2007-2011年宁夏海南新课标(文科)数学高考试卷和详解答案

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2007年文科数学（宁夏）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A B = （ ） Ａ．{}|2x x >-

Ｂ．{}

1x x >-|

Ｃ．{}|21x x -<<-

Ｄ．{}|12x x -<<

2．已知命题:p x ?∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ??∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ??∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ??∈R ，sin 1x >

Ｄ．:p x ??∈R ，sin 1x >

3．函数πsin 23y x ??=- ??

?在区间ππ2??????，的简图是（ ）

4．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322

-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，

Ｃ．(10)-，

Ｄ．(1

2)， 5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ）

Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652

y x

1

1-

2

π-

3

π- O 6π π

y

x

1

1-

2

π

- 3π- O 6

π π y x

1

1-

2

π

- 3

π O

6π- π

y

x

π

2

π- 6

π- 1

O

1-

3

π Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

开始

1

k =0S =

50?k ≤

是

2S S k =+

1k k =+

否

输出

S

结束

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6．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线2

23y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ） Ａ．3

Ｂ．2

Ｃ．1

Ｄ．2-

7．已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，点11

1222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=

Ｂ．22

2

12

3FP FP FP +=

Ｃ．2132FP FP FP =+

Ｄ．2

2

1

3FP FP FP =· 8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）

Ａ．

3

4000cm 3

Ｂ．3

8000cm 3

Ｃ．3

2000cm

Ｄ．34000cm 9．若

cos 22

π2sin 4αα=-??

- ?

?

?，则cos sin αα+的值为（ ） Ａ．72

-

Ｂ．12

-

Ｃ．

12

Ｄ．

72

10．曲线x

y e =在点2

(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

Ａ．2

94

e

Ｂ．2

2e

Ｃ．2

e

Ｄ．2

2

e

11．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，2AC r =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）

Ａ．π

Ｂ．2π

Ｃ．3π

Ｄ．4π

20

20正视图

20侧视图

10 10

20俯视图

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12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表

123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）

Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>

Ｄ．213s s s >>

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．

14．设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a = ．

15．i 是虚数单位，2

3

8

i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 16．已知{}n a 是等差数列，466a a +=，其前5项和510S =，则其公差d = ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．

18．（本小题满分12分）

如图，A

B C D ，，，为空间四点．在ABC △中，甲的成绩 环

数 7 8 9

10

频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9

10

频数

6 4 4 6 丙的成绩 环数

7

8 9

10

频数

4 6 6 4

D

B

A C

第 4 页 共 44 页 22AB AC BC ===，．等边三角形ADB 以AB 为轴运动．

（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；

（Ⅱ）当ADB △转动时，是否总有AB CD ⊥？证明你的结论．

19．（本小题满分12分）

设函数2

()ln(23)f x x x =++

（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）求()f x 在区间3144

??-????，的最大值和最小值．

20．（本小题满分12分）

设有关于x 的一元二次方程22

20x ax b ++=．

（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

21．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A

B ，． （Ⅰ）求k 的取值范围；

（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量OA OB + 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，

请说明理由．

．

22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的

割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，

点M 是BC 的中点．

（Ⅰ）证明A

P O M ，，，四点共圆； （Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小．

A P O M C

B

第 5 页 共 44 页 P D C B A A O S C

B

2007年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）

1．Ａ

2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ

7．Ｃ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｄ 12．Ｂ 13．3 14．1 15．44i - 16．12

1．【解析】由{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，,可得A B = {}|2x x >-.答案：A

2．【解析】p ?是对p 的否定，故有：,x ?∈R sin 1.x >答案：C

3．【解析】π3()sin 2,32f ππ?

?=-=- ???排除Ｂ、Ｄ，π()sin 20,663f ππ??=?-= ??

?排除Ｃ。也可由五点法作图验证。答案：A

4．【解析】1322

-=a b (12).-，答案：D 5．【解析】由程序知，15021222502502550.2S +=?+?++?=?

