14达朗贝尔原理（动静法）

第14章 达朗贝尔原理（动静法）

14-1 图示由相互铰接的水平臂连成的传送带，将圆柱形零件从一高度传送到另一个高度。设零件与臂之间的摩擦系数fs = 0.2。求：（1）降落加速度a为多大时，零件不致在水平臂上滑动；（2）比值h / d等于多少时，零件在滑动之前先倾倒。

解：取圆柱形零件为研究对象，作受力分析，并虚加上零件的惯性力FI。 （1）零件不滑动时，受力如图（a），它满足以下条件： 摩擦定律 Fs?fsFN （1） 达朗伯原理

?Fx?0

Fs?FIsin30??0 （2） ?Fy?0

FN?FIcos30??mg?0 （3）

把FI = ma代入式（1）、（2）、（3），解得a?2.92 m/s2

2）零件不滑动而倾倒时，约束反力FN已集中到左侧A点 如图（b），零件在惯性力作用下将向左倾倒。 倾倒条件是 ?MA?0 即

d2(?mg?FIcos30?)?FIsin30?h2?0 （4）

以FI = ma代入式（4），解得

hd?2g?a3a

此时零件仍满足式（1），（2），（3），将其结果a?2.92 m/s2代入上式 得

加速度为

l 取重物为研究对象，并虚加惯性力FI，受力如图（b）。

FIx??max?m(r?cos?t?cos2?t)

l?Fx?0, ?FT?mg?FI?0

FT?mg?m?r(cos?t?2hd?5

?B??r?cos?t?ax??x22r2?cos2?t

22r?2按达朗伯原理有

故金属杆受之拉力

rlcos2?t)

14-3 图示矩形块质量m1 = 100 kg，置于平台车上。车质量为m2 = 50 kg，此车沿光滑的水平面运动。车和矩形块在一起由质量为m3的物体牵引，使之作加速运动。设物块与车之间的摩擦力足够阻止相互滑动，求能够使车加速运动而m1块不倒的质量为m3的最大值，以及此时车的加速度大小。

解：取车与矩形块为研究对象如图（a）。 惯性力 FI = (m1 + m2 ) a = 150 a。

?Fx?0,FT?FI?0 , FT?150a 由动静法

取矩形块为研究对象，欲求使车与矩形块一起

加速运动而m1块不倒的m3最大值，应考虑在此时矩形块受车的约束反力FN已集中到左侧A点，如图（b），且矩形块惯性力FI1 = m1a。 由动静法，不翻倒的条件为：

142

?MA?0, FT?1?0.52a??m1g?m1a?g412?0

2将FT = 150 a代入解出 ?2.45 m/s

取物块为研究对象，惯性力FI3 = m3a，如图（c）。 由动静法 FT + m3a - m3g = 0

g150?FT4?50 kg m3??gg?ag?4

14-5 曲柄滑道机械如图所示，已知圆轮半径为r，对转轴的转动惯量为J，轮上作用一不变的力偶M，ABD滑槽的质量为m，不计摩擦。求圆轮的转动微分方程。

解：取C为动点，动系固连于ABD滑槽，C点的绝对加速度分解为aat、aan，滑槽的加速度为ae，则

??sin??r??2cos??r? ae?aatsin??aancos?

其中?为任意角。

取ABD滑槽为研究对象，受力分析如图（a）。 图中 解出

??sin??mr??2cos? 惯性力 FI?mr??Fx?0, FI?FNC?0

2由动静法：

??sin??r??cos?) FNC?m(r???，由动静法： 取圆轮为研究对象，受力分析如图（b），惯性力偶矩MI?J??MO?Crsin??0?0, M?MI?FN2222???mr??cos?sin??M(J?mrsin?)?

14-7 图示为均质细杆弯成的圆环，半径为r，转轴O通过圆心垂直于环面，A端自由，AD段为微小缺口，设圆环以匀角速度?绕轴O转动，环的线密度为?，不计重力，求任意截面B处对AB段的约束反力。 解：（1）图（a），取图示坐标，分布惯性力向外，由对称性，其合力在y轴投影为0，即

FIy?0π??π??r???rd?cos???r?222

FIx???2π??222??2π??2cos?d?

