如何夯实高一数学基础_4

如何夯实高一数学基础

苏州工业园区星海实验中学 顾日新

“夯实高一数学基础是学好高中数学，决胜高考的一把利剑”这一点是毋庸置疑的。

一、数学基础的内涵

无论是各省、市、自治区制定的《课程标准》，还是国家出台的《基础教育课程改革纲要》，都是把教学内容中基础知识、基本技能的简称为“双基”。

由于数学学科自身的特点，教学内容除基础知识和基本技能之外，还包括数学思想方法。所以，我们不妨把

数学基础知识、基本技能及基本数学思想方法简称为“三基”，这也就是数学基础的内涵。 夯实基础并不是只讲简单的问题，不讲复杂的问题（基础和简单不能划等号），很多重要知识点的考察是有一定深度的，学习时更应该作为重要的基础加以重视。

不妨以必修1第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ为例。 基础知识（33个）： 2.1 函数的概念和图像

2.1.1 函数的概念和图像：1函数的概念；2定义域；3值域；4图像。

函数概念的引入一般有两种方法，一种方法是先学习映射，再学习函数；另一种方法是通过具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，即函数。考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，建议采用后一种方式，从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解。像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用。

3．在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。

2.1.2 函数的表示方法：5表示方法；6分段函数。

2.1.3 函数的简单性质：7单调性（单调函数、单调区间）；8最值；9奇偶性。 2.1.4 映射的概念：10映射的概念。 2.2 指数函数

2.2.1分数指数幂：11 n次实数方根；12根式；13分数指数幂的意义；14分数指数幂的运算性质。 2.2.2指数函数：15指数函数的概念；16指数函数的图像；17指数函数的性质；18函数图像的平移。

2.3 对数函数

2.3.1对数：19对数的概念；20常用对数与自然对数；21对数的运算性质；22换底公式。

2.3.2对数函数：23对数函数的概念；24对数函数的图像；25对数函数的性质；26互为反函数的函数图象间的关系。

反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，例如，可通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y=ax和对数函数y=loga x互为反函数（a > 0,a≠1）。不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。

2.4 幂函数：27幂函数的概念；28常见幂函数的图像；29幂函数的性质。 2.5 函数与方程

2.5.1函数的零点：30零点的概念；31零点定理。 2.5.2用二分法求方程的近似解：32二分法的概念。

应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题（几何画板）。

2.6 函数模型及其应用： 33解决实际问题的程序。 基本技能：

运算技能、图形处理技能（识图技能、作图技能）、推理技能（演绎推理、归纳推理和类比推理）、数据处理技能（数据处理技能随着概率和统计内容进入中小学数学课堂，数据处理也逐步成为数学技能的重要内容之一．数据处理技能主要是指从复杂的数据信息的背后探寻数据规律的技能，主要包括明确收集数据、整理数据、分析数据的过程和方法(如运用各种集中量数解释分析数据的特点、运用统计图表反映数据规律等)、数学交流技能（表达数学、谈论数学的技能）和运用信息技术的技能． 数学交流技能数学技能还应该包括数学交流的成分．数学交流技能包括表达数学、谈论数学的技能．会表达是与人交流的前提，数学表达包括两个方面：书面表达和口头表达．数学表达技能是指能够运用数学科学的语言，书面表达某些具体对象的含义、特征和关系等。同时也能够运用生活中的语言阐述数学的思想和意义等．从学习的角度讲，数学交流可以帮助学生在非正式的、直觉的生活语言与抽象的数学符号语言之问建立起联系，还可以帮助学生把实物的、图画的、符号的、口头的表述与心智描绘的数学概念联系起来．这样一来，就有助于发展和深化学生对数学的理解，丰富其数学活动经验．。 运用信息技术的技能这种技能包括以下几个方面：①计算器、计算机的操作，运用工具辅助其它技能的实现，如计算、数据处理等；②某些学习软件的使用，如计算机学习系统的操作、运用软件作图等；③算法向计算机程序的转化，即计算机程序语言与数学语言的转化．

数学思想方法：（常见的四大思想）函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合。

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学四大思想为：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合

二、高一数学基础不牢的原因

俗话说“基础不牢，地动山摇”，数学基础打得牢与不牢，是影响学生成绩好与坏的重要因素。那么，造成高一数学基础不牢的“罪魁祸首”是谁？我认为，初、高中数学学习的四点差异“嫌疑”最大。