?= 答案：C 6．【解析】曲线223y x x =-+的顶点是(12)，，则：1, 2.b c ==由a b c d ，，，成等比数

列知，12 2.ad bc ==?=答案：B

7．【解析】由抛物线定义，2132()()(),222p p p x x x +

=+++即：2132FP FP FP =+．答案：C

8．【解析】如图，180********.33V =

???=答案：B

（8题图） （11题图）

9．【解析】

22cos 2cos sin 22(sin cos ),π22sin (sin cos )42

αααααααα-==-+=-??-- ???1cos sin .2αα?+=

第 6 页 共 44 页 C B F A O

y x 答案C

10．【解析】：(),x x y e e ''?==曲线在点2(2)e ，处的切线斜率为2e ，因此切线方程为

22(2),y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(1,0),(0,),A B e -所以：2211.22AOB

e S e ?=??=答案：D

11．【解析】如图，2,90,2,AB r ACB BC r ?=∠==

3111122,3323

ABC V SO S r r r r ?∴=??=????=三棱锥 333441,::4.333

V r V V r r πππ=∴==球球三棱锥答案：D 12．【解析】(78910)58.5,20

x +++?== 甲 22222

15[(78.5)(88.5)(98.5)(108.5)]1.25

,20s ?-+-+-+-== (710)6(89)48.5,20x +?++?=

=乙 22222

26[(78.5)(108.5)]4[(88.5)(98.5)]1.45,20

s ?-+-+?-+-== (710)4(89)68.5,20x +?++?=

=丙 22222

34[(78.5)(108.5)]6[(88.5)(98.5)]1.05,20

s ?-+-+?-+-== 22213213.s s s s s s >>>>2由得 答案：B 13．【解析】如图，过双曲线的顶点A 、焦点F 分别向其渐近线作垂线，

垂足分别为B 、C ，则：||||6 3.||||2OF FC c OA AB a =?== 答案：3 14．【解析】(1)(1)2(1)0, 1.f f a a =-?+=∴=- 答案：-1

15．【解析】238i 2i 3i 8i i -2-3i +4+5i -6+7i +8=4-4i.++++=

答案：44i -

16．【解析】46563,a a a +=?=1515135510 1.22a a a S a ++=?=?=?= 511.512a a d -∴==-答案：12

第 7 页 共 44 页 17．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得

sin sin BC CD BDC CBD =∠∠． 所以sin sin sin sin()

CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt △中， tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=

+·． 18．解：（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE CE ，，因为ADB 是等边

三角形，所以DE AB ⊥．当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面

ADB 平面ABC AB =，所以DE ⊥平面ABC ，可知DE CE ⊥ 由已知可得31DE EC ==，，在D E C Rt △中，

222CD DE EC =+=．

（Ⅱ）当ADB △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥．

证明：

（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD

==，，所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥． （ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知A B D E ⊥．又因AC BC =，所以AB CE ⊥． 又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ?平面CDE ，得AB CD ⊥． 综上所述，总有AB CD ⊥．

19．解：()f x 的定义域为3

2??-+ ???

，∞． （Ⅰ）224622(21)(1)()2232323

x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -<<-时，()0f x '>；当112

x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3

12??-- ???，，12??-+ ???，∞单调增加，在区间112??-- ???，单调减少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144??-????，的最小值为11ln 224f ??-=+ ???

． 又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ??????--=+--=+=- ? ? ???????

0<． 所以()f x 在区间3144??-????，的最大值为117ln 4162f ??=+ ???

． 20．解：设事件A 为“方程22

20a ax b ++=有实根”． E D

B C A

第 8 页 共 44 页

当0a >，0b >时，方程2

2

20x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．

（Ⅰ）基本事件共12个：

(00)(01)((31)(3

2)

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为

93

()124

P A =

=． （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}

()|0302a b a b ，，≤≤≤≤． 构成事件A 的区域为{}

()|0302a b a b a b ，，

，≤≤≤≤≥． 所以所求的概率为2

1

32222323

?-?==?．

21．解：（Ⅰ）圆的方程可写成2

2

(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ，且斜率为

k 的直线方程为2y kx =+．代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=，整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=．①

直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于

2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ?=--?+=-->，

解得304k -

<<，即k 的取值范围为304??

- ???

，． （Ⅱ）设112

2

()()A x y B x y ，，

，，则1212()OA OB x x y y +=++ ，，由方程①，122

4(3)

1k x x k

-+=-

+ ② 又1212()4y y k x x +=++．③ 而(02)(60)(62)P Q PQ =-

，，

，，，． 所以OA OB + 与PQ 共线等价于1212()6()x x y y +=+， 将②③代入上式，解得34k =-．

由（Ⅰ）知304

k ??∈ ???

