高考理科数学试题及答案-全国卷1

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普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）

理科数学(必修+选修II)

本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 第I 卷1至2页。 第Ⅱ卷3 至4页。 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷

注意事项：

1．答题前， 考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚， 并贴好条形码。 请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后， 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号， 在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

。 3．第I 卷共12小题， 每小题5分， 共60分。 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 参考公式：

如果事件A 、B 互斥， 那么 球的表面积公式

()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=

如果事件A 、B 相互独立， 那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 那么 334

V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=…

一．选择题

(1)复数3223i i

+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i

(2)记cos(80)k -?=,那么tan100?=

B.

C.

D.

(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤?

则2z x y =-的最大值为

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1.

A

B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1 O

（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }， 123a a a =5， 789a a a =10

， 则456a

a a =

(A)

(5)35(1(1+的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

(6)某校开设A 类选修课3门， B 类选择课4门， 一位同学从中共选3门， 若要求两类课程中各至少选一门， 则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

(7)正方体ABCD-1111A B

C D 中， B 1B 与平面AC 1D

所成角的余弦值为

A 3

B 3

C 23

D 3

（8）设a=3log 2,b=In2,c=12

5

-,则

A a(9)已知1F 、2F 为双曲线C:2

2

1x y -=的左、右焦点， 点p 在C 上， ∠1F p 2F

=0

60， 则P

到x 轴的距离为

(A)

(C) (D)

（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0

(A))+∞ (B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞

（11）已知圆O 的半径为1， PA 、PB 为该圆的两条切线， A 、B 为俩切点， 那么PA PB ?

u u u v u u u v 的

最小值为

(A) 4-+

(B)3-

(C) 4-+

(D)3-+

（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点， 若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题， 每小题5分， 共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)

(13)不等式2211x x +-≤的解集是 .

(14)已知α为第三象限的角， 3cos 25α=-

,则tan(2)4πα+= . (15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点， 则a 的取值范围是 .

(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点， B 是短轴的一个端点， 线段BF 的延长线交C 于点D ， 且BF 2FD =uu r uu r ， 则C 的离心率为 .

三．解答题：本大题共6小题， 共70分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤．

(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．

) 已知ABC V 的内角A ， B 及其对边a ， b 满足cot cot a b a A b B +=+， 求内角C ．

(18)(本小题满分12分)（注意：在试．．题卷上作答无效．．．．．．．)．

投到某杂志的稿件， 先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过， 则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审， 则再由第三位专家进行复审， 若能通过复审专家的评审， 则予以录用， 否则不予录

用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5， 复审的稿件能通过评审的概率为0．3． 各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数， 求X 的分布列及期望．

（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 如图， 四棱锥S-ABCD 中， SD ⊥底面ABCD ， AB//DC ， AD ⊥DC ， AB=AD=1， DC=SD=2， E 为棱SB 上的一点， 平面EDC ⊥平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB ；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.

（Ⅰ）若2

'()1xf x x ax ≤++， 求a 的取值范围；

（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ， 过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点， 点A 关于x 轴的对称点为D .

（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89

FA FB =u u u r u u u r g ， 求BDK ?的内切圆M 的方程 .

（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 已知数列{}n a 中， 1111,n n

a a c a +==- . （Ⅰ）设51,22

n n c b a ==-， 求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .

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理科数学(必修+选修II)

答案

第I 卷

一．选择题

1．A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.

【解析1】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i i i i +++++-===--+.【解析2】232322323i i i i i i

+-+==-- 2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识， 并突出了弦切互化这一转化思想的应用.

【解析1】sin80===o ,所以tan100tan80?=-o

sin 80cos80=-=o o 【解析2】cos(80)k -?=cos(80)k ??=，

()()00000sin 18080sin100sin 80tan1001008018080o

o o

con con con -?===--=

3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.

【解析1】画出可行域（如右图）， 由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时， z 最大， 且最大值为max 12(1)3z =-?-=.

