线性代数总复习(有试题,有讲解)

线性代数的总复习,非常有用,适合学习高数的学生使用

线 性 代 数 复 习 课一、内 容 提 要 二、典 型 例 题 >>>

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线性代数的总复习,非常有用,适合学习高数的学生使用

一、内 容 提 要 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等. 性质2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列 式记号的外面. 性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和, 则该行拆开, 原行列式可以表为相应的两个行列式之和. 性质4 对换两行, 行列式值反号. 性质5 若有两行元素对应成比例, 则行列式值为零. 性质6 把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对 应的元素上去, 行列式的值不变. 设 A, B 为 n 阶矩阵, 则有 | AB | = | A | | B | .首页 上页 返回 下页 结束

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一、内 容 提 要 Laplace [按行列展开]定理 行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余 子式乘积之和. 即 | A | = ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain , (i = 1,2, , n)

| A | = a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj , ( j = 1,2, , n) 设 A = (aij)为 n 阶方阵, 则有

a11 a1, j 1 b1 an1 an, j 1 bn首页 上页 返回

a1, j 1 a1n an, j 1 ann下页 结束

= b1 A1 j b2 A2 j bn An j

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一、内 容 提 要 伴随阵 设 A 为 n 阶方阵, Aij 为(i, j)元的代数余子式, 记 A11 A21 An1 A A22 An 2 A = 12 A A2 n Ann 1n 称 A 为方阵 A 的[转置]伴随阵. 伴随阵的性质 设 A 为 n 阶方阵 A 的伴随阵, 则有

(1) AA = A A = | A | En ; (2) | A | = | A | n 1 .首页 上页 返回 下页 结束

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一、内 容 提 要 逆矩阵 如果存在矩阵 B, 使 AB = BA = E 那么, 称方阵 A 为可逆的, 并称 B 为 A 的逆矩阵. 如果 | A | 0, 那么, 称方阵 A 为非奇异矩阵. 逆阵计算公式 非奇异矩阵 A 的逆阵为 1 1 A = A | A| 定理 设 A, B 为 n 阶方阵, 若 AB = E, 则 A, B 可逆, 且有 A 1 = B, B 1 = A.首页 上页 返回 下页 结束

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一、内 容 提 要 逆矩阵的性质 设 A, B 为 n 阶可逆矩阵, 则有 1 1 (1) | A | = ; | A|(2) ( A 1 ) 1 = A; (3) ( kA) 1

= k A ( k 0); = (A ) ; 1 T

1

1

(4) ( AB ) 1 = B 1 A 1;(5) ( A )T 1

(6) ( A )

1

1 = (A ) = A. | A| 1 上页 返回 下页 结束

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一、内 容 提 要 分块对角阵的性质 设 Ai(i=1,…,s)都是方阵, A = diag( A1, , As ).

(1) | A | = | A1 | | As |;(2) An = diag( A1 , As );

(3) A 可逆的充分必要条件是 Ai(i=1,…,s)都可逆, 且有 A 1 = diag( A1 1, , As 1 )

设 A, B 都是方阵, 则有

A A O = = | A| | B | O B B首页 上页 返回 下页 结束

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一、内 容 提 要 等价矩阵 如果矩阵 A 经过有限次初等(行, 列)变换, 化为矩 阵 B, 就称矩阵 A 与 B (行, 列)等价, 记为 A~B. 矩

阵 A 与 B 行等价的充要条件是: 存在可逆矩阵 P, 使 B = PA.

矩阵 A 与 B 列等价的充要条件是: 存在可逆矩阵 Q, 使 B = AQ.具体地有

A c AQ ( A, E ) ( PA, P ), E Q r首页 上页 返回 下页 结束

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一、内 容 提 要 行阶梯形矩阵 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (a1a2 ar 0) 0 0 结束

0 0 a2

0 ar 0 0

行最简形矩阵 0 a1 1 0 0 0首页

0 0 0 0 a2 1 0 0 0 0 0 0上页

0 0 0 0 0 0 ar 1 0 0返回

0

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一、内 容 提 要 矩阵的秩 如果矩阵 A 的等价标准形为 Er F = O O O

那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 R(A). 性质1 等价矩阵有相等的秩. 性质2 R( Am n ) min{m, n}. 性质3 n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 R(A) = n. 性质4 行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数. 性质5 R( AT ) = R( A).首页 上页 返回 下页 结束

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一、内 容 提 要 矩阵的秩 如果矩阵 A 的等价标准形为 Er F = O O O

那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 R(A). A1 A2 性质6 R( Ai ) R A A . 4 3 性质7 R( A B ) R( A) R( B ).

