k?b?5? 因为y=k+b的图象过点（3，5）与（-4，-9），所以??4k?b??9 ?k?2? 解之，得?b??1

故这个一次函数解析式为y=2x-1。结论：

函数解析式 选取 满足条件的两定点 画出 一次函数的图象 y=kx+b 解出 （x1，y1）与（x1，y2） 选取 直线L

像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．

2、利用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤：

设解析式的一般形式 代入已知点的坐标 解出系数 回代到解析式中

3、练习：

（1）已知一次函数y=kx+2，当x=5时y的值为4，求k值． （2）已知直线y=kx+b经过点（9，0）和点（24，20），求k、b值．

（3）生物学家研究表明,某种蛇的长度y (CM)是其尾长x(CM)的一次函数,当蛇的尾长为6CM时, 蛇的长为45.5CM; 当蛇的尾长为14CM时, 蛇的长为105.5CM.当一条蛇的尾长为10 CM时,这条蛇的长度是多少?

（4）已知一个一次函数的图像经过点（-4，9），（6，3），求这个函数的解析式 （5）已知一次函数y=3x-b的图象经过点P(1,1),则该函数图象必经过点( )

A.(-1,1) B.(2,2) C.(-2,2) D.(2,-2)

（6）若一次函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，求 b的值． （7）点M（-2，k）在直线y=2x+1上，求点M到x轴的距离d为多少?

人教实验版八年级数学（上）评价性试题

§11.2一次函数

班级 姓名 号次

一. 填空（每题4分，共32分）

1． 已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是 . 2． 已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k= . 3． 一次函数y= -2x+4的图象与x轴交点坐标是 ，与y轴交点坐标是 图象与坐标轴所围成的三角形面积是 .

1

4． 下列三个函数y= -2x, y= - x, y=(2 - 3 )x共同点是（1） ;

4（2） ;（3） .

5． 某种储蓄的月利率为0.15%，现存入1000元，则本息和y（元）与所存月数x之间

的函数关系式是 .

6.写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可） . （1）y随着x的增大而减小。 （2）图象经过点（1，-3）

7.某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如下表 质量x（千克） 售价y（元） 1 3.60+0.20 2 7.20+0.20 3 10.80+0.20 4 14.40+0.2 …… …… 由上表得y与x之间的关系式是 . 8在计算器上按照下面的程序进行操作：

下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果：

上面操作程序中所按的第三个键和第四个

x y -2 -5 -1 -2 0 1 1 4 2 7 3 10 键

应是 .

二．选择题（每题4分，共32分）

1-12

9．下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y= (4)y=2-3x (5)y=x-1中，是一

x次函数的有（ ）

（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个

1

10．已知点（-4，y1），（2，y2）都在直线y=- x+2上，则y1 y2大小关系是( )

2（A）y1 >y2 （B）y1 =y2 （C）y1

11.一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n(厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是( )

h（厘米） h（厘米） h（厘米）

h（厘米） 20 20 20 20 4 4 t（小时）4 4 t（小时）t（小时）

(A) (B) （C） （D）

y 12.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k,b的符号是( )

(A)k>0,b>0 (B)k>0,b<0

x

(C)k<0,b>0 (D)k<0,b<0

13.弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x(kg)的关系是一次函数,图象 如右图所示,则弹簧不挂物体时的长度是( ) 20 (A)9cm (B)10cm (C)10.5cm (D)11cm

12．5

14.若把一次函数y=2x－3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式是x（cm）

5 20 ( )

(A) y=2x (B) y=2x－6 （C） y=5x－3 （D）y=－x－3

15．下面函数图象不经过第二象限的为 （ ）

(A) y=3x+2 (B) y=3x－2 (C) y=－3x+2 (D) y=－3x－2

三．解答题(第19~23题,每题6分,第24,25题,每题8分,共36分)

1

17.在同一坐标系中,作出函数y= -2x与y= x+1的图象. 2

18.已知函数y=(2m+1)x+m -3

(1)若函数图象经过原点,求m的值

(2) 若函数图象在y轴的截距为－2，求m的值 （3）若函数的图象平行直线y=3x –3，求m的值

（4）若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取值范围.

19.如图是某出租车单程收费y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系图象,根据图象回答下列问题 (1)当行驶8千米时,收费应为 元

(2)从图象上你能获得哪些信息?(请写出2条)

① ② (3)求出收费y(元)与行使x(千米)(x≥3)之间的函数关系式

20.为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控手段达到节约用水的目的,某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水量不超过6立方米时,水费按每立方米a元收费,超过6立方米时,不超过的部分每立方米仍按a元收费,超过的部分每立方米按c元收费,该市某户今年9、10月份的用水量和所交水费如下表所示: 设某户每月用水量x(立方米),应交水费y(元) 月份 用水量收费(元) (1) 求a,c的值 (m3) (2) 当x≤6,x≥6时,分别写出y于x的函数9 5 7.5 关系式 10 9 27 (3) 若该户11月份用水量为8立方米,求该

户11月份水费是多少元?