【解析2】222

z x y y x z =-?=-， 画图知过点()1,1-是最大， ()1213Max z =--= 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识， 着重考查了转化与化归的数学思想. x +20y -=

A

B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1 O

【解析1】由等比数列的性质知3

1231322

()5a a a a a a a ===g ， 3

7897988

()a a a a a a a ===g 10,

所以13

28

50a a =, 所以13

3

3

64564655

()(50)a a a a a a a =====g 【解析2】123a a a =53

25a ?=；

789a a a =103810,a ?=6333528456550a a a a a a

a ?==?

==

5.C 【解析】

124513

3

5

333322

(1(1161281510105x x x x x x x x ????+=+++-+-+- ? ?????

x 的系数是 -10+12=2

6.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.

【解析1】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1

2

34

C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有21

34C C 种不同的选法.所以不同的选法共有123

4C C +21

34181230C C =+=种. 【解析2】333

73430C C C --=

7.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法， 利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.

【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面

AC 1D 所成角和DD 1与平面

AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ， 由等体积法得

11D ACD D ACD V V --=,即1111

33

ACD ACD S DO S DD ???=?.设DD 1=a,

则

1

22

1

11

sin60)

2222

ACD

S AC AD a

?

==??=

o

g,2

11

22

ACD

S AD CD a

?

==

g.

所

以

1

3

1

ACD

ACD

S DD

DO

S

?

?

===

g

,记DD1与平面AC1D所成角为θ,

则1

sin

3

DO

DD

θ==,

所以cos

3

θ=.

【解析2】设上下底面的中心分别为

1

,

O O；

1

O O与平面AC

1

D所成角就是B

1

B与平面AC

1

D 所成角，

1

11

1

cos1/

O O

O OD

OD

∠===

8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.

【解析1】a=

3

log2=

2

1

log3

, b=In2=

2

1

log e

,而

22

log3log1

e

>>,所以a

c=

1

2

5-

22

2log4log3

>=>,所以c

【解析2】a=

3

log2=

3

2

1

log

,b=ln2=

2

1

log e

, 3

22

1log log2

e

<<<，

3

22

111

1

2log log e

<<<；c

=

1

2

1

5

2

-

=<=，∴c

9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.

【解析1】不妨设点P

00

(,)

x y在双曲线的右支,由双曲线的第二定义

得2

1000

||[()]1

a

PF e x a ex

c

=--=+=+，

2

2000

||[)]1

a

PF e x ex a

c

=-=-=-.由余弦定理得

cos∠

1

F P

2

F=

222

1212

12

||||||

2||||

PF PF F F

PF PF

+-

,即cos0

60=,

解得2

5

2

x=,所以22

00

3

1

2

y x

=-=，故P到x

轴的距离为

||

y=

【解析2】由焦点三角形面积公式得：

12

22

6011

cot1cot2

22222

F PF

S b c h h h

θ

?

=====?=

10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得

a+2b

2

a

a

=+>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.

【解析1】因为f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或

1

b

a

=，所以a+2b=

2

a

a

+

又0

2

()

f a a

a

=+,由“对勾”函数的性质知函数()

f a在a∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+

2

1

=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞).

【解析2】由0

01

1

1

a

b

ab

<<

?

?

<

?

?=

?

，利用线性规划得：

01

1

1

x

y

xy

<<

?

?

<

?

?=

?

，求2

z x y

=+

的取值范围问题，

11

2

22

z x y y x z

=+?=-+，

2

11

1

y y

x x

'

=?=-<-?过点()

1,1时z最小为3,∴(C)(3,)

+∞

11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.

