2010年数联天地高中组竞赛试题答案

2010年数联天地高中组竞赛试题答案

一、填空题（考生只需要把答案写在答卷上。6*12=72）

1、已知cosy?sinycotx?tan54。，cosy?sinycotx?tan18。则tanx的值?12

2、若函数f（x）?x6?22009x5?x4?x3?22010x2?2x?2009则[f（2009?2010）]2?2010

3、在一个三棱锥中，其中四个面都是直角三角形，且这四个面都相似，则最长边与最短边的比?5?12

10x2?20x?1834、不等式?x?5x（x??1)的解的区间长度为M，3（x?1）x2n2n?1 记N?xn5?3，且数列{xn}满足x1?1，xn?1?423xn?6xn?2那么M?N?4

5、设f（z）?z2?az?b是具有复系数a，b的关于复变量z的二次三项式，且对于满足|z|?1的一切z，都有|f（z）|?1，则2（a?b）的取值范围是?0

ax2?xy?y26、设f（x，y）?，满足maxf（x，y）?minf（x，y）?22222 x2?y2x?y?0x?y?0则a?1?3

x2y27、已知椭圆??1的内接?ABC边AB、AC分别过左右焦点F1、F2，43椭圆左右顶点分别为D、E，直线DB与直线CE交于点P。当点A在椭圆 x2y2上变动时，试求出点p的轨迹方程:??1(y?0)4278、设?ABC的面积为1，点E、F、G分别在边BC、CA、AB上，并设AE与BF交于点RATBRCS1BF与CG交于点S，CG与AE交于点T。若????，则S?RST?(2??5?34??1)TERFSG2(??1)9、在?ABC中，?ACB?90。，AC?BC，D是边AB上的一点线段CD的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N，若AD?a， BD?b（a、b是给定的正整数），求ba的取值范围(2?1,2?1)sin（??4h）?4sin（??3h）?6sin（??2h）?4sin（??h）??10、计算lim3333sin3h?0h4

?32

11、求一个直角三角形，它的边长都是整数，并且它的每一个角都可以用圆规和直尺将它三等份。试写出一个这样的三角形的边长来?（例如?ABC的边长为AB?4913，AC?495，BC?4888）1(取角a，使得6a?90.,且tana是有理数（例如适合tana?的锐角a）42tanatan2a?tana1?tan2a2tana则tan2a?，tan3a?，cos2a?，sin2a?1?tan2a1?tan2atana1?tan2a1?tan2a1?tan23a2tan3acos6a?，sin6a?都是有理数，因此，当直角?A1B1C1适合1?tan23a1?tan23a?C1?90，?A1?6a，A1B1?1，A1C1?cos6a，B1C1?sin6a，时，各边长都是有理数。因此，一定存在一个边长都是整数的?ABC与?A1B1C1相似。（例如：?ABC的边长为AB?4913，AC?495，BC?4888）另一方面，适合?C2?90，?A2?2a，A2B2?1，A2C2?cos2a，B2C2?sin2a，的三角形的各边长也都是有理数，因此可以借助圆规1和直尺作出角2a??A，即将?ABC中的?A三等份。3这就是这个填空题的思路和解法，希望大家好好思考，其他填空自己想

12、向画满间隔为a的平行直线的桌面上任投一直径为l（l?a)的半圆形纸片1 ?l?l，求事件E?{纸片与某直线相交}的概率?2??a

二、解答题(本大题共有4道，请把详细过程写在答卷上。）1、(1)、（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1?a（a?0).且满足

an?1?a2?aSn?Sn，求数列{an}的通项arccotF1?arccotF2?arccotF3????arccotF2n?1?arccotF2n的值2

（2）（10分）、若斐波那契数列{Fn}，F1?F2?1，Fn?2?Fn?1?Fn，求aaa23a2a解：法1：原等式化为（Sn?1?）?（Sn?）?（Sn?）?，令bn?Sn?222423a22323233a22?bn?1?bn?bn??abn?1?abn?abn?43334223?2abn?Un?1?Un?Un?1，再令Un?tanA（A?（0，）），则tanAn?1?tanAn? nn32A?A???1n?1?secAn?tanAn?1?tan（n?），由于An?（0，），?An?1?n??An??（）?242246223a???an?（cot?cot）23*2n3*2n?1令Un?法2：由an?1?a2?aSn?Sn，（故联想到余弦定理），且由正弦定理得：sina122??6*2n?2an3?a?an。?sin1202sin6*2n?2

(2)解：由于Fk?2?Fk?1?Fk，及F2k?1?F2kF2k?2?1，?F?1?F2k?1*F2kF2k?2F2k?F2k?1F2k?2k?1??F2kF2k?1?F2k?2F2k?1?F2k?222F2k?1F2k?2?1F2k?（?11F2k?1?F2k）?F2k?1?F2k?2F2k?1?F2k?2?arccotF2k?arccotF2k?1?arccotF2k?2（这些都是斐波数列的,性质）下面来证：arccotF3?arccotF5????arccotF2k?1?arccotF2k?显然当k?2时，有arccotF3?arccotF4?arccot2?arccot3?arccot2*3?1??2?34?4，（k?2）

?4，假设n?k时，有arccotF3?arccotF5????arccotF2k?1?arccotF2k?那么当n?k?1时，arccotF3?arccotF5????arccotF2k?1?arccotF2k?1?arccotF2k?24所以有arccotF1?arccotF2?arccotF3?arccotF5????arccotF2k?1?arccotF2k??arccotF3?arccotF5????arccotF2k?1?arccotF2k???4??4??4?3?。4

2、(10分）(1)在?ABC中，三边分别为a，b，c，内切圆，外接圆分别为R2rnnn11(2（)10分）已知xi?R?，x?，求证?1???in?1n?1xii?1n?1?xir，R。证明：e?222（b?c）（c?a）（a?b）??2a22b22c2

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