21.一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题. (1)农民自带的零钱是多少?

(2)试求降价前y与x之间的关系式

(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?

(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?

答案：

1 y= —2x 2、3 3、（2，0） （0，4） 4 4、都是正比例函数，都是经过二、四象限的直线，y随x的增大而减少。 5 、 y=1000+1.5x 7 y=0.2+3.60x 8、+1 二、BADDB ABA

三、18、（1）3，（2）1 （3）1 （4）m?1 19、（1）10 (2) 略（3）y=1.2x+1.4 220、（1）a=1.8 c=5.4(2)当x≤6时,y=1.8x; 当x≥6时,y=5.4x－21.6 (3) 21.6元 21、(1)5元 (2)y=0.5x+5 (3) 0.5元/㎏,(4)40㎏

二、一次函数的应用：

1．学校组织学生到距离学校6km的海洋科技馆参观，小亮因有事没能乘上学校的包车，?于是他准备在学校门口乘出租车去．?出租车的收费标准是：?行驶里程不超过3km，收费8元；超过3km，每增加1km，加收1．8元． （1）写出出租车行驶里程数x（x>3）与费用y（元）之间的关系式．

（2）小亮只有14元钱，他乘出租车到海洋科技馆，车费够不够？

2．一台拖拉机工作时，每小时耗油6L，已知油箱中有油40L． （1）设拖拉机的工作时间为t（h），油箱中的剩余油量为QL，求出Q（L）与t（h）? 之间的函数关系式．

（2）当油箱内剩余油10L时，这台拖拉机已工作了几小时？

探究应用拓展性训练

1．（学科内综合题）已知等腰三角形ABC的周长为10cm，底边BC的长为ycm，腰AB的长为xcm，试求y与x之间的函数关系式，并求x的取值范围．

2．（学科内综合题）已知一次函数y=（m-2）x+m2-6的图像与y轴相交，交点的纵坐标是-2，求m的值． 3．（2004年宁夏卷）某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，?油箱中的余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，如图所示． （1）求y与x的函数解析式．

（2）一箱油可供拖位机工作几小时？

4．（2004年哈尔滨卷）小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（km）与所用的时间x（h）之间关系的函数图像．

（1）根据图像回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？ （2）求小明出发2．5h离家多远． （3）求小明出发多长时间距家12km．

第六讲 用函数观点看方程（组）与不等式（1）

一、回顾：

一次函数：一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0?）的函数是一次函数，当

b=0时，y=kx+b变成正比例函数y=kx． 一元一次方程：一般的，凡能化为形如ax+b=0（a≠0）的整式方程都是一元一

次方程

一元一次不等式：一般的，凡能化为形如ax+b>0或ax+b<0（a≠0，k、b为常数）

的整式不等式都是一元一次不等式

二元一次方程：凡能化作形如ax+by=c（a、b≠0，a、b、c为常数）的整式方程

都是二元一次方程。

∵b≠0

ac∴原方程可化为：y??x?

bb由此可知，每一个二元一次方程都对应一个一次函数

?a1x?b1y?c1二元一次方程组：形如?（a1b2?a2b1）

ax?by?c22?2次方程组

二、一次函数与一元一次方程：

１．方程2x+20=0 ２．函数y=2x+20

观察思考：二者之间有什么联系？ 从数上看：

方程2x+20=0的解，是函数y=2x+20的值为0时，对应自变量的值 从形上看：函数y=2x+20与x轴交点的横坐标即为方程2x+20=0的解

［关系]：

由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．

3、例1：一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？

（用两种方法求解）

［解法一]：设再过x秒物体速度为17m/s． 由题意可知：2x+5=17

解之得：x=6．

［解法二]：速度y（m/s）是时间x（s）的函数， 关系式为：y=2x+5．

当函数值为17时，对应的自变量x值可通过 解方程2x+5=17得到x=6

［解法三]：由2x+5=17可变形得到： 2x-12=0．

从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为（6，0）．得x=6．

4、例2：利用图象求方程6x-3=x+2的解 ，并检验 ［解法一]：

由图可知直线y=5x-5与x轴交点为（1，0）， 故可得x=1

我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等，?即可从两个函数图象上看出，直线y=6x-3与y=x+2的交点，?交点的横坐标即是方程的解．