，

，故没有符合题意的常数k ． 22．Ａ

（Ⅰ）证明：连结OP

OM ，． 因为AP 与O 相切于点P ，所以OP AP ⊥． 因为M 是O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥． 于是180OPA OMA ∠+∠=°． 由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角

A

P

O

M

C

B

第 9 页 共 44 页

互补，所以A P O M ，，，四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A P O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥．

由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°． 所以90OAM APM ∠+∠=°．

2008新课标文科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }，N ={ x| x + 1 < 0 }， 则M ∩N =（ ） A. (－1，1) B. (－2，1)

C. (－2，－1)

D. (1，2)

2、双曲线

22

1102

x y -=的焦距为（ ） A. 32

B. 42

C. 33

D. 43

3、已知复数1z i =-，则

2

1

z z =-（ ） A. 2

B. －2

C. 2i

D. －2i

4、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）

A. 2

e

B. e

C.

ln 2

2

D. ln 2 5、已知平面向量a =（1，－3），b

=（4，－2），

a b λ+ 与a

垂直，则λ是（ ）

A. －1

B. 1

C. －2

D. 2

是

否

开始

输入a,b,c

x=a

b>x 输出x

结束 x=b

x=c

否 是

第 10 页 共 44 页 6、右面的程序框图，如果输入三个实数a 、b 、c ，要

求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断

框中，应该填入下面四个选项中的（ ）

A. c > x

B. x > c

C. c > b

D. b > c 7、已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是（ ）

A.（0，11a ）

B. （0，12a ）

C. （0，31a ）

D. （0，3

2a ） 8、设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42

S a =（ ） A. 2 B. 4 C.

152 D. 172 9、平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ） A. a ，b 方向相同 B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量

C. R λ?∈， b a λ=

D. 存在不全为零的实数1λ，2λ，

120a b λλ+= 10、点P （x ，y ）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是（ ）

A. [0，5]

B. [0，10]

C. [5，10]

D. [5，15]

11、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ）

A. －3，1

B. －2，2

C. －3，32

D. －2，32

12、已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ?l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m

∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．

成立的是（ ） A. AB ∥m B. AC ⊥m C. AB ∥β D. AC ⊥β

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = ____________

14、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________

15、过椭圆22

154

x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______________

16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下：

由以上数据设计了如下茎叶图：

甲品

种： 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307

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甲

乙

3 1 27 7 5 5 0 28

4

5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4

6

7 9 4 0 31 2 3 5 5 6

8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7

9 7 4 1 33 1 3 6 7 34 3 2 35 6 根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ①

___________________________________________________________________________________②___________________________________________________________________________________

三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。 17、（本小题满分12分）如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠

ACB=90°，BD 交AC 于E ，AB=2。（1）求cos ∠CBE 的值；（2）求AE 。

18、（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）。（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG 。

308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种： 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320

322 322

324

327

329

331

333

336 337

343

356

E D

C B

A

22

4

侧视图

正视图

6

2

4

G E

F

C'B'

D'C A

B D

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19、（本小题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。把这6名学生的得分看成一个总体。（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。

20、（本小题满分12分）已知m ∈R ，直线l ：2

(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=。

（1）求直线l 斜率的取值范围；

（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12

的两段圆弧？为什么？ 21、（本小题满分12分）设函数()b f x ax x

=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为

74120x y --=。

（1）求()y f x =的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

22、（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP 垂直直线OM ，垂足为P 。

（1）证明：O M ·OP = OA 2；

（2）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点。过B 点的切线

交直线ON 于K 。证明：∠OKM = 90°。

K

B P A O M N

第 13 页 共 44 页 2008年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）

1.Ｃ 【试题解析】易求得{}{}|21,|1=-<<=<-M x x N x x ∴

{}|21=-<<- M N x x

【高考考点】一元二次不等式的解法及集合的交集及补集运算

【易错提醒】混淆集合运算的含义或运算不仔细出错

【全品备考提示】一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容， 要认真掌握，并确保得分。

2.Ｄ 【试题解析】由双曲线方程得222

10,212==∴=a b c ，于是23,243==c c ，选Ｄ

【高考考点】双曲线的标准方程及几何性质 3.Ａ 【试题解析】将1=-z i 代入得()22

122111--===----i z i z i i

，选Ａ 【高考考点】复数的加减、乘除及乘方运算

4.B 【试题解析】∵()ln =f x x x ∴()'1ln ln 1=+?=+f x x x x x

∴由()'02=f x 得00ln 1 2 +=∴=x x e ，选Ｂ【高考考点】两个函数积的导数及简单应用

5.Ａ 【试题解析】由于()()4,32,1,3,a b a a b a λ+=λ+-λ-=-λ+⊥

∴()()43320λ+--λ-=，即101001λ+=∴λ=-，选Ａ【高考考点】简单的向量运算及向量垂直

6.A 【试题解析】：有流程图可知第一个选择框作用是比较x 与b 的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x 与c 的大小，故应选Ａ；【高考考点】算法中的判断语句等知识。【易错点】：不能准确理解流程图的含义而导致错误。【全品网备考提示】：算法是新课程中的新增加的内容，

