大学物理学课后答案（湖南大学出版社）

12．12 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A和B．A平面的电荷面密度为2σ，B平面的电荷面密度为σ，两面间的距离为d．当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为多少？

[解答]两平面产生的电场强度大小分别为 EA = 2σ/2ε0 = σ/ε0，EB = σ/2ε0，

两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为 E = EA - EB = σ/2ε0， 方向由A平面指向B平面．

两平面间的电势差为 U = Ed = σd/2ε0，

当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为 W = qU = qσd/2ε0．

13．3 金属球壳原来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球心为r处有一

点电荷q， 球心o的电势为多少？

[解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心

b 都为a．外壳上就有电荷q+Q，距离球为b．球心的电势是所有电荷产生的电

o 势叠加，大小为 a r 1q1?q1Q?qq Uo???4??0r4??0a4??0b13．14 一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，两板竖直放着．若图13.3

电容器两板充电到电压为U时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr的液体中．求：（1）电容器的电容C；（2）浸入液体后电容器的静电能；（3）极板上的自由电荷面密度．

[解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为 C = (1 + εr)ε0S/2d．

（2）电容器充电前的电容为C0 = ε0S/d， 充电后所带电量为 Q = C0U． 当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为 W = Q2/2C = C02U2/2C = ε0SU2/(1 + εr)d．

（3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C1 = ε0S/2d；介质中的一半的电容为 C2 = ε0εrS/2d．设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2，则

Q1 + Q2 = Q． ① 由于C = Q/U，所以

U = Q1/C1 = Q2/C2． ② 解联立方程得

Q1?C0UC1Q， ?C1?C21?C2/C1真空中一半电容器的自由电荷面密度为

?1?2C0U2?0UQ1． ??S/2(1?C2/C1)S(1??r)d同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为

14．1通有电流I的导线形状如图所示，图中ACDO是边长为b的正方形．求圆心O处的磁感应强度B = ？

A [解答]电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的．根据毕-萨定

r0， 律：dB??0Idl?4?r2圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直，在O点产生的磁场大小为 O I b C ?IdldB1?02， 由于 dl = adφ，

4?a3?/2?Id?3?0I积分得 B1??dB1??0． ?L8a4?a0a 图14.4 D OA和OD方向的直线在O点产生的磁场为零．在AC段，电流元在O点产生的磁场为

dB2?由于 l = bcot(π - θ) = -bcotθ， 所以 dl = bdθ/sin2θ； 又由于 r = b/sin(π - θ) = b/sinθ，

?Isin?d?可得 dB2?0，

4?b?0Idlsin?，

4?r2A l Idl θ r O a b C D Idl ?0I3?/4?0Isin?d?积分得B2??dB??(?cos?)??/24?b4?bL3?/4??/22?0I 8?b同理可得CD段在O点产生的磁场B3 = B2． O点总磁感应强度为

14．23 均匀带电细直线AB，电荷线密度为λ，可绕垂直于直线的轴O以ω角速度均速转动，设直线长为b，其A端距转轴O距离为a，求：

（1）O点的磁感应强度B； （2）磁矩pm；

（3）若a>>b，求B0与pm．

ω [解答]（1）直线转动的周期为T = 2π/ω，

在直线上距O为r处取一径向线元dr，所带的电量为 dq = λdr，

b 形成的圆电流元为 dI = dq/T = ωλdr/2π，

在圆心O点产生的磁感应强度为 dB = μ0dI/2r = μ0ωλdr/4πr， 整个直线在O点产生磁感应强度为 a A a?bo ???1???a?b ， B?0dr?0ln4?ar4?a图14.23

如果λ > 0，B的方向垂直纸面向外．

（2）圆电流元包含的面积为S = πr2，形成的磁矩为 dpm = SdI = ωλr2dr/2，

B ?积分得 pm???a?b2?ar2dr???6λ > 0，pm的方向垂直纸面向外． [a(?b3)?a3．如果]?0?????bbln(1?)?0(?...)， 4?a4?a??a3b3??a3bb2b3??a2b?0??b所以 B?．pm?． [(1?)?1]?[3?3()?()]?4?a6a6aaa2（3）当a>>b时，因为 B?16．1 一条铜棒长为L = 0.5m，水平放置，可绕距离A端为L/5处和棒垂直的轴OO`

