高等流体力学第5讲

第五讲 气动函数及压力波

一、 气流参数

（一）滞止参数

如果按照一定的过程将气流速度滞止到零，此时气流的参数就叫做滞止参数。滞止状态的概念可以很形象地用图5-1来表示。它是假想把某一点处的气流引入一个容积很大的贮气箱，使其速度滞止到零。

根据一元稳定绝能流动的能量方程式

112 h1?v12?h2?v222v p T δQ δW 滞止状态 v=0 p* T* 图5-1 滞止参数模型

可知气体的焓值随气流速度的减小而增大。如果把气流由速度v1=（v焓h1=h）绝能地滞止到v2=0，此时所对应的焓值h2就称为滞止焓，用符号h*表示，则

1 h*?h?v2

2如果研究的是定热比容的完全气体，h=cpT，则式（9一22）可改

T?T?*12v/cp （5－1） 2式中 T*称为滞止温度，它是把气流速度绝能滞止到零时的温度。

将式(5—1)两边同除以T，则有

1212kRk?1v2 TT?1?v/cpT?1?v/(T)?1?22k?12c2*所以

T*T?1?k?1Ma2 （5－2） 2前面得到了滞止温度与温度的比与Ma数的关系式，下面我们来推导一下其它滞止参数的表达式。完全气体的状态方程和滞止状态的状态方程可表示为p=ρRT和p*=ρRT* ，两者相除则有

p*p?(ρ*ρ)(T*T)。 （a） 对等熵流动有p*/ ρ*k=常数，p/ ρk=常数，两者相比，则有

p*p?(ρ*ρ)k。 （b） 由式（a）和（b）可得

pp?(TT)****kk?1kk?12k?1?(1?Ma) （5－3）

21k?12k?1 ρρ?(TT)?(1?Ma) （5－4）

2由式（9－2、3、4）可知，气流参数与其滞止参数的比值只是气流Ma数的函数。这种函数关系是分析和计算气体流动的基础，在气体动力学中占有非常重要地位。

这里应强调的是，在气体动力学中，引进滞止状态的概念是把它作为一个参考状态。对一元流动来讲，每个截面都对应有自己的滞止状态，而与实际流动中的过程无关。也就是说，滞止参数是一个点函数。

引入滞止焓后，一元稳定流动的能量方程可表式为

1k?1 q?ws?h2?h1 （5－5） 对绝能流动而言，有

* h2?h1*或h*?常数。

**由此可知：一元稳定绝能流动的滞止焓沿流程为一常数，同佯对完全气体，因为

h*=cpT*，所以其滞止温度也保持不变。通过进一步的理论分析可证明，在绝能等熵流动中，所有的滞止参数沿流程都不变。 （二）临界状态参数

将c2=kRT及c*2=kRT*引入到绝能等熵的能量方程后，则有

c2v2k??RT*?常数 （5－6） k?12k?1c c* Ma<1 Ma=1 Ma>1 c cr 由上式可知，c与v的关系函数满足椭圆方

o45 程，关系曲线如图5-2所示。从中可以看出，

o 在气流由滞止状态绝能地向最大流速状态

vcr=ccr 的变化过程中，必然要经历这样一种状态.即v=c或Ma=1的状态。气体动力学中称这种图5-2 c?v曲线 状态为临界状态，所对应的气流参数称为气

流的临界状态参数，并标以下标cr，如pcr、Tcr、vcr和ccr等。显然，vcr=ccr。

在式(5－6)中令c=v=ccr，则可得

vmax v ccr?2 kRT*。 （5－7）

k?1 vmax/ccr?(k?1)/(k?1)。 （5－8） 利用Ma数的定义、式(5－2)、(5－3)和（5－4），可得

Tcr/T*?2/(k?1)， （5－9）

pcr/p?[2/(k?1)]ρcr/ρ?[2/(k?1)]**kk?1， （5－10） 。 （5－11）

1k?1对空气，k=1.4，则有pcr/p*=0.5283。

应该指出，在一元流动的每一个截面上，都有相应于该截面的临界参数，如同在气流的每一个截面上都有相应的滞止参数一样。如果气流在某个截面上的Ma数恰好等于1，则该截面上的气流状态就是临界状态，该截面上气流的参数就是临界参数，该截面叫做临界截面。 在绝能等熵流动过程中，因为沿流道所有滞止参数保持不变，所以所有的临界参数也保持不变。

（三）速度系数

在气体动力学中，除了用马赫数作为无量纲参数以外，往往也用气流速度与临界声速 之比作为无量纲速度，称为速度系数，并用符号λ来表示，即

λ?vccr （5－12） 与Ma数相比，应用?数的最大好处是，在绝能流动中，当气体速度趋于vmax时，c下降为零，Ma数趋于无穷大，这样在作图时v=vmax附近的情况就无法表示出来。而

