线性规划模型研究

线性规划模型研究

摘要：探讨线性规划在生活中的应用。方法：了解线性规划法及其特点；分析生活中某些问题适合利用线性规划求解的缘由；求解出所需值,同时观察其现实意义。结果：由于生活中很多关于利益最大化、成本最小化的问题，所以线性规划在生活中应用很广泛。而且线性规划求解方法多样；求出的结果能很好反映现实问题。结论：线性规划模型在生活中应用广泛。 关键词：线性规划；生活问题；求解相关值

Linear programming model

Abstract: discuss the application of linear programming in life. Method: to investigate the linear programming method and its characteristics; Analysis of some problems in the life is suitable for using the linear programming to solve the reason; Solving the required value and observe its realistic significance. Results: the result of living in a lot of questions about the benefit maximization, cost minimization, so linear programming is widely applied in life. Diverse and linear programming method; Calculated results can well reflect the reality. Conclusion: the linear programming model has been widely applied in life.

Keywords: linear programming; Life problems; To solve the relative value

[1]线性规划是合理利用、调配资源的一种应用数学方法。它的基本思路就是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定,如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财力)去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多。前者是求极小，后者是求极大。线性规划是在满足企业内、外部的条件下，实现管理目标和极值(极小值和极大值)问题，就是要以尽少的资源输入来实现更多的社会需要的产品的产出。因此，线性规划是辅助企业“转轨”、

“变型”的十分有利的工具，它在辅助企业经营决策、计划优化等方面具有重要的作用。

[2]线性规划是运筹学规划论的一个分支。它发展较早，理论上比较成熟，应用较广。20世纪30年代，线性规划从运输问题的研究开始，在二次大战中得到发展。现在已广泛地应用于国民经济的综合平衡、生产力的合理布局、最优计划与合理调度等问题，并取得了比较显著的经济效益。线性规划的广泛应用，除了它本身具有实用的特点之外，还由于线性规划模型的结构简单，比较容易被一般未具备高深数学基础，但熟悉业务的经营管理人员所掌握。它的解题方法，简单的可用手算，复杂的可借助于电子计算机的专用软件包，输入数据就能算出结果。

在生产过程中,我们都追求利益最大化、成本最小化、时间最少化。为了实现这些目标，我们就需要进行生产模型化。也就是说我们要知道如何分配原料、设备、时间等等来实现利益最大化。在分配之前我们必然要先进行大概的估算或精确的计算。而我们选择怎样的计算呢?这就需要根据现实的意义来确定。在生产过程中我们经常要用到线性规划模型来进行计算。如生产安排模型、混合配料模型、配套生产模型、运输问题模型、截料模型。为什么处理这些问题选择用线性模型呢?因为这些问题涉及了利益的最大化或成本最小化，而线性模型中求最优值可以满足其目的。并且在生产安排中有设备和原料的限制；在混合配料模型中有动物对各种饲料的基本需求的限制；在配套生产模型中有对工时的限制；在运输问题模型中有各地需求的限制；在截料模型中有产品需求的限制。除此之外还有现实意义的要求如时间不能是负的、运输量不能是负的、车辆数必须是整数等等.而选择线性规划模型可以用约束条件进行实现。那么接下来的问题是如何建立线性规划模型，如何求出我们需要的值？值是否唯一？两个值之间有什么关系？条件的适当改变会不会影响利益值？ 问题：求使得总成本最低的饲养配方？

某公司饲养实验用的动物以出售给动物研究所,已知这些动物的生长对饲料中3种营养成分(蛋白质、矿物质和维生素)特别敏感，每个动物每周至少需要蛋白质60g,矿物质3g,维生素8mg，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg所含各种营养成分和成本如下所示，如果每个小动物每周食用饲料不超过52kg,才能