【解析1】如图所示：设PA=PB=x(0)

x>,∠APO=α,则∠APB=2α，

PO=，

sinα=

||||cos2

PA PB PA PBα

?=?

u u u v u u u v u u u v u u u v

=22

(12sin)

xα

-=

22

2

(1)

1

x x

x

-

+

=

42

21

x x

x

-

+

，令PA PB y

?=

u u u v u u u v

，则

42

21

x x

y

x

-

=

+

，即42

(1)0

x y x y

-+-=，由2x是实数，所以

2

[(1)]41()0

y y

?=-+-??-≥，2610

y y

++≥，

解得3

y≤--

3

y≥-+.

故

min

()3

PA PB

?=-+

u u u v u u u v

.

此时x=

【解析2】法一：设,0

APBθθπ

∠=<<，

()()2

cos1/tan cos

2

PA PB PA PB

θ

θθ

??

?== ?

??

u u u v u u u v

2222221sin 12sin cos 2221

2sin 2sin sin 22θθθ

θθθ????-- ?????????=?-= ??? 法二：换元：2sin ,012

x x θ

=<≤， ()()112123223x x PA PB x x x --?==+-≥-u u u v u u u v 或建系：园的方程为22

1x y +=， 设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，

()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥??-=?-+=?=

()22222222110011011022123223PA PB x x x x y x x x x x ?=-+-=-+--=+-≥-u u u v u u u v

12.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

【解析1】过CD 作平面PCD ， 使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有

ABCD 11222323

V h h =????=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,22max 22123h =-=,故max 43V =. 【解析2】

()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y ?=-?--=-+-u u u v u u u v

1

2x = y=1

x

y a O 12x =- 414a y -= 2y x x a =-+

二．填空题：本大题共4小题， 每小题5分， 共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)

13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法， 利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路， 也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.

【解析1】原不等式等价于2221(1),10

x x x ?+≤+?+≥?解得0≤x ≤2.

【解析2】

(){}2222211211211020211

x x x x x x x x x x ?+≤+?+≤?+≤+??≤≤?≤≤?+≥??，

14．17

-【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析1】因为α为第三象限的角,所以2(2(21),2(21))()k k k Z απππ∈+++∈， 又

3cos 25α=-<0, 所以2(2(21),2(21))()2k k k Z παπππ∈++++∈,于是有4sin 25

α=, sin 24tan 2cos 23ααα==-,所以tan(2)4πα+=41tan tan 2134471tan tan 2143

παπα-+==--+. 【解析2】α为第三象限的角， 3cos 25α=-， 3222

k k ππαππ+<<+ 42243k k ππαππ?+<<+?2α在二象限， 4sin 25

α= sin(2)sin cos 2cos sin 2cos 2sin 21444tan(2)4cos 2sin 27cos(2)cos cos 2sin sin 2444

πππ

αααπαααπππαα

ααα++++====--+- 15.(1,5)4【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.

【解析1】如图， 在同一直角坐标系内画出直线1y =与曲线2y x x a =-+,观图可知， a 的取值必须满足1,4114

a a >???-

3【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识， 考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形， 形助数”， 利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.

【解析1】如图，

||BF a ==, 作1DD y ⊥轴于点D 1,则由BF 2FD =uu r uu r ， 得

1||||2||||3OF BF DD BD ==,所以133||||22

DD OF c ==, 即32

D c x =,由椭圆的第二定义得2233||()22a c c FD e a c a =-=- 又由||2||BF FD =,得2

32c c a a

=-,整理得22320c a ac -+=. 两边都除以2a ,得2320e e +-=,解得1()e =-舍去，或23

e =. 【解析2】设椭圆方程为：第一标准形式， F 分 BD 所成的比为2， 222230223330;122212222

c c c c y b x b y b b x x x c y y -++?-=?===?===-++， 带入 22

2291144c b a b

+=，

e ?=三．解答题：本大题共6小题， 共70分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤．

17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系， 突出考查边角互化的转化思想的应用.

18. 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.

（19）（本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系， 二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

(20)(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.

（22）(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.

（21）(本小题满分12分)【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想..

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