电子讲稿 第一章行列式

第一章行列式

问题与背景 中学我们就学过解二元一次方程组、三元一次方程组。我们

能不能得到一个求解二元一次方程组、三元一次方程组等n元线性方程组的公式呢？

我们先从二元一次方程组入手。利用加减消元法，我们很容易得到二元一次方程组

?a11x1?a12x2?b1 ?ax?ax?b2222?211b1a22?a12b2?x??1aa?aa?11221221的解 ?

?x?a11b2?b1a212?a11a22?a12a21?大家一定疑惑，这么容易就能得到的公式，为什么以前不讲呢？问题是这个公式很难记住。一个公式如果很难记住，它的作用自然不能很好地发挥。只要我们引入行列式的概念，改变一下这个公式的形式，这个公式就很容易记住，上面的公式就求活了。

1.1 二阶、三阶行列式

一、二阶行列式

我们用记号

a11a12a21a22表示代数和a11a22?a12a21，称为二阶行列式，即

a11a21a12?a11a22?a12a21a22

二阶行列式表示的代数和，可以用对角线法则的方法记忆

1

例1

5?1?5?2?(?1)?3?13。 32例2 设D??2?31。

问：（1）当?为何值时D?0。（2）当?为何值时D?0。 解：D??2?31??2?3???(??3)

（1）当??0或??3时，D?0。（2）当??0且??3时，D?0。

二、 三阶行列式

a11a12a22a32a13a23表示代数和a33我们用记号a21a31a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31

称为三阶行列式，即

a11a12?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32a23?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31 a33a13a21a22a31a32用对角线法则的方法记忆三阶行列式所表示的代数和

123例3 405?1?0?6?2?5?(?1)?3?4?0?3?0?(?1)?2?4?6?1?5?0

?106??10?48??58。

例4 实数a,b满足什么条件时有

2

ab0?ba0?0 101ab0解：?ba0?a2?b2

101若要a2?b2?0，则a,b须同时等于零。因此，当a?0且b?0时，a,b为实数，给定行列式等于零。

a10例5 1a0?0的充分必要条件是什么？

411a10解：1a0?a2?1

411a10a10当且仅当a2?1?0，即a?1时，1a0?0。因此可得1a0?0的充

411411分必要条件是a?1。

3

1.2 n阶行列式

一、排列与逆序

1、排列与逆序

对于n个不同的元素，我们可以给它们规定一个次序，并称这规定的次序为标准次序。例如1,2,?,n这n个自然数，一般规定由小到大的次序为标准次序。

定义1 由n个自然数1,2,?,n组成的一个无重复的有序数组i1i2?in，称为一个n级排列。

例如，1234和2431都是4级排列，而45321是一个5级排列。

排列12?n中元素之间的次序为标准次序，这个排列是标准排列(通常也称为自然排列)；其它的排列的元素之间的次序未必是标准次序。

定义2 在一个n级排列i1i2?it?is?in中，如果一个较大的数排在一个较小的数之前，即若it?is，则称这两个数it,is组成一个逆序。一个排列中所有逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为N(i1i2?in)。

例如，排列2431中，21，43，41，31是逆序，共有4个逆序。故排列2431的逆序数N(2431)?4。

根据定义，可按如下方法计算排列的逆序数：

设在一个n级排列i1i2?in中，比it(t?1,2,?,n)大的且排在it前面的数共有

ti个，则it的逆序的个数为ti，而该排列中所有数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数。即

N(i1i2?in)?t1?t2???tn??ti

i?1n例1 计算排列45321的逆序数。 解 因为4排在首位，故其逆序数为0；

比5大且排在5前面的数有0个，故其逆序数为0； 比3大且排在3前面的数有2个，故其逆序数为2； 比2大且排在2前面的数有3个，故其逆序数为3；

比1大且排在1前面的数有4个，故其逆序数为4。 可见所求排列的逆序数为

N(45321)?0?0?2?3?4?9。

4

定义3 如果排列i1i2?in的逆序数为奇数，则称它为奇排列；若排列i1i2?in的逆序数为偶数，则称它为偶排列。

例如，2431是偶排列，45321是奇排列；标准排列12?n的逆序数是0，因此是偶排列。 2、对换

定义1 在排列i1i2?it?is?in中，将任意两数it和is的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。这种作出新排列的手续称为一次对换。将相邻两数对换，称为相邻对换。

例如，对换排列45321中5和1的位置后，得到排列41325。 经过对换，排列的奇偶性有何变化呢？我们有下面的基本事实。 定理1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。

（也就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，而偶排列变成奇排列。）

定理2 n个数码共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半。

二、n阶行列式的定义

1. 观察与思考

a11a21a12?a11a22?a12a21a22

a11a12a21a22a31a32?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32a23?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31a33a13

问题：在二阶行列式和三阶行列式中? (1)它们的项数与阶数有什么关系? (2)各项的一般形式怎样?