满足动物生长需要。 A1 A2 A3 A4 A5 营养最低要求 蛋白质（g） 矿物质（g） 维生素（mg） 成本（元/kg） 0.3 0.1 0.05 0.2 2 0.05 0.1 0.7 1 0.02 0.02 0.4 0.6 0.2 0.2 0.3 1.8 0.05 0.08 0.5 60 3 8 在现实生活中如何搭配饲料使得总成本最低？构建什么数学模型进行求解？ 这个问题是在某些条件限制下求最优解，即在满足动物对各营养物质需求的情况下如何搭配饲料使成本最低。这符合线性规划的特点，所以选择构建线性规划模型来求解。而且线性规划容易求解，可以进行笔算，稍微复杂的便可选择lingo软件求解。

如何构建线性规划模型；

从实际问题出发建立线性规划模型三个步骤： （1） 根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；

（2） 由决策变量和所要达到目的之间的函数关系确定目标函数； （3） 由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。 由上可知：

解: 确定决策变量：设X1 , X2, X3, X4, X5分别为购买A1、A2、A3、A4、A5饲料的

数量；

确定目标函数：成本最低，即要求0.2X1+0.7 X2+ 0.4X3+ 0.3X4+0.5X5最小值； 所满足的约束条件

蛋白质需求限制：0.3X1 + 2X2 + 1X3 + 0.6X4 +1.8X5 ≥60，

矿物质需求限制：0.1X1 + 0.05X2 + 0.02X3 + 0.2X4 +0.05X5 ≥3，

维生素需求限制：0.05X1 +0.1X2 + 0.02X3 + 0.2X4 +0.08X5 ≥8，

每周食用饲料量的限制：X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≤52， 现实意义的限制：X1,X2, X3, X4, X5≥0。 线性规划模型：

目标函数Min Z=0.2X1+0.7 X2+ 0.4X3+ 0.3X4+0.5X5 s.t 0.3X1 + 2X2 + 1X3 + 0.6X4 +1.8X5 ≥60，

0.1X1 + 0.05X2 + 0.02X3 + 0.2X4 +0.05X5 ≥3，

0.05X1 +0.1X2 + 0.02X3 + 0.2X4 +0.08X5 ≥8，

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≤52， X1,X2, X3, X4, X5≥0。

接下来是求出这些解,得出我们想要的数值。求解线性规划有两种方法：其一、人工求解，即笔算。其二：利用lingo或matlab等软件求解。

人工求解时，一般先转化为标准线性规划模型；考虑其是否退化。然后利用单纯形法求解。（在此省略过程）

利用lingo求解： 输入model:

min=0.2*x1+0.7*x2+0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5; 0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x5>60; 0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.05*x5>3; 0.05*x1+0.1*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.08*x5>8; x1+x2+x3+x4+x5<52; end 得出结果：

对结果进行分析：

1， 因此，每周每只动物的配料为饲料A2、A4、A5分别为12、30

和10kg，合计52kg可使得饲料成本达到最小，最小成本为22.4元。 除去求解出饲料的搭配方式和此时最低成本值。我们还可以从lingo软件给出的值去发现更多问题的答案。如

A：“Reduced Cost”表示当变量有微小的变动时，目标函数的变化率。其中基变量的reduced cost 值应为0，对于非变量Xj.相应的reduced cost 值表示当某个变量Xj增加一个单位的时目标函数增加的量，变量X1对应的reduced cost 值为0.7，

表示当非变量X1的值从0变为1时（此时假定其他非基变量保持不变，但为了满足约束条件，基变量显然会发生变化），最优的目标函数值=22.4+0.7=23.1 B: “Slack or Surplus”给出松弛变量的值：可以看出，蛋白质和维生素刚达到最低标准，矿物质超过最低标准4.1kg.

C:“DUAL PRICE”（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时，目标函数的变化率。输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。若其数值为p，表示对应约束中不等式有段项若增加(减少)一个单位，目标函数将增加（减少）p个单位，显然，如果在最优解处约束正好取等号，对偶价值才可能取0.从这可以得

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