第2章作业参考答案

第 二 章 习 题

1. 设F1(x),F2(x)为两个分布函数，问：

（1）F1(x)+F2(x)是否分布函数？ （2）F1(x)F2(x)是否分布函数？ 给出证明。 解：(1) 不是，因为0≤F1(x)+F2(x)≤2或lim[F1(x)+F2(x)]=2 x→+∞

（2）是。

因F1(x),F2(x)分别单调不降故F1(x)F2(x)单调不降；

因0≤Fi(x)≤1，limFi(x)=0，limFi(x)=1,i=1,2，容易得到0≤F1(x)F1(x)≤1， x→ ∞x→+∞

x→ ∞limF1(x)F2(x)=0，limF1(x)F2(x)=1。 x→+∞

因F1(x),F2(x)分别右连续故F1(x)F2(x)右连续。

2. 一批晶体管中有个9个合格品和3个不合格品，从中任取一个安装在电子设备上。若取

出不合格品不再放回，求取得合格品前已取出的不合格品个数的分布律和分布函数。 解： 1 2 3

9/44

9/2201/220

0, x<0 3/4, 0≤x<1 F(x)= 21/22, 1≤x<2

219/220, 2≤x<3 1, x≥3

注意区间的左闭右开！

3. 做一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，求：

（1） n次试验中成功次数X的分布律；

（2） 在n次成功之前已经失败次数Y的分布律；

（3） 首次成功时试验次数Z的分布律。

解：1)P{X=k}=Cnp(1 p)kkn k,k=0,1,2...,n 或X~B(n,p)

kkn{}(1 p),k=0,1,2... 2)PY=k=Cpnk+ 1

3)P{Z=k}=p(1 p)k 1,k=1,2...

4. 一批产品共有25件，其中5件次品，从中随机地一个一个取出检查，共取4次，设X

为其中的次品数，若

（1） 每次取出的产品仍放回； (2) 每次取出的产品不再放回。

写出两种情况下X的分布律。

解：（1）

1 X~B 4, ,故分布律为 5

P(X=k)=C4k(0.2)k(0.8)4 k,k=0,1,2,3,4

4 kC5k*C20(2)P(X=k)=k=0,1,2,3,4 4C25

5. 临床观察表明，某药物产生副作用的概率为0.002。现在900个患者服用该药物，求至

少有３例患者出现副作用的概率．

解：设出现副作用的患者数为X，则X~B(900,0.002)，因为试验重数900够大，而出现副作用的概率0.002很小．故可认为X近似服从泊松分布P(1.8)

1.8k

≈0.2694 P{X≥3}≈∑!kk=3+∞

6. 随机变量X的分布函数为

F(x)=A+Barctgx,

求：

（1） 系数A，B；

（2） X落在区间（－1，1）的概率；

（3） X的概率密度。

解： x∈R

7. 从一批子弹中任意抽出5发试射，若没有一发子弹落在靶心2厘米以外，则接受该批子

弹。设弹着点与靶心的距离X（厘米）的概率密度为

Axe x,0<x<3 f(x)= 0,其他 2

试求：(1)系数A；（2）X的分布函数F(x); （3）该批子弹被接受的概率。

解：

（2）F(x)=∫x

∞ 0, x<02 1 e x x2 t2f(t)dt= ∫tedt=0≤x<3 99 01 e 1 e

1, x≥3

（3）

该批子弹被接受的概率为P{Y=5}=( 1 e5 91 e 4

8. 在长为L的线段上随机选取一点，将其分为两段，求短的一段与长的一段之比小于1/4

的概率？

解：

9. 一电子信号在(0,T)时间内随机出现，设0<t0<t1<T，

(1) 求信号在区间（t0,t1）内出现的概率；

(2) 已知信号在t0时刻前没有出现，求它在（t0,t1）内出现的概率。

解：设电子信号出现的时间为X，则X~U(0,T)

(1) P{t0<X<t1}=t1 t0 T

t1 t0P{t0<X<t1}t t==10 (2) P{X<t1|X>t0}=0T t0P{X>t0}

T

10. 两台新的电子仪器寿命分别为X1,X2，X1~N(42,36)，X2~N(45,9), 若需连续使用仪

器46小时，问选用哪一台仪器较好？

解：

46 42)≈1 Φ(0.67)≈0.25146

46 45P{X2>46}=1 Φ(≈1 Φ(0.33)≈0.37073 P{X1>46}=1 Φ(

选用第二台仪器比较好

11. 设测量误差X~N(0,102)，求在100次独立重复测量中至少有3次测量误差的绝对值大

于19.6的概率，并用泊松分布求其近似值。

解：设100次独立重复测量中测量误差的绝对值大于19.6的次数为Y，计算

19.6 019.6 0P{|X|>19.6}=1 P{|X|≤19.6}=1 (Φ() Φ())=2 2Φ(1.96)=0.051010

则Y~B(100,0.05), 近似服从参数为5的泊松分布

于是 P{Y≥3}≈∑e

k=3+∞ 55k≈0.8753 k!

12. 设某型号电视机的有效使用时间X（年）服从参数(失效率)为0.125的指数分布。现在

某人购买了一台该型号的旧电视，求它还能使用4年以上的概率．

解：设该电视已使用了a年, 所求为

P{X>a+4|X>a}=P{X>4}=1 e 0.125×4=1 e 0.5

13. 假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t) 服从参数为λt的泊松分布。 求相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布； 0, t<0 解：FT(t)=P{T≤t}= (λt)0 λt λt == = ≥PNte1e, t01{()0}1 0!

可见T服从参数为λ的指数分布

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