1.环境与心理的差异

对高一新生来讲，各方面都是全新的，新环境、新同学、新教师、新教材、新集体等等，学生要有一个由陌生到熟悉的适应过程。另外，经过紧张的中考复习，考取了自己理想的高中，使有些学生产生了松口气想法，入学后紧迫感减弱了，甚至拿初中的学习经历来类比高中的学习，认为只要最后一年努力一把就OK了。也有些学生有着强烈的畏惧心理，他们在入学前，就耳闻高中数学很难学，高中数学课一开始也的确不那么友好，如必修1的集合、基本初等函数（抽象定义以及多种函数的出现），这些知识艰涩、抽象，与初中所学联系不紧密，理解起来难度较大，不像初中那样，记下概念、公式、法则、定理，基本上就能解决问题，这就使他们从开始就处于相当被动的局面，再加上高中数学的确实难度较大，题型变化多端，思维含量大，解法发散等等，这些因素都严重影响着高一新生进一步学习高中数学热情和主动性。

2.教材的差异

初中数学教材内容从表述上通俗具体，并且内容经常重复出现，题型较单一，量少而简单，通常研究的数量关系以常量为主，变量较少，多数侧重于定量计算；而高中数学内容抽象，譬如，刚接触必修1，抽象的集合语言、函数语言就扑面而来，学生的抽象思维能力水平还跟不上；教材概念多、符号多、定义严格，论证要求又高，问题研究多变量、字母研究；不但注重定量计算，而且计算的技巧性强（现在的高中学生计算能力都很一般），还注重理论分析，常常需要作定性的研究和分析说明。从心理学角度来说，高中教材能同化的内容很少，绝大部分要经历顺应的过程。

3.课时与课容的差异

在初中，由于科目少，内容少，知识点少，题型简单，课时较充足。因此，上课容量小，进度慢，对重点、难点内容均有足够的时间反复强化、反复训练，对各类习题的解法，教师有时间进行举例示范，并在课堂上学生也有足够时间进行巩固练习。而到高中，情况就不一样了，这里我们要先普及一些课程设臵方面的知识，按照省厅文件，高中每个学期分为两个学段，每段10周，其中9周授课，1周复习考试（9+1模式）。每周安排的课程修习时间不得超过35学时（全天8节课，课表只能排7节正课，另外一节算自习课），每节课教学时间为45分钟。高中数学必修5个模块，每个模块通常为36学时，相当于2学分。我们做一个除法，36除以9等于4，也就是每一个周要上4节新课，高一数学每周一般安排5个课时，这就意味着，即就是按照教学参考书上的课时安排来上课，每周也只有一节课可以用来复习，用来评讲作业。

另外，由于科目增加（9门功课，高二上学期面临学业水平测试）、知识点增多、灵活性加大，课容量增大，进度加快，对重点、难点内容没有更多的时间巩固强化，对各类型题目也不可能讲全讲细，这也使得高一新生一开始就不太适应高中快节奏的学习。

4.教法与学法的差异

在初中，教师讲得细，类型归纳得全，练得多，练得熟，举三反一。考试时，学生只要记准概念、公式、法则、公理、定理以及教师所讲例题类型，对号入座就可以取得好成绩。因此，学生习惯了围着

教师转，不善于独立思考，不善于对规律的归纳总结，也就是初中学生学习数学对老师的依赖性较强。到了高中，由于内容多，时间少，教师不可能把知识应用形式和题型讲全讲细，只能选讲一些具有典型性的问题，以落实三基，培养能力。因此，高中数学学习要求学生要勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数学方法，领会数学思想，做到举一反三，触类旁通。

三、夯实高一数学基础的几点建议

1．注重衔接，弥补不足

初、高中数学的衔接主要是指学习内容的衔接（学法的衔接下文会专门探 讨），比如说：

? 绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用； ? 立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用； 因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等； ? 二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常

用的解题技巧；

? 初中教材对二次函数的要求较低。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、

求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；

? 图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领； ? 含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中

