长方体和正方体的体积和表面积提升练习

立体图形之长方体与正方体

一、一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6个面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形！

二、经过折叠可以组合成正方体:

三、经过折叠可以组合成长方体：

练习：

下列三个图形中，能拼成正方体的是（ ）

① ② ③

四、长方体或正方体的切割组合对棱长的影响 1.切割

将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条长和4条宽；（棱长增加的最长）

将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条宽和4条高；（棱长增加的最短）

将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加4条棱。

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2.组合

将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条宽；（棱长减少的最多）

将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条高；

将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条宽和4条高；（棱长减少的最少）

将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少8条棱；

依次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少16条棱，四个组合减少24条棱，五个组合减少32条……（公式：8×（N—1））

例如：将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为140厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？

分析：五个正方体棱长共有12×5=60条；

将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32条，还剩60-32=28条； 即这28条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：140÷28=5cm；

所以一个正方体的棱长和为：5×12=60cm。 五、小正方体拼大正方体的规律

由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要2×2×2=23=8个（也就是说每条棱上放2个小正方体），接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放3个小正方体即3×3×3=33=27个，依次类推接下来是4×4×4=43=64个；5×5×5=53=125个……

从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。这就要求我们能够熟记一些数的立方：

23=8 33=27 43=64 53=125 63=216

73=343 83=512 93=729 103=1000 小正方体拼大长方体的规律

规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a倍，宽是小正方体棱长的b倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由a×b×c个小正方体组成的。 练习：

（1）用棱长为3厘米的小正方体拼棱长为9厘米的大正方体需要（ ）个小正方体。

A、8个 B、27个 C、26个 D、64个

（2）一个长方体的长宽高分别是18、12、9，如果用棱长为3的小正方拼一个这样的长方体，一共需要（ ）块这样的小正方体。

（3）一个长方体的盒子里面长5分米，宽4分米，深3分米，放棱长为5厘米的正方体小木块共可以放（ ）块。

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长方体与正方体的表面积

六、长方体表面求法的变形：

① 贴商标类型：只求四周面积。

例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？

② 游泳池类型：只求四周和底面。

例如：一座游泳池，长宽高分别为10m，4m，1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？

③ 抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。

例如：一款抽纸盒，长宽高分别是20cm，12cm，5cm，上面有长14cm，宽3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？

④ 占地面积问题：只求底面面积。

例如：一个长方体蓄水池，长12m，宽8m，深3m，这个水池占地面积多少平方米？

1..一块长方形铁皮长60厘米，宽40厘米，如 图， 从四个角上剪去边长是10厘米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的表面积是多少平方厘米？

2.一个无盖正方体铁桶内外进行涂漆，涂漆的是（ ）个面。

七、棱长变化对表面积的影响 1.正方体。

正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；

正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；

正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。

2.长方体。

长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；

长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；

长方体的长宽高同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。

长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律，体积扩大a×b×c倍。 长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×b倍 。

长方体的宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大b×c倍 。

长方体的长扩大a倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×c倍 。

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练习：

（1）大正方体的棱长是小正方体的棱长的2倍，那么大正方体的表面积是小正方体表面积的（ ）倍。

（2）正方体的棱长缩小5倍，它的体积就缩小（ ）倍．

（3）一个长方体的长、宽、高都扩大4倍，它的表面积就（ ）。 （4）正方体的棱长扩大6倍，表面积扩大（ ）倍。

（5）一个正方体的棱长为4厘米，扩大为2倍后，其棱长和为（ ）厘米，表面积为（ ）平方厘米，比原来扩大了（ ）。

（6）一个长方体长扩大2倍，高扩大4倍，体积扩大（ ）倍。

（7）大正方体的表面积是小正方体的4倍，那么大正方体的棱长是小正方体的（ ）；大正方体棱长之和是小正方体的（ ） A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍

（8）把一个正方体切成大小相等的8个小正方体，8个小正方体的表面积之和（ ）。

A.等于大正方体的表面积 B.等于大正方体表面积的2倍 C.等于大正方体表面积的3倍 （9）判断：

一个长方体的长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，这个长方体的表面积扩大24倍。（ ）

正方体的棱长扩大1.2倍，它的棱长和也扩大1.2倍，它的表面积就扩大14.4倍。（ ）

有棱长为1厘米的正方体拼成较大的正方体，其表面积比原来一个正方体时扩大了4倍。（ ）

棱长为16厘米的正方体，将棱长缩小2倍后，其棱长为4厘米，其表面积也缩小了4倍。（ ）

八、立体图形的切割：（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题） ? 长方体

沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。 沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。 而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。 ? 正方体

无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。

例如：两盒磁带有三种不同的包装方式，你说哪一种最省包装纸？

要求最省包装纸，即表面积最小，也就是表面积比原来单独包装时减少的表面积最多，根据规律应该选择第一种包装方式。

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练习：

（1）把一个棱长为6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（ ）㎡。

（2）用两个长4厘米、宽4厘米、高1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是（ ）平方厘米，最小是（ ）平方厘米。

（3）把一根长80厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木料锯成长都是40厘米的两段，表面积比原来增加了（ ）平方厘米。

（4）用两个长、宽、高分别是3厘米，2厘米，1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（ ）平方厘米。