(3)各项的符号与下标有怎样的关系? 结论：

5

13?12r2?r1c1?c21?53?4r4?5r1解： D????021?1?513?313?121r2?r3021?1r3?4r20 ??r?40?84?68r20016?27013?120?84?6

021?1016?273?1221?1

08?100?101513?125r4?r3021?14 ?008?10?40

50002例2 计算行列式

31 D?116r1?r2?r3?r41解： D?11例3 计算行列式

13116131113111 131131111102?6100300102010?48 026311611113?6111311abcdaa?ba?b?ca?b?c?d D?

a2a?b3a?2b?c4a?3b?2c?da3a?b6a?3b?c10a?6b?3c?da0解： D?r2?r100r4?r3r3?r2bcdabcdaa?ba?b?c0aa?ba?b?c ?a2a?b3a?2b?c00a2a?ba3a?b6a?3b?c00a3a?ba0 ?00

bcdaa?ba?b?c?a4

0a2a?b00a11

1.4 行列式按行（列）展开

虽然，行列式可通过化上(下)三角形行列式来计算，但一般情况仍是很麻烦的。因此，需要另找方法。考察三阶行列式D依定义的展开式，事实上它可以表为:

D?a11

a22a32a23a33?a12a21a23a31a33?a13a21a22a31a32 （1）

说明计算三阶行列式可以转化为计算二阶行列式。我们希望能将这一结果推广至n阶行列式，即通过逐步降阶的方法，最后，直至化为对三阶，二阶行列式的计算。为此，先给出:

定义1.3 在n(n≥2)阶行列式D中，任取元素aij，划去D中第i行第j列元，剩下的元素按原有位置顺序构成的n?1阶子式，称为元aij的余子式，记为Mij;而(?1)i?jMij,称为元aij的代数余子式，记为Aij。

例如 在三阶行列式

a11D?a21a31a12a22a32a13a23

a33中，元素a12的余子式M12?不难看出(1)式可表为

a21a31a23a33. 而A12?(?1)1?2M12。

D?a11A11?a12A12?a13A13，

它称为按D的第一行元展开所得的展开式。仿此，一般地我们有如下展开定理。

定理2.3.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin (i?1,2,?,n) (2) 或 D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj (j?1,2,?,n) (3)

证 只证(2)式。 (Ⅰ) 设

12

a11D?a21?an1D的一般项为a11a2j2?anjn。 (4)

0a22??0?a2n，

??an2?ann其中j2j3?jn为2，3，(4)也是a11M11的一般项。 反之，a11M11?，n的一个排列。的项均可表为(4)的形式。于是D与a11M11有完全相同的项。容易看出D与a11M11都有(n?1)!项。又项(4)在D中的符号是

(?1)?(1j2?jn)?(?1)?(j2j3?jn)。

(4)在a11M11中的符号即是a2j2?anjn在M11中的符号，当为

(?1)?(j2?1?jn?1)?(?1)?(j2j3?jn)。

故D=a11M11

(Ⅱ) 设

a11?a1,j?1??D?0????0?a1j?aij?anja1,j?1?a1n?0???0。 ???an1?an,j?1an,j?1?annD经i?1次相邻行的互换及j?1次相邻列的互换化为

aija1j?D1?ai?1,jai?1,j?anj0a11????0a1,j?1?0a1,j?1????0a1n?ai?1,1?ai?1,j?1ai?1,1?ai?1,j?1?an1???an,j?1ai?1,j?1?ai?1,n 。 ai?1,j?1?ai?1,n?an,j?1???ann由2。2性质2，D?(?1)(i?1)?(j?1)D1?(?1)i?jD1，而D1?aijMij。于是

D?(?1)i?jD1?(?1)i?jaijMij?aijAij。

(Ⅲ) 设

13

a11?D?ai1?an1则

a12?ai2??a1n???ain， ??an2?anna11a12?a1n????D=ai1?0???00?ai2?0???0?0???0?ain。

????an1an2?ann由2.2性质4的推广及(Ⅱ)得，D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin.