［解法二]：

由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点（1，3）， 所以x=1

5、总结： 丛数的角度看

求ax+b=0（a≠0）的解 当x为何值时，y=ax+b（a≠0）的值为0 从形的角度看

求ax+b=0（a≠0）的解 确定直线y=ax+b（a≠0）与x轴交点横坐标的值 三、一次函数与一元一次不等式：

2、总结：

求ax+b>0（<0）的解 当x为何解时y=ax+b（a≠0）的值大于0（小于0）

形

数

确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上方（下方）的x的取值范围

练习：

当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=3x+8的值满足下列条件 （1）y=0 （2）y=-7 （3）y>0 （4）y<2

作业

一、选择题

1．如图1，直线y=kx+b与x轴交于点A（-4，0），则当y>0时，x的取值范围是（ ? ） A．x>-4 B．x>0 C．x<-4 D．x<0

（1） （2）

2．已知一次函数y=kx+b的图像，如图2所示，当x<0时，y的取值范围是（ ?） A．y>0 B．y<0 C．-2

3．已知y1=x-5，y2=2x+1．当y1>y2时，x的取值范围是（ ）． A．x>5 B．x<4．函数y=

1 C．x<-6 D．x>-6 21x-3与x轴交点的横坐标为（ ）． 2 A．-3 B．6 C．3 D．-6

5．对于函数y=-x+4，当x>-2时，y的取值范围是（ ）． A．y<4 B．y>4 C．y>6 D．y<6 二、填空题 1．对于一次函数y=2x+4，当______时，2x+4>?0；?当________?时，?2x+?4

2．已知y1=2x-5，y2=-2x+3，当_______时，y1≤y2． 3．已知关系x的方程ax-5=7的解为x=1，则一次函数y=ax-12与x?轴交点的坐标为________． 4．已知2x-y=0，且x-5>y，则x的取值范围是________． 5．关于x的方程3x+3a=2的解是正数，则a________． 三、解答题

1．已知y1=-x+2，y2=3x+4．

（1）当x分别取何值时，y1=y2，y1y2？

（2）在同一坐标系中，分别作出这两个函数的图像，请你说说（1）中的解集与函数图像之间的关系． ☆我能选

1．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（ ） A．x>1 B．x≥1 C．x<1 D．x≤1 2．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k<0?的解集是（ ） A．x>-2 B．x≥-2 C．x<-2 D．x≤-2 3．已知关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x轴的交点是（ ）

A．（0，1） B．（-1，0） C．（0，-1） D．（1，0） ☆我能填

4．当自变量x的值满足____________时，直线y=-x+2上的点在x轴下方． 5．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2?的解集是________． 6．直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，则不等式-3x+9>12?的解集是________． 7．已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，则直线y=-kx+2与x?轴的交点是__________． 8．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3?的交点坐标是_________．

第七讲 用函数观点看方程（组）与不等式（2）

一、一次函数与二元一次方程（组）

我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法，比如可以用代人法，也可以用加减法．我们如何用函数的观点去看待方程组的解呢?

首先，任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合．比如

?3x?5y?838???y??x????55 ①

2x?5y?1???y?2x?1?对于①，根据方程组解的意义和函数的观点，就是求当x取什么数值时，两个—次函数的y值相等?它反映在图象上，即

38求直线y??x?和直线y?2x?1的交点坐标.

55（七年级下学期学习二元一次方程组时，有一个数学活动，就谈到了，求方程组的解就是求两条直线的交点坐标．）

1．根据下列图象，你能说出哪些方程组的解?这些解是什么? （1） y y?2x?1 1 x

1 38O y??x?

55 （2） y y?x?3 1 ?2 O x 1y??x

（3） y y??x?4 O ?4 解：（略）

2.利用函数解方程组：

y?2x?4 3x

?2x?y?0 ??3x?2y?7解：由2x?y?0可得y?2x

37由3x?2y?7可得y??x?

2237在同一直角坐标系内作出一次函数y?2x的图象l1和y??x?的图象l2,

22如下图所示。

（建议课前作好图象，节省课内时间）

观察下图，得l1和l2的交点为（1，2）

y l1 2 x

1 O l2 ?2x?y?0?x?1所以方程组?的解为?

?3x?2y?7?y?23.求直线y?3x?9与直线y?2x?7的交点坐标。你有哪些方法?；与同伴交流，并一起分析各种方法的利弊．

解法思路l：画出图象找出交点，确定交点坐标近似值．(由于两直线斜率接近，交点的确定，因作图误差可能有较大差别)

解法思路2：由解方程组，得到交点坐标．(把形的问题归结为数的解决，便捷准确)

(解答过程略) （1）对应关系

二元一次方程组的解 ?

两个一次函数图的交点坐标

（2）图象法解方程组的步骤：

①将方程组中各方程化为)y?ax?b的形式； ②画出各个一次函数的图象； ③由交点坐标得出方程组的解．

小结与作业

(1)利用函数图象解方程组

?x?y?1?3x?2y?5 ? ? ?2x?y?5?2x?y?1 (2)已知直线y?2x?k与直线y?kx?2的交点横坐标为2，求k的值和交点纵坐标．

一、选择题

1．图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组( )的解． A．??x?y?1?x?y??1 B. ?