也必然是新高考中的一个热点，应高度重视。

7.Ｂ【试题解析】：由()211i a x -<，得：22121i i a x a x -+<，即()

220i i x a x a -<， 解之得()200i i x a a <<>，由于1230a a a >>>，故1

20x a <<；选Ｂ. 【高考考点】二次不等式的解法及恒成立知识 8.Ｃ【试题解析】：由于()

4141122,1512a q S a -=∴==- ∴4121151522

S a a a ==；选Ｃ； 【高考考点】等比数列的通项公式及求和公式的综合应用

第 14 页 共 44 页 9.Ｄ 【试题解析】：若,a b 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数12,,λλ使

得12

0a b λ+λ= ；若0a ≠ ，则由两向量共线知，存在0λ≠，使得b a =λ ，即0a b λ-= ，符合题意，故选Ｄ

【高考考点】向量共线及充要条件等知识。

10.Ｂ【试题解析】：根据题意可知点Ｐ在线段()43063x y x +=-≤≤上，有线段过原点，故点Ｐ

到原点最短距离为零，最远距离为点()6,8P -到原点距离且距离为１０，故选Ｂ；

【高考考点】直线方程及其几何意义

11.Ｃ 【试题解析】：∵()2

21312sin 2sin 2sin 22f x x x x ??=-+=--+ ??? ∴当1sin 2x =时，()max 32

f x =，当sin 1x =-时，()min 3f x =-；故选Ｃ；【高考考点】三角函数值域及二次函数值域

12.Ｄ【试题解析】：容易判断Ａ、Ｂ、Ｃ三个答案都是正确的，对于Ｄ，虽然AC l ⊥，但ＡＣ不一定在平面α内，故它可与平面β相交、平行，不一定垂直；【高考考点】线面平行、线面垂直的有关知识及应用

13.15【试题解析】：由于{}n a 为等差数列，故3856a a a a +=+∴

538622715a a a a =+-=-=

【高考考点】等差数列有关性质及应用 14.43

V =π 【试题解析】∵正六边形周长为３，得边长为12，故其主对角线为１，从而球的直径()222312R =

+= ∴1R = ∴球的体积43

V =π 【高考考点】正六棱柱及球的相关知识 15.53 【试题解析】：将椭圆与直线方程联立：()

224520021x y y x ?+-=??=-??，得交点()540,2,,33A B ??- ???； 故121145122233

OAB S OF y y =??-=??+=；【高考考点】直线与椭圆的位置关系 16.【试题解析】：参考答案（１）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长

第 15 页 共 44 页

度；

（２）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或乙品种棉花的纤维长度较 甲品种棉花的纤维长度更集中）。

（３）甲品种棉花的纤维长度的中位数为３０７mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为 ３１８mm ；

（４）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称

的，而且大多集中在中间（均值附近），甲

品种

棉花的纤维长度除一个特殊值（３５２）外，

也大致对称，其分布较均匀；【高考考点】

统计的有关知识

17.【试题解析】：.(1)因为

0009060150,BCD CB AC CD ∠=+===所以015CBE ∠=，

()0062cos cos 45304

CBE +∴∠=-= (2)在ABE ?中，2AB =，故由正弦定理得

()()00002sin 4515sin 9015AE =-+,故00122sin 30262cos1562

4AE ?===-+【高考考点】正弦定理及平面几何知识的应用

18.【试题解析】(1)如图

（２）所求多面体的体积

第 16 页 共 44 页 ()311284446222323V V V cm ??=-=??-????= ???

正长方体三棱锥 （３）证明：如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，连接'AD ，则'AD ∥'BC 因为Ｅ，Ｇ

分别为''',AA A D 中点，所以'AD ∥EG ，从而EG ∥'BC ，又'B C E F G ?平面, 所以'

BC ∥平面ＥＦＧ；

【高考考点】长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识

19.【试题解析】（１）总体平均数为()156789107.56

+++++= （２）设Ａ表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”从总体中抽取２个个体全部可能的基本结果有：(5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10),共１５个基本结果。事件Ａ包含的基本结果有：(5,9), (5,10), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9),共有７个基本结果；所以所求的概率为()715P A =

【高考考点】统计及古典概率的求法

20.【试题解析】 （１）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，此时斜率21m k m =+因为()2112

m m ≤+，所以2112m k m =≤+，当且仅当1m =时等号成立所以，斜率k 的取值范围是11,22??-????