??r??2sinπ??2?2?r?cos22?2 143

（2）图（b） ?MB?0 , MB?FIx?rsin(π??22)?2?r?cos322?22???r(1?cos?)23?Ft?0 , FTB?FIxcos(?Fn?0 , FNB?FIxcosπ??)?FIxsin22?2??r?sin?2

?2???r(1?cos?)

14-9 转速表的简化模型如图示。杆CD杆与转轴 CD的两端各有质量为m的C球和D球，AB铰接，质量不计。当转轴AB转动时，CD杆的转角?就发生变化。设??0时，???0，且弹簧中无力。弹簧产生的力矩M与转角?的关系为M?k(???0)，k为弹簧刚度。试求角速度?与角?之间的关系。

解：取二球及CD杆为研究对象如图，由动静法

?Mx?0,M?2FI?lcos??0 其中惯性力 代换前式得

FI?m?lsin???

k(???0)?2?m?lsin????lcos??0

22 ??k(???0)mlsin2?2

14-11 所图所示，质量为m1的物体A下落时，带动质量为m2的均质圆盘B转动，不计支架和绳子的重量及轴上的摩擦，BC?a，盘B的半径为R。求固定端C的约束力。 解：（1）图（a），?MB?0

JB??m1a?R?m1gR?0

12m2R?2aR?m1Ra?m1Rg?0

a?2m1m2?2m1g

?Fx?0，FBx?0

?Fy?0，FBy?m2g?m1a?m1g?0

2

FBy?3m1m2?m22m1?m2g

（2）图（b）

144

?Fx?0，FCx?0 ?Fy?0，FCy?3m1m2?m22m1?m2?2g ag

?MC?0，M(3m1?m2)m22m1?m2C

14-13 图示为升降重物用的叉车，B为可动圆滚（滚动支座），叉头DBC用铰链C与铅直导杆连接。由于液压机构的作用，可使导杆在铅直方向上升或下降，因而可升降重物。已知叉车连同铅直导杆的质量为1500 kg，质心在G1；叉头与重物的共同质量为800 kg，质心在G2。如果叉头向上加速度使得后轮A的约束力等于零，求这时滚轮B的约束力。

解：（1）整体平衡受力图（a）

?ME?0，m2(a?g)?m1g 800(a?g)?1500g

a?78g

（2）受力图（b），平衡

?MFB?C?0，0.9FB?m2(a?g)?0.6 23m2(a?g)?23?800?(78?1)?9.8?9.8?10 N?9.8 kN

3

14-15 图示曲柄OA质量为m1，长为r，以等角速度?绕水平的O轴反时针方向转动。曲柄的A端推动水平板B，使质量为m2的滑杆C沿铅直方向运动。忽略摩擦，求当曲柄与水平方向夹角30?时的力偶矩M及轴承O的反力。

解：取曲柄OA上A点为动点，动系固连于滑杆BC上，则有

ae?aasin30??12r?

2（1）、取滑杆BC为研究对象，受力分析如图（a） 由动静法

?Fy?0,FN?FI1?m2g?0 式中 解出

FI1?m2ae?m2r?/2

2FN?m2g?m22r?

2 （2）、取曲柄OA为研究对象，由动静法 ?MO?0，

145

M?FN?r

M?34321?m1gr2?32?0

22?r(mg?2mg)?m2r?232?0

?

?Fx?0，?FOx?FI式中

FI?m1?r?22

3m1r?

12?m1g?0 r?

2代入解出

FOx?24?Fy?0，FOy?FN?FI?FOy?m1g?m2g?m1?2m2414-17 图示均质板质量为m，放在两个均质圆柱滚子上，滚子质量皆为如在板上作用一水平力F，并设滚子无滑动，求板的加速度。 解：设板的加速度为a，则滚子中心的加速度为

a2m2，其半径均为r。

。

1）取圆柱A为研究对象，见图（a）之左上部，其惯性力

FIA?mam??a 224MIA惯性力偶矩 ?1m2am(r)?()?ra 222r8由动静法有

??2r?0 ?MD?0, FIA?r?MIA?FA??把FIA，MIA代入，解得FA3m16a

FB??3m16a

2）取圆柱B为研究对象，见图（a）之右上部，同理可得

3）取板为研究对象，见图（a）之下部，惯性力FI = ma，由动静法有

F – FI – FA – FB = 0 以上结果代入，解出

a?8F11m

14-19 图示磨刀砂轮I质量m1 = 1 kg，其偏心距e1 = 0.5 mm，小砂轮Ⅱ质量m2 = 0.5 kg，偏心距e2 = 1 mm。电机转子Ⅲ质量m3 = 8 kg，无偏心，带动砂轮旋转，转速n = 3000 r/min。求转动时轴承A、B的附加动反力。