出现，是高考常考的综合题型之一；

? 几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定

理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。而高中有时也会碰到。

? 另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等初中大大淡化，甚至老师根本没

有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。

我们的做法：一般会利用7月初和9月开学之后对学生进行衔接内容的教学，一般课时安排12到15课时。当然，也可以把衔接内容穿插在平常的教学过程中。

比方说，讲完交集、并集之后穿插一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法。单调性之后穿插立方和与差的公式；最值后面穿插含参二次函数在闭区间上的最值问题；指数函数之后穿插图像的变换；幂函数之后穿插双曲函数（也就是对勾函数）等等。

2．摸准学情，有的放矢

在教学设计中，我们常常把自己学习数学的经历或以前的教学体会作为选择教学方法的一个重要参照。诚然，我们每一个人都做过学生，我们每一个人都学过数学，在学习过程中所品尝过的喜怒哀乐，紧张、痛苦和欢乐的经历对我们今天的学生仍有一定的启迪。但是我们必须清醒地认识到，你的授课对

象正在你的眼皮底下坐着，不是上一届已经毕业的学生，也不是记忆中那些学生，更不是若干年之前上高中的你自己。

那茫然的眼神，伏案会周公的无奈，还有那一声声的“老师，我听不懂!”无不让我们的内心觉得非常的不安：我们是不是讲的太难了?太艰涩难懂了?回头想想，发现自己是以过去的经验来考虑教学，并没有更多的考虑现在学生的情况。这时候，我们才意识到我们已有的经验还不够给自己提供更多、更有价值、可用作反思的素材。这时候就应该站在学生的角度，从学生的观点出发，参考并制定适合他们的教学方法，每个学生的情况都未必相同，理应先考虑大多数学生的学习情况，然后可以适当的进行针对性的备课与教学。

我们的做法：课前我们可能会做一些小的问卷调查，或者找几个具有代表性的学生开个小型的座谈会，了解他们的最近发展区，提高上课的效率，课后会有针对性的让目标学生还课，及时发现疑似掉队生，帮助学生扫除知识障碍和思维盲点。

3．心理辅导，增强自信

很多普通中学的学生在初中数学就很不理想，所以对数学有一种恐惧心理。

因此，在老师传授新知识的时候，他都不敢去尝试思考问题和解决问题，总认为自己不行，导致学生丧失了学习的信心，产生了厌学、弃学心理。针对这种情况教师有必要对学生进行针对性的心理辅导，鼓励学生、表扬学生的进步方面。多关心学生，亲近他们，加强交流，增进了解。并告诉学生，只要坚持努力学习，一点一滴的积累，高中数学是一定能够学好的。从而提高学习数学的兴趣和自信心。

我们的做法：从思想上关心他（她）们，在学业上帮助他（她）们，多和他们聊一些成功的例子，课堂上为提问一些适合他们的问题，不让回答不出来问题的学生坐下，通过反复启发，逐步逼近的方式，让学生品尝成功的喜悦，这对增强学生的自信心大有益处。

4．放慢进度，降低难度

由于学生刚进入高中，思维方式还停留在初中水平，对高中内容接受较慢。

所以我们要在尊重教学参考书的课时安排的基础上可以灵活机动的增加课时（如集合，4课时的确嫌少），以加强基本概念、基础知识的教学。教学时注意形象、直观，对于难以理解的概念、解法，一定要尽可能用通俗化、生活化的语言去表述（这一点，陈老师也曾多次提醒过），去帮助学生理解，从而达到降．．．．．．．．．．．．．．低难度的目的。另外，一定要提供学生到黑板上演练的机会，及时发现问题，解决问题。

我们的做法：先慢后快，稳扎稳打。基本概念教学舍得花时间，概念应用、巩固的例题精选再精选，作业题精挑细选，注重课堂例题与课后习题的吻合度，真正做到巩固新知的目的。

5．概念教学，有条不紊

概念教学是数学教学中的重头戏，是基础知识、基本技能及基本思想方法教学的重要载体。概念教学，抓数学概念的核心是关键，在学生还没有基本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下”。学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数学基础仍很脆弱。这种把概念课上成习题课的做法是不足取的。以函数单调性的教学为例，定义教学草草了事，而把大量的精力放在如何用定义法证明一次函数，二次函数，反比例函数，三次函数的单调性上，然后归纳出证明的五个步骤（任设、作差、化简、定号，结论），最后再通过练习去巩固这五个步骤。这可能是很多老师的一种普遍做法，我个人认为，学生确实能轻松处理一次函数，但千万不要以为一次函数就真的比三次函数要简

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