（5）棱长是a的两个立方体拼成长方体，长方体的表面积比正方体的表面积和减少（ ）。

（6）一根长方体木料，长1.5米，宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积最少增加（ ）平方分米．

（7）一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体，截成两个形状，大小完全一样的长方体，表面积最多能增加多少平方厘米？

（8）把一根长2米的方木（底面是正方形）锯成三段，表面积增加5.76平方分米，原来这根方木的底面积是多少平方分米？

（9）一根1.8m长的木材，锯成三个完全相同的正方体后，表面积比原来增加多少平方厘米？

（10）一个长方体长为1.5分米，宽为0.5分米，高位1分米，锯三刀之后可以锯成6个完全相同的正方体，每个正方体的表面积是多少？这时表面积之和比原来增加多少？

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长方体与正方体的表面积和体积

九、从一个长方体中切出一个最大的正方体问题 应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。

例如：在一个长是4厘米，宽为3厘米，高为2厘米的长方体中切出一个最大的正方体，该正方体的棱长和是多少？剩余部分的表面积是多少？

十、立体图形的组合（组合只会使表面积减少，因此存在减少最多或最少的问题） ? 长方体

将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。 将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。

而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。 ? 正方体

无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面，减少的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。 练习： （3）用27个体积是1立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体，粘合后的大正方体的表面积是（ ）

（4）把三个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方米。这个正方体的表面积是多少平方米？

（5）一个长方体的长8厘米，宽6厘米，高5.5厘米。将两个这样的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多少？体积是多少？

（8）有三个大小相等的正方体，将他们拼成长方体，表面积减少32平方厘米。求所拼长方体的表面积。

（10）用两个长6厘米，宽3厘米，高1厘米的长方体一起包装，至少需要包装纸多少？

（12）用两个同样的长、宽、高分别为4厘米、3厘米和2厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？

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十一、小正方体拼成的大正方体表面涂漆问题

大正方体长、宽、高上有几个小正方体，则将长、宽、高上的正方体数相乘就是大正方体所含小正方体的总数； 在顶点位置的小正方体露在外面的面有3个；

在棱上（不包含顶点位置）的小正方体露在外面的面有2个； 在面上（不包含棱上）的小正方体露在外面得面有1个；

用总数—3个面的—2个面的—1个面得=没有露在外面的小正方体的个数。

在该正方体表面涂上漆，有三个面涂上漆的小正方体有几个？

有两个面图上漆的小正方体有几个？

有一个面涂上漆的小正方体有几个？

没有涂上漆的小正方体有几个？

例如：

练习：

图一中，长方体共有（ ）个小正方体；其中两个面露在外面的小正方体共有（ ）个；没有露在外面的小正方体共有（ ）个。

图二中三个图一次有（ ）、（ ）、（ ）小正方体组成。第二个长方体中有三个面在外面的正方体有（ ）个，两个面在外面的正方体有（ ）个，一个面在外面的有（ ）个，没有露在外面的小正方体（ ）。

图1

图2

十二、小正方体拼成的大正方体在取走一部分后表面积的变化

挖去的小正方体在顶点位置，则大正方体的表面积不变，因为原来在顶点位置小正方体露在外面的面为3个，挖去后露出来的面也是3个，所以表面积不变。

挖去的小正方体在棱的位置，则大正方体的表面积增加，因为原来在棱上的小正方体露在外面的面有2个，挖去后会露出4个面，所以表面积会增大。

挖去的小正方体在面上，则大正方体的表面积也会增加，因为原来在面上的小正方体只有1个面露在外面，挖去后会露出5个面，所以表面积会增大。

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十二、等积变形的题，常用锻造、熔铸等词

1、把一个棱长为6分米的正方体钢坯，锻造成一个长3分米、宽2分米的长方体钢条，这个钢条长多少米？

2、将一块长4.5分米，宽4分米，高2分米的长方体钢块，熔铸成一根横截面的边长是2分米的方钢，这根方钢的长是多少分米？

3、一个棱长是40厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个底面为200平方厘米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少厘米？

十三、用排水法解题（求不规则物体的体积转化成规则的物体的体积，即：放入物体后水的体积—放入物体前水的体积=物体的体积），或利用放入水中物体的体积等于水面上升的那部分水的体积。

1、一个长方体容器长25厘米，宽18厘米，里面水深6厘米。将一个西瓜放入其中（西瓜完全淹没），水上升了4厘米。这个西瓜的体积是多少？

2、一个底面长和宽都是2分米的长方体玻璃容器，里面装有5.6升水，再将一个苹果浸没在水中，这时量得容器内的水深1.5分米。这个苹果的体积是多少立方分米？（玻璃的厚度忽略不计）

3、一个底面积是80平方厘米的鱼缸，放入20条小鱼后，水面上升了2厘米，这些小鱼平均每条的体积是多少？

4.石块全部浸入底面积是320平方厘米的长方体水箱中，水面上升2.5厘米，这个石块的体积是多少立方厘米？

5.一个长方体水箱上，从里面量长6分米 ，宽5分米。先倒入82升水，再浸入一个棱长是2分米的正方体铁块，这时水面离水箱口1分米，这个水箱的容积是多少立方分米？

6.一个棱长为人5分米的正方体容器内放有一个不规则铁块，现在把40升水倒入正方体内（水不外溢），这时测得水深2.2分米。这个铁块的体积是多少立方分米？

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