定理1.5 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0, a1iA1j?a2iA2j???aniAnj?0,?i?j?

?i?j?

,由1.3性质2推论得知，则D?0。此事实上，设D的第i行与第j行元相同时，按D的第j行元展开，有D?ai1Aj1?ai2Aj2??ainAjn= 0 (i?j).

综合定理1.4和定理1.5可得出如下表达式：

?Dn,当(i?j)aA? ??ikjkk?1?0,当(i?j)n?D,当(i?j)或 ?akiAkj??n

k?1?0,当(i?j)n用降阶的方法计算行列式，从理论上说是可行的。但当n较大时，其计算量非常大。为减少计算量，一般地要将展开定理与1.3中的性质5结合使用。即先按性质5，将行列式的某行(列)只化为剩余一至两个非零元，而后按这行(列)展开。n阶行列式的计算，无固定方法可言。我们所涉及的都是一些较为特殊的行列式。计算时，需仔细观察分析其内在特点，这对于确立可行的计算方案至关重要。

例1 计算n阶行列式

14

12Dn?2222223???222 (n≥2)。

?????222?n解 从第二行起，各行减去第一行

11Dn?1200201???200，

?????100?n?2按第二列展开，得

100?0110?0Dn?(?1)1?22?(?2)(n?2)!。

?????100?n?2例2 计算n阶行列式

1?a1?10Dn??00a21?a2?1?000a3??000??1000。 ?an1?an1?a3???00??1?an?1解 从第一行起，各行都加到第n行上，得

1?a1a2?11?a2Dn?0?0?a1按最后一行展开，得

0a3?00??000000?an1，

?1?001?a3????1?an?1?015

an?③ D2n?bn?a1c1?b1d1?dn?bncnan0

0an?1?a1?ancn?10c1?b1d1bn?1???dn?bncnan

an?1??bncn????an?dn?an????cn?1a1c1b1d1??bn?1

dn?1??andn?bncn?D2?n?1?

???aidi?bici?

i?1n 依拉普拉斯定理有

anbn0an?1??a1c1?0cn?1b1d1?0bn?1D2n?

dn?10cndn26

ancnbndn00an?1?????????a1c1?b1d1??00bn?1

=

cn?1 =?andn?bncn?D2?n?1?

dn?1 =?andn?bncn??an?1dn?1?bn?1cn?1???a1d1?b1c1? =??aidi?bici?

i?1?111?1120?0④ D?103?0

????100?n解 D?1??111??????11?1n??23020?00?0n1???n!?1???

03?0?i?2i????00?n⑤ Dn?det?aij?, 其中 aij?i?z ；

01?n?101?n?110?n?21?1??1 解 Dn? ???????n?1n?2?011??1012?n?1100? ?120????122?00?027

10?0???1?n?1?n?1?12?0n?1???1??n?1??2n?1

???12?21?a11?11⑥ Dn?11?a2? 其中 a1a2?an?0

???11?1?an1?a11?11?a11?解： D1?a2?111?a2?n?1??????11?111?

a10?1 ?0a2?1???anDn?1

00?1 ?a1a2?an?1?anDn?1

Dn1Dn?11?a1aa?a??1?1???

12?anna1?an?1anan?1a1 ???11??1??1??a?1a?2a?n??

所以 D?111?n?a1a2?an??1????a1a???2an? ?6问?,?取何值时，齐次线性方程组

??x1?x2?x3?0 ??x1??x2?x3?0 ??x1?2?x2?x3?0有非零解？

28

00? an

?解 D?1111?11?1?1????10??1????2??1???1??????1? 2?11??2??10 ??1???? 令D?0得??0 或??1

故当?取1或?取0时，齐次线性方程组为非零解。

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证 由题设有

?a0?a1x1???anx1n?0?n?a0?a1x2???anx2?0? (4) ????????n?a?ax???ax1n?1nn?1?0.?0将(4)看成以a0,a1,?,an为未知量的齐次线性方程组，其系数行列式

11?1x1x2?xn?1x122x2????x1nnx2?Dn?1?，

2nxn?xn?1?1Dn?1是n?1阶范德蒙行列式的转置行列式，因此

Dn?1?n?1?i?j?1?(xi?xj)。

因为i?j时，xi?xj，所以Dn?1?0。根据定理 (4)只有唯一零解:

a0?a1???an?0，故f(x)?0。 例3 问?取何值时,齐次线性方程组

2z?0,?(5??)x?2y???0, ?2x?(6??)y (1)

?2x?(4??)z?0?有非零解？

解 由推论可知，若齐次线形方程组有非零解，则系数行列式D?0而

5??D?2226??0204?? ?(5??)(6??)(4??)?4(4??)?4(6??)