?2x?y??1?2x?y?1?x?y?3?x?y??3 C．? D. ?

2x?y?12x?y??1??x化为y=kx+b的形式，正确的是( ) 3111111 A．y=x+1 B．y=x+ C．y=x+1 D．y=x+

364634x3．若直线y=+n与y=mx-1相交于点(1，-2)，则( )．

215153 A．m=，n=- B．m=，n=-1； C．m=-1，n=- D．m=-3，n=-

222222．把方程x+1=4y+

5．在y=kx+b中，当x=1时y=2；当x=2时y=4，则k，b的值是( )． A．??k?0?k?2?k?3?k?0 B. ? C．? D. ?

?b?0?b?0?b?1?b?26．直线kx-3y=8，2x+5y=-4交点的纵坐标为0，则k的值为( )

A．4 B．-4 C．2 D．-2 二、填空题

1．点(2，3)在一次函数y=2x-1的________；x=2，y=3是方程2x-y=1的_______．

4?x?,?x?y?3,?x??32．已知? 是方程组?的解，那么一次函数y=3-x和y=+1的交点是x52y??1?y???2?3?________．

3．一次函数y=3x+7的图像与y轴的交点在二元一次方程-?2x+?by=?18?上，?则b=_________．

4．已知关系x，y的二元一次方程3ax+2by=0和5ax-3by=19化成的两个一次函数的图像的交点坐标为(1，-1)，则a=_______，b=________． 三、解答题

1．若直线y=ax+7经过一次函数y=4-3x和y=2x-1的交点，求a的值．

3．如图所示，求两直线的解析式及图像的交点坐标．

探究应用拓展性训练

1．(学科内综合题)在直角坐标系中，直线L1经过点(2，3)和(-1，-3)，直线L2经过原点，且与直线L1交于点(-2，a)． (1)求a的值．

(2)(-2，a)可看成怎样的二元一次方程组的解?

(3)设交点为P，直线L1与y轴交于点A，你能求出△APO的面积吗?

2．(探究题)已知两条直线a1x+b1y=c1和a2x+b2y=c2，当

?a1x?b1y?c1,a1b1≠时，方程组? a2b2?a2x?b2y?c2,有唯一解??这两条直线相交?你知道当a1，a2，b1，b2，c1，c2分别满足什么条件时，方程组

?a1x?b1y?c1,无解?无数多组解?这时对应的两条直线的位置关系是怎样的? ?ax?by?c,?222

3．(2004年福州卷)如图，L1，L2?分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费，单位：元)与照明时间x(h)的函数图像，假设两种灯的使用寿命都是2000h，照明效果一样．

(1)根据图像分别求出L1，L2的函数关系式． (2)当照明时间为多少时，两种灯的费用相等?

(3)小亮房间计划照明2500h，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法(直接给出答案，不必写出解答过程)．

第八讲 全等三角形

一、全等形

1、能够完全重合的两个图形叫做全等形

2、性质及判定：形状、大小相同的图形 全等形 二、全等三角形

1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

B C E

F

A D “全等”用?表示，读作“全等于”

两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如?ABC和?DEF全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作?ABC??DEF或?DEF??ABC 2、思考：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等（全等变换）。

3、把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角

思考：如上图13.1-1?ABC??DEF，对应边有什么关系？对应角呢？ 4、全等三角形性质：

（1）全等三角形的对应边相等； （2）全等三角形的对应角相等。

（3）全等三角形的面积相等、周长相等（但面积相等、周长相等的三角形不一定全等） 5、（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角

BCAoOADBDCACDBCDA

（2）将?ABC沿直线BC平移，得到?DEF，说出你得到的结论，说明理由？

ADBBECF

（3）如图?ABE??ACD,AB与AC，AD与AE是对应边，已知?A?43?,?B?30?，求?ADC的大小。

ADEBC

6、对边与对应边、对角与对应角的区别

（1）只有同一个三角形中的边与角才有对边、对角关系，只有相对的位置关系没有数量关系

B C

A 即边 角

对

对

（2）有两个三角形中才有对应边、对应角的关系，他们是分别相等的，能互相重合的，既有位置关系，又有数量关系。

B C E

F

A D 三、三角形全等的条件

1、定义法：能完全重合的两个三角形是全等三角形（这方法不好用，一般不用） 2、图形变换法：凡经过平移、对称或旋转变换后的三角形都和原三角形全等 3、常用的判定法一

（1） 先任意画出一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把画好

的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?

（2） 三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”，记作“SSS”，用这

个结论可以用来判定两个三角形全等，即证明三角形全等。

4、例题

（1）如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．

ABDC

（2）如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试．

ABDC

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