λmax?vmaxccr?(k?1)(k?1) （5－13） 这样就消除了上述困难。

k?1Ma22 λ2? （5－14） k?121?Ma2或

22λ2k?1 Ma? （5－15）

k?121?λk?1上述关系可以作成如图5-3所示的图线。可见，

当 Ma=0时，λ=0；

当 Ma<1时，λ<1 (亚声速)； 当 Ma=1时，λ=1；

当 Ma>1时，λ>1 (超声速)；

当Ma→∞时，λ?λmax?(k?1)(k?1)。

λ

k?1k?1 1 0 1 Ma 因此，λ数和Ma数一样也是表示亚声速或超声图5-3 ?～Ma曲线 速气流的一个简单标志。另外，气流参数与滞止参

数的比也可以用λ数来表示，把式（5－14)代入式（5－2、3、4），得到 TT*?(1?*k?12λ) （5－16） k?1k?12kk pp?(1?λ)?1 （5－17）

k?1k?12k1 ρρ?(1?λ)?1 （5－18）

k?1*二、气体动力学函数及其应用

从前面的分析中可以看出，气流滞止参数与气流参数之比可以用气流的Ma数或λ数的函数来表示。后面还将会看到，流量公式和动量方程式也可以用Ma数或λ数的函数表示出来。这些Ma数或λ数的函数叫做气体动力学函数。 （一）函数τ(λ)、π(λ)和ε(λ)、

在气体动力学中，令

τ(λ)?TT*?1?*k?12λ （5－19） k?1k?12kk π(λ)?pp?(1?λ)?1 （5－20）

k?1k?12k1 ε(λ)?ρρ?(1?λ)?1 （5－21）

k?1对空气(k=1.4)来说，函数τ(λ)、π(λ)和ε(λ)随λ数的变化如图5-4a所示，这三个函数均为单减函数。另外，这三个函数也可用Ma数表示如下：

* τ(Ma)?T*T?1/(1?*k?1Ma2) （5－22） 2kk?12k?1 π(Ma)?pp?1/(1?Ma) （5－23）

21k?12k?1 ε(Ma)?ρρ?1/(1?Ma) （5－24）

2函数τ(Ma)、π(Ma)和ε(Ma)随Ma的变化如图5-4所示。

*π(λ), ε( λ), τ(λ) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0

π(λ) ε( λ) τ(λ) π(Ma), 1.0 0.8 0.0.0.2

ε(Ma),

τ(Ma) ε (Ma) π(Ma) 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4

λ

(a)

0

0.5 1.0 1.5 2.0

(b)

2.5 3.0 3.5

Ma

图5-4 函数π, ε, τ曲线

例5－3 用风速管测得空气流中一点的总压p*=9.81×104Pa，静压p=8.44×104Pa，用热电偶测得该点空气流的总温T*=400K，试求该点气流的速度v。

解：由式（5－22）可得 8.44?104π(λ)?pp??0.86。

9.81?104由气动函数表（k=1.4）查得λ=0.5025，则气流速度为

*v?λccr?λ2kRT* k?11.4?287.06?400?187m/s。 1.4?1 ?0.5025?2?（二）流量函数

??ρAv来气动计算中往往是先给定气流的滞止参数和λ数(或Ma数)，如果直接按公式m计算流量，则必须先根据给定的滞止参数和λ数求出v和ρ。但这佯计算是很麻烦的，下面我

们就来寻求用λ函数表示的流量公式。由流量公式可得

ρv??ρAv?m(ρcrvcr)A，

ρcrvcr1ρvρ/ρ*k?12k?1?λ?λ(1?λ)k?1ρcrvcrρcr/ρ*k?1k?1(1?)，

k?111k?1k1k?12 ?()?1λ(1?λ)k?1。

2k?1将上式用q(λ)表示，并称为流量函数，即

k?1k1k?12k1?1 q(λ)?()λ(1?λ)?1 （5－25）

2k?1则有

??q(λ)ρcrvcrA。 m式中ρcr和cvr均可表示为

2k1p*2k1?1ρcr?ρ()?()?1， *k?1RTk?12kvcr?ccr?RT*。

k?1*所以有

??K m1?kk?1p*T* Aq(?) （5－26）

其中K?k?2???R?k?1?。对空气， k=1.4， R=287.4J/(kg·K)，则K=0.0404。q(λ)随λ数的变

化如图5-5a所示。当λ=0时，q(λ)=0；当λ=1时，q(λ)=1，取最大值；当λ=λmax时，q(λ)=0。由

此可见，q(λ)在临界截面处取最大值。

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