?(5??)(2??)(8??),由D?0,得??2、??5或??8.

5或8时,齐次线性方程组确有非零解. 不难验证,当??2、

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习题课

一、内容提要

① 三阶行列式的意义 ② 排列逆序数的计算 ③ n阶行列式的定义 ④ 行列式的性质 ⑤ 行列式按行（列）展开 ⑥ 克拉默法则 二、例题讲解

1、 证明ay?bzaz?bxax?by??a3?b3?yaz?bxax?byay?bzzax?byay?bzaz?bxax?byay?bzaz?bxxyzxzx y证：ay?bzaz?bxax?by

az?bxax?byay?bzaxay?bzaz?bxbyay?bzaz?bx =ayaz?bxax?by?bzaz?bxax?by

azax?byay?bzbxax?byay?bzxay?bzazybzaz?bx =ayaz?bxax?bzbxax?by

zax?byayxbyay?bzxyzxzyzxyx =a3yzx?b3zyxy=a3?b3yzz??xyzxzx y1a2、证明2aa41bb2b411cc2c41bb2b3b41d=?a?b??a?c??a?d??b?c??b?d??c?d??a?b?c?d? 2dd41cc2c3c41dd2d3d41xx2 , 则 x3x4a证 ：设f?x??a2a3a4

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f?x???b?a??c?a??d?a??x?a??c?b??d?b??x?b??d?c??x?c??x?d? =?a?b??a?c??a?d??b?c??b?d??c?d??x?a??x?b??x?c??x?d?

aa2又f?x??3aa41a-x32aa41bb2b4bb2b3b41cc2c4cc2c3c4d1d2a2-x3d3ad4a41bb2b31b2b3b41cc2c31c2c3c41d d2d311d22a+xd3a3d4a41bb3b41cc3c41d d3d411d4a+xd2a2d4a3对比多项式两种表达形式的系数可得

1aa2a41bb2b41cc2c41d=?a?b??a?c??a?d??b?c??b?d??c?d??a?b?c?d? 2dd4此题还可以有其它的变形，请同学们思考。

x03、证明 ?0anx0证：设Dn??0an?1x?0an?1?1x?0an?1n?10?1?0?000??1x?a1000??1x?a1 、则

?0???x?xn?a1xn?1???an?1?an

an?2?a20?1?0??0???xan?2?a2 Dn?xDn?1???1???1?n?1an?xDn?1?an

?x?xDn?2?an?1??an

?an?an?1x?x2Dn?2

?an?an?1x?an?2x2????x?a1?xn?1

?an?an?1x?an?2x2???a1xn?1?xn ?xn?a1xn?1???an?1x?an

23

4、设n阶行列式D?det?aij?,把D上下翻转、或逆时针旋转900、或依副对

角线翻转、依次得

an1?annD1???a11a1n?annannD3??an1?a1n?? ?a11? , D2???? , ?a1na11?an1n?n?1?2证明 D1?D2???1? 证 D1可通过于是 D1???1?a1nTD2??annD,D3?D

n?n?1?次行交换变为D. 2n?n?1?2D

n?n?1?次列交换变为D 2?a11?? 可通过?an1T2n?n?1?2 于是 D2?D???1?D

a1n?a11?? 在此基础上 ?an1 D3经逆时针旋900可变为 ?ann经

n?n?1?次列交换可变为D 2n?n?1?2于是 D3???1????1?n?n?1?2D?D

5、计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)

xa?aax?a①Dn?

????aa?xanan?1??a1?a?1?n?a?1?n?1?a?11②Dn?1??????a?n?n?a?n?n?1?a?n1

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an?③D2n?bn?a1c1?b1d1?dn

cnx??n?1?aa?ax??n?1?ax?a解 ①Dn?

????x??n?1?aa?x1a?a1x?a ??x??n?1?a?????1a?x1a0x?a??x??n?1?a???00?a?0

???x?an?1???x??n?1?a???x?a?

②Dn?1???1?n?n?1?21a?an1?a?1???a?1?n????1?a?n? ??a?n?n???1?n?n?1?2??1?x??2?x?x??n?x??1?x??2????n?1??x2x1

?n!?n?1?!?2!!! ?n?1?i?z?1??i?z?

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