； （２）不能. 由（１知l 的方程为()4y k x =-，其中12k ≤

；圆Ｃ的圆心为()4,2C -，半径2r =；

圆心Ｃ到直线l 的距离22

1d k =+ 由12k ≤，得415

d ≥>，即2r d >，从而，若l 与圆Ｃ相交，则圆Ｃ截直线l 所得的弦所对的圆心角小于

23π，所以l 不能将圆Ｃ分割成弧长的比值为12

的两端弧； 【高考考点】直线与圆及不等式知识的综合应用 21.【试题解析】１）方程74120x y --=可化为734y x =

-，当2x =时，12y =； 又()'2b f x a x =+，于是12227

44

b a b a ?-=????+=??，解得13a b =??=?，故()3f x x x =-

第 17 页 共 44 页 （２）设()00,P x y 为曲线上任一点，由'2

31y x =+知曲线在点()00,P x y 处的切线方程为 ()002031y y x x x ??-=+- ???，即()00200331y x x x x x ????--=+- ? ??

??? 令0x =，得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060,x ??- ??

?； 令y x =，得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x ；

所以点()00,P x y 处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为00

16262x x -=； 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为定值，此定值为６；

【高考考点】导数及直线方程的相关知识

22．解：

（Ⅰ）证明：因为MA 是圆O 的切线，所以OA AM ⊥．

又因为AP OM ⊥，在Rt OAM △中，由射影定理知，

2OA OM OP = ．·

····························································································································5分 （Ⅱ）证明：因为BK 是圆O 的切线，BN OK ⊥．

同（Ⅰ），有2OB ON OK = ，又OB OA =，

所以OP OM ON OK = ，即

ON OM OP OK

=． 又NOP MOK =∠∠，

所以ONP OMK △∽△，故90OKM OPN == ∠∠． ···················································· 10分

2009年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的．

1． 已知集合}{

{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==，则A B =

第 18 页 共 44 页 A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9}

2． 复数3223i i

+=- A ．1 B ．1- C ．i (D)i -

3．对变量,x y 有观测数据（i x ，i y ）（12,,10i =?

?），得散点图1；对变量,u v 有观测数据（i u ，i v ）（i=1，2，…，10），得散点图2. 由这两个散点图可以判断

A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关

B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关

C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关

D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关

4．有四个关于三角函数的命题：

1p ：?x ∈R ， 2sin 2x +2cos 2x =12

2p : ,x y R ?∈， sin()sin sin x y x y -=- 3p : ?x ∈[]0,π，

1cos 2sin 2x x -= 4p : sin cos 2x y x y π=?+= 其中假命题的是

A ．1p ，4p

B ．2p ，4p

C ．1p ，3p

D ．2p ，3p

5．已知圆1C ：2(1)x ++2

(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为

A ．2(2)x ++2(2)y -=1

B ．2(2)x -+2(2)y +=1

C ．2(2)x ++2(2)y +=1

D ．2(2)x -+2(2)y -=1 6．设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥??-≥??-≤?

则z x y =+

A ．有最小值2，最大值3

B ．有最小值2，无最大值

C ．有最大值3，无最小值

D ．既无最小值，也无最大值

7．已知()()3,2,1,0=-=-a b ，向量λ+a b 与2-a b 垂直，则实数λ的值为

第 19 页 共 44 页 A ．17- B ．17 C ．16

- D ．16 8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m =

A ．38

B ．20

C ．10

D ．9

9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是

A ．AC BE ⊥

B ．EF ∥平面ABCD

C ．三棱锥A BEF -的体积为定值

D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等

10．执行如图所示的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于

A ．3

B ． 3.5

C ． 4

D ．

4.5

11．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2

cm ）为

第 20 页 共 44 页 A ．48122+ B ．48242+ C ．36122+ D ．36242+

12．用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设()min{2,2,10}x

f x x x =+-(x ≥0)，则()f x 的最大值为

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．曲线21x

y xe x =++在点（0，1）处的切线方程为________________．

14．已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若(2,2)P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________________．

15．等比数列{}n a 的公比0q >， 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S =________________．

16．已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712f π

??= ???

________________．

第 21 页 共 44 页

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知50AB m =，120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求∠DEF 的余弦值． 18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，△P AB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 o．

（Ⅰ）证明：AB ⊥PC ；（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积．

19．（本小题满分12分）

某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人）.现用分层抽样方法（按A 类，B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．

（Ⅰ）A 类工人中和B 类工人各抽查多少工人？

（Ⅱ）从A 类工人中抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2． 表1：

生产能力分组

[)100,110

[)110,120

[)120,130

[)130,140

[)140,150

人数 4

8

x

5

3

表2：

生产能力分组

[)110,120

[)120,130

[)130,140

[)140,150

人数

6

y

36

18

（i ）先确定,x y ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A 类工

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3uye.html