2018年高考理科数学试题及答案（上海）

2018年全国高等学校招生统一考试数学（上海·理）试题

考生注意：

1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．

2．本试卷共有22道试题，满分 150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．函数f(x)=log4(x+1)的反函数f

x

x

?1(x)= ．

2．方程4+2-2=0的解是 ．

3．直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP?OA=4。则点P的轨 迹方程是 ．

4．在(x-a)的展开式中,x的系数是15,则实数a= ． 5．若双曲线的渐近线方程为y=±3x, 它的一个焦点是(

10,0), 则双曲线的方程

是 ． 6．将参数方程 x=1+2cosθ

y=2sinθ (θ为参数)化为普通方程,所得方程是 ．

3n?1?2n7．计箅:limn= ．

n??3?2n?18．某班有50名学生，其中 15人选修A课程，另外35人选修B课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是 ．(结果用分数表示)

9．在△ABC中，若∠A＝120°，AB=5，BC＝7，则△ABC的面积S＝ ．

10．函数f(x)=sinx+2sinx,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是 ．

11．有两个相同的直三棱柱,高为

2,底面三角形的三边长分别为a3a、4a、5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是 ．

12．用n个不同的实数a1,a2,┄an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3

n

一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,┄,ain,记bi=- ai1+2ai2-3 ai3+┄+(-1)nain, 1 3 2 i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3 是12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+2?12-3?12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1 的数阵中, b1+b2+┄+b120= ． 3 1 2

3 2 1

二．选择题(本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括内,选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括内),一律得零分． 13．若函数f(x)=

1, 则该函数在(-∞,+∞)上是 [答]( ) X2?1 (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值 14．已知集合M={x│x?1≤, x∈R},P={x│

5≥1, x∈Z},则M∩P等于 [答]( ) x?1 (A){x│0

2

15．过抛物线y=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线 [答]( ) (A)有且仅有一条 (B) 有且仅有两条 (C) 有无穷多条 (D)不存在 16．设定义域为R的函数f(x)= lgx?1, x≠1

0, x=1 ,则关于x的方程f(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 [答]( ) (A)b<0且c>0 (B) b>0且c<0 (C)b<0且c=0 (D)b≥0且c=0

三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要步骤. 17．（本题满分12分）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2底面ABCD是直角梯形,∠A为直角,AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,.求异面直线BC1与DC所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) [解]

18．（本题满分12分）在复数范围内解方程z[解]

22

?(z?z)i?3?i(i为虚数单位) 2?i

19．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.

x2y2??1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且如图,点A、B分别是椭圆

3620位于x轴的上方,PA⊥PF.

(1)求点P的坐标;

(2)设M椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于MB,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值. [解

20．(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.

假设某市2018年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2018年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? [解]

21．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分. 对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)·g(x) 当x∈Df且x∈Dg 规定: 函数h(x)= f(x) 当x∈Df且x?Dg g(x) 当x?Df且x∈Dg

(1) 若函数f(x)=

12

,g(x)=x,x∈R,写出函数h(x)的解析式; x?1(2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;

(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明. [解]

22．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.

2n

在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,2),┄,Pn(n,2),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1

为A0关于点P1的对称点, A2为A1关于点P2的对称点, ┄, AN为AN-1关于点PN的对称点. (1)求向量A0A2的坐标;

(2)当点A0在曲线C上移动时, 点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函

数,且当x∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式; (3)对任意偶数n,用n表示向量A0An的坐标. [解]

上海数学(理工农医类)参考答案

一.

1y22?1 6. (x-1)2+y2=4 1. 1. 4-1 2. x=0 3. x+2y-4=0 4. - 5. x?29x7. 3 8.

315315 9. 10. 113. A 14. B 15. B 16.C 三. 17. [解]由题意AB∥CD,∴∠C1BA是异面直线BC1与DC 所成的角.连结AC1与AC,在Rt△ADC中,可得AC=5. 又在Rt△ACC1中,可得AC1=3.

在梯形ABCD中,过C作CH∥AD交AB于H, 得∠CHB=90°,CH=2,HB=3, ∴CB=13. 又在Rt△CBC1中,可得BC1=17,

在△ABC1中,cos∠C1BA=

317317,∴∠C1BA=arccos 1717317 17异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos

另解:如图,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1所在 直线为x、y、z轴建立直角坐标系.

则C1(0,1,2),B(2,4,0), ∴BC1=(-2,-3,2),

CD=(0,-1,0),设BC1与CD所成的角为θ,

则cosθ=BC1?CDBC1?CD=

317317,θ= arccos. 1717317 17异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos18. [解] 原方程化简为z2?(z?z)i?1?i,

2

2

设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x+y+2xi=1-i, ∴x+y=1且2x=-1,解得x=-2

2

13且y=±, 22

∴原方程的解是z=-

13±i. 2219. [解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)

设点P(x,y),则AP={x+6,y},FP={x－4,y},由已知可得

x2y2??1 3620 (x+6)(x－4)+y=0 则2x+9x－18=0,x=

2

2

3或x=－6. 2 由于y>0,只能x=

353,于是y=. 22353,) 22 ∴点P的坐标是(

(2) 直线AP的方程是x－3y+6=0.

设点M(m,0),则M到直线AP的距离是

m?62.

于是

m?62=m?6,又－6≤m≤6,解得m=2.

椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有 d=(x－2)+y=x－4x+4+20－由于－6≤m≤6, ∴当x=

2

2

2

2

52492

x=(x－)+15, 9929时,d取得最小值15 2n(n?1)?50=25n2+225n, 220. [解] (1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列, 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+

2

2

令25n+225n≥4750,即n+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.

到2018年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,

n-1

其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)·0.85.

n-1

由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)·0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.

到2018年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

x221. [解] (1)h(x)= x∈(-∞,1)∪(1,+∞)

x?1

1 x=1

1x2 (2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2,

x?1x?1 若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立

若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立 ∴函数h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞)

(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=则g(x)=f(x+α)= sin2(x+

? 4??)+cos2(x+)=cos2x-sin2x, 44?, 2于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x. 另解令f(x)=1+2sin2x, α=

g(x)=f(x+α)= 1+2sin2(x+π)=1-2sin2x,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+2sin2x)( 1-2sin2x)=cos4x. 22.. [解](1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y), A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y), ∴A0A2={2,4}. (2) ∵A0A2={2,4},

∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.

因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. 另解设点A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4,

若3< x2≤6,则0< x2-3≤3,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3). 当1< x≤4时, 则3< x2≤6,y+4=lg(x-1). ∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. (3)A0An =A0A2?A2A4???An?2An, 由于A2k?2A2k?2P2k?1P2k,得

A0An =2(P1P2?P3P4???Pn?1Pn)

=2({1,2}+{1,2}+┄+{1,2})

3

n-1

n2(2n?1)4(2n?1)=2{,}={n,}

233

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