性质8 R( AB ) min{ R( A), R( B )}. 性质9 若 Am n Bn l = O , 则 R( A) R( B ) n.首页 上页 返回 下页 结束

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一、内 容 提 要 矩阵初等变换的应用 逆矩阵的初等变换求法

( A E ) ( E A 1 ) r

线性方程组的最简形解法 将线性方程组的增广矩阵化为行最简形, 写出同解 方程组, 解便一目了然. 矩阵方程 AX = B, XA = B 的初等变换解法

( A B ) ( E A 1 B ) A c E B BA 1 r首页 上页 返回 下页 结束

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一、内 容 提 要 线性方程组的可解性定理 设 n 元线性方程组 Ax = b. (1) 当 R(A, b)>R(A) 时, 方程组无解; (2) 当 R(A, b)=R(A) = n 时, 方程组有唯一解; (3) 当 R(A, b)=R(A) < n 时, 方程组有无穷多解. n 元方程组 Ax = 0 有非零解的充要条件是 R(A) < n. 当 A为方阵时, Ax = 0 有非零解的充要条件是 | A| = 0. AX = B 有解的充要条件是 R(A) = R(A, B).

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一、内 容 提 要 齐次通解结构定理 设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系为 x1,…, xn r , 其中 r = R( A), 则 Ax = 0 的通解为

x = k1x1 kn rx n r , (k1,…, kn r 为任意数) 非齐次通解结构定理

设 x = h 是 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 的一个 解 (称特解), x1 … xn r 是导出组 Ax = 0 的一个基础解 系, 则 Ax = b 的通解为x = k1x1 kn rx n r h , (k1,…, kn r 为任意数)首页 上页 返回 下页 结束

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一、内 容 提 要 线性组合 设有向量组 a1 , , am 及向量 b, 如果存在一组数

k1 , , km , 使

b = k1a1 km am 那么, 称向量 b 为向量组 a1 , , am 的一个线性组合, 并称向量 b 可由向量组 a1 , , am 线性表示. 设 n m 矩阵 A = (a1 , , am ), 则线性方程组 Ax = b 有一组解 xi = ki ( i = 1, , m ), 等价于

b = k1a1 km am首页 上页 返回 下页 结束

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一、内 容 提 要 线性相关性 设有向量组 a1 , , am , 如果存在一组不全为 0 的数

k1 , , km , 使

k1a1 kmam = 0

那么, 称 a1 , , am 线性相关. 否则, 称 a1 , , am 线性无关. 基本性质 (1) 若向量 b 可由向量组 a1,…, am 线性表示, 则向量组 b, a1,…, am 线性相关. (2) 若部分组线性相关, 则整个向量组也线性相关. (3) 若向量组线性无关, 则任一部分组也线性无关.首页 上页 返回 下页 结束

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一、内 容 提 要 线性相关性 设有向量组 a1 , , am , 如果存在一组不全为 0 的数

k1 , , km , 使

k1a1 kmam = 0

那么, 称 a1 , , am 线性相关. 否则, 称 a1 , , am 线性无关. a1,…, am 线性无关, 也即向量方程 x1a1 xm am = 0

只有零解. 定理 向量组 a1 , , am 线性无关的充分必要条件是

R(a1 , , am ) = m首页 上页 返回 下页 结束

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一、内 容 提 要 向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A). 向量组的最大无关组 设向量组 A 的秩为 r, 如果 a1, …, ar 为 A 中一个线 性无关向量组, 那么称 a1,…,ar 为 A 的一个最大无关组. 最大无关组的性质 设 A 为一向量组, 则部分组 a1,…,ar 为 A 的一个最 大无关组的充分必要条件是 (1) a1,…,ar 线性无关; (2) A 中任一向量可由 a1,…,ar 线性表示.首页 上页 返回 下页 结束

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一、内 容 提 要 秩与最大无关组的一个算法 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.

化矩阵 A 为行最简形 A0, 通过观察 A0, 便知 A 的 列向量组的秩和一个特定的最大无关组, 以及 A 的其 余列向量在该最大无关组下的线性表示.3 1 0 2 0 0 1 4 0 5 r 例 设 (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) 0 0 0 1 7 0 0 0 0 0 则 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的秩为3, 一个最大无关组为 a1 , a2 , a4 ,

且有

a3 = 2a1 4a2 ,首页 上页

a5 = 3a1 5a2 7a4返回 下页 结束

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