解：取整个系统为研究对象，受力如图（a）所示。

因为转速n = 常量， 所以 角加速度?= 0，惯性力偶矩MI = 0

FI1?m1e1?2?1?0.5?102?3(3000π30(3000π30)?5π N22

FI2?m2e2??0.5?1?10?3

)?5π N22 146

因FI1与FI2大小相等方向相反，故组成一力偶，FNA、FNB也必成一力偶，方向如图（a）所示。

由动静法?M?0得：FNA?FNB?0.30.2FI1?15?5π2?74N

14-20 三圆盘A、B和C质量各为12 kg，共同固结在x轴上，其位置如图所示。若A盘质心G距轴5 mm，而盘B和C的质心在轴上。今若将两个皆为1 kg的均衡质量分别放在B和C盘上，问应如何放置可使物系达到动平衡？

解：取整个系统为研究对象，设D1、D2各为两平衡质量的质心，偏心距分别为e1及e2 mm，偏心方向与y方向的夹角分别为?，?，转轴角速度为?，则惯性力大小分别为

FI?12?51000e2??226?22100 N, FI1?1? N

e11000??2e1?21000 N

及 FI2?1?10001000 FI平行于z轴，又FI1与y轴夹角为?，FI2与y轴夹角为?。

??e2? 根据动静法，系统达到动平衡时，惯性力系应为平衡力系，于是有

?Fy?0, FI1cos??FI2cos??0 （1）

?Fz?0, FI?FI1sin??FI2sin??0 （2）

y ?M?M?0, 320FI?FI1sin??200?FI2sin??80?0 （3）

z?0, FI1cos??200?FI2cos??80?0

π2,??π2,e1?120 mm,e2?60 mm

（4）

把FI、FI1、FI2代入解得

??? 可见动平衡时，D1、D2两点到轴的距离分别为e1 = 120 mm，e2 = 60 mm。D1、D2在G

与轴构成的平面内，D1与G在轴的相反两侧，D2与G在轴的同侧。

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因FI1与FI2大小相等方向相反，故组成一力偶，FNA、FNB也必成一力偶，方向如图（a）所示。

由动静法?M?0得：FNA?FNB?0.30.2FI1?15?5π2?74N

14-20 三圆盘A、B和C质量各为12 kg，共同固结在x轴上，其位置如图所示。若A盘质心G距轴5 mm，而盘B和C的质心在轴上。今若将两个皆为1 kg的均衡质量分别放在B和C盘上，问应如何放置可使物系达到动平衡？

解：取整个系统为研究对象，设D1、D2各为两平衡质量的质心，偏心距分别为e1及e2 mm，偏心方向与y方向的夹角分别为?，?，转轴角速度为?，则惯性力大小分别为

FI?12?51000e2??226?22100 N, FI1?1? N

e11000??2e1?21000 N

及 FI2?1?10001000 FI平行于z轴，又FI1与y轴夹角为?，FI2与y轴夹角为?。

??e2? 根据动静法，系统达到动平衡时，惯性力系应为平衡力系，于是有

?Fy?0, FI1cos??FI2cos??0 （1）

?Fz?0, FI?FI1sin??FI2sin??0 （2）

y ?M?M?0, 320FI?FI1sin??200?FI2sin??80?0 （3）

z?0, FI1cos??200?FI2cos??80?0

π2,??π2,e1?120 mm,e2?60 mm

（4）

把FI、FI1、FI2代入解得

??? 可见动平衡时，D1、D2两点到轴的距离分别为e1 = 120 mm，e2 = 60 mm。D1、D2在G

与轴构成的平面内，D1与G在轴的相反两侧，D2与G在轴的同侧。

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