在水平面内旋转，每秒转动一周．铜棒置于竖直向上的匀强磁场中，如图所示，磁感应强度B = 1.0×10-4T．求铜棒两端A、B的电势差，何端电势高．

[解答]设想一个半径为R的金属棒绕一端做匀速圆周运动，角速度为ω，经过时间dt后转过的角度为

dθ = ωdt，扫过的面积为dS = R2dθ/2， O` B 2

切割的磁通量为 dΦ = BdS = BRdθ/2， ω A B 动生电动势的大小为

ε = dΦ/dt = ωBR2/2．

L/5 根据右手螺旋法则，圆周上端点的电势高． O AO和BO段的动生电动势大小分别为 图16.1

?AO??BO， ()?2550?B4L216?BL2． ?()?2550?BL2?BL2L l o dθ R ω 由于BO > AO，所以B端的电势比A端更高，A和B端的电势差为

???BO??AO3?BL23?BL23?2??1.0?10?4(0.5)2= 4.71×10-4(V)． ???10101016．6 如图，有一弯成θ角的金属架COD放在磁场中，磁感应强度B的方向垂直于金

属架COD所在平面，一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度v向右滑动，v与MN垂直，设t = 0时，x = 0，求下列两情形，框架内的感应电动势εi．

（1）磁场分布均匀，且B不随时间改变； （2）非均匀的交变磁场B = Kxcosωt． M B [解答]（1）经过时间t，导体杆前进的距离为 x = vt， 杆的有效长度为 l = xtanθ = v(tanθ)t， 2

动生电动势为 εi = Blv = Bv(tanθ)t． θ O （2）导体杆扫过的三角形的面积为

N x S = xl/2 = x2tanθ/2 = v2t2tanθ/2，

图16.6 通过该面的磁通量为

C v D kx3tan?kv3tan?3??BS?cos?t ?tcos?t

22感应电动势为

kv3tan?2d??i????(3tcos?t??t3sin?t)，

dt216．19 两个线圈的自感分别为L1和L2，，它们之间的互感为M．将两个线圈顺串联，

如图a所示，求1和4之间的互感；（2）将两线圈反串联，如图b所示，求1和3之间的自感．

[解答]两个线圈串联时，通以电流I之后，总磁场等于两个线圈分别产生的磁场的矢量和B = B1 + B2，磁场的能量为

B2Wm??dV2?VBBcos?11?L1I2?L2I2??12dV． 22?V11L1I2?L2I2?MI2， 222W自感系数为 L?2m?L1?L2?2M．

IWm?2B12B2B?B??dV??dV??12dV2?2??VVV（1）当两个线圈顺串时，两磁场的方向相同，θ = 0，所以

（2）当两个线圈反串时，两磁场的方向相反，θ = π，所以

11L1I2?L2I2?MI2， 222W自感系数为 L?2m?L1?L2?2M．

IWm?16．20 两个共轴的螺线管A和B完全耦合，A管的自感系数L1 = 4.0×10-3H，通有电流I1 = 2A，B管的自感L2 = 9×10-3H，通有电流I2 = 4A．求两线圈内储存的总磁能．

[解答]A管储存的自能为

Wm1?11L1I12??4?10?3?22?8?10?3(J)， 22112L2I2??9?10?3?42?72?10?3(J)； 22B管储存的自能为

Wm2?由于两线圈完全耦合，互感系数为

M?L1L2?4?10?3?9?10?3?6?10?3(H)，

A管和B管储存的相互作用能为

Wm12 = MI1I2 = 6×10-3×2×4 = 48×10-3(J)， 两线圈储存的总能量为

Wm = Wm1 + Wm2 + Wm12 = 0.128(J)．

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