2010届高考数学知识点总结精华版

高中数学第一章-集合

榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com 考试内容：

集合、子集、补集、交集、并集．

逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．

考试要求： 榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com

（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．

§01. 集合与简易逻辑 知识要点

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：

二、知识回顾：

（一） 集合

1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为A?A； ②空集是任何集合的子集，记为??A； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果A?B，同时B?A，那么A = B. 如果A?B，B?C，那么A?C.

[注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （3）

②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（3）（例：S=N； A=N?，则CsA= {0}）

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③ 空集的补集是全集.

④若集合A=集合B，则CBA = ?， CAB = ? CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ?）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R

?二、四象限的点集.

③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例：

?x?y?3 ?2x?3y?1? 解的集合{(2，1)}.

2

②点集与数集的交集是?. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x+1} 则A∩B =?） 4. ①n个元素的子集有2个. ②n个元素的真子集有2 －1个. ③n个元素的非空真子

集有2n－2个.

5. ?①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若a?b?5，则a?2或b?3应是真命题.

解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②x?1且y?2， x?y?3. 解：逆否：x + y =3

?x?1且y?2n

n

x = 1或y = 2.

x?y?3,故x?y?3是x?1且y?2的既不是充分，又不是必要条件.

?小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若x?5，?x?5或x?2. 4. 集合运算：交、并、补.

交：A?B?{x|x?A,且x?B}并：A?B?{x|x?A或x?B} 补：CUA?{x?U,且x?A}5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：

A?A,??A,A?U,CUA?U,A?B,B?C?A?C;A?B?A,A?B?B;A?B?A,A?B?B.

（2） 等价关系：A?B?A?B?A?A?B?B?CUA?B?U （3） 集合的运算律：

交换律：A?B?B?A;A?B?B?A.

结合律:(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C) 分配律:.A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C)

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0-1律：??A??,??A?A,U?A?A,U?A?U 等幂律：A?A?A,A?A?A.

求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U ?CUU=φ ?CUφ=U

反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)

6. 有限集的元素个数

定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.

基本公式：

(1)card(A?B)?card(A)?card(B)?card(A?B)(2)card(A?B?C)?card(A)?card(B)?card(C)?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C)

(3) card(?UA)= card(U)- card(A)

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）

①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)?(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为

了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等

式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.

x1x2x3xm-3-xm-2xm-1+-xm+x

（自右向左正负相间） 则不等式a0x?a1xnn?1?a2xn?2???an?0(?0)(a0?0)的解可以根据各区间的符号

确定.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论. 二次函数 y?ax2 ??0 ??0 ??0 ?bx?c （a?0）的图象 第 3 页 共 75 页

一元二次方程 ax2有两相异实根 x1,x2(x1?x2) 有两相等实根 x1?x2??b2a?bx?c?0?a?0?的根2 无实根 ax?bx?c?0(a?0)的解集ax?bx?c?0(a?0)的解集2 ?xx?x或x?x? 12?b?xx???? 2a?? R ? ?xx1?x?x2? ?

2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为

f(x)g(x)>0(或

f(x)g(x)<0)；

f(x)g(x) ≥0(或

f(x)g(x)≤0)的形式，

（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法

f(x)g(x)?0?f(x)g(x)?0;f(x)g(x)?0 ?0???g(x)?0?g(x)f(x)（1）公式法：ax?b?c,与ax?b?c(c?0)型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.

（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.

（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑

1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。

3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；

（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；

（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．

4、四种命题的形式：

原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；

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互否否命题若┐p则┐q原命题若p则q互逆互为为互否逆命题若q则p互否逆否命题若┐q则┐p逆逆否互逆

否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 5、四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题?逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知p?q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。 若p?q且q?p,则称p是q的充要条件，记为p?q.

7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理?)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

高中数学第二章-函数

考试内容：

映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系．

指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用． 考试要求：

（1）了解映射的概念，理解函数的概念．

（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质．

（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．

一、本章知识网络结构：

定义F:A?B反函数映射函数具体函数一般研究图像 性质 二次函数指数指数函数对数对数函数§02. 函数 知识要点

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二、知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数

函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数

反函数的定义

设函数y?f(x)(x?A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=?(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=?(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=?(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=?(y) (y?C)叫做函数

y?f(x)(x?A)的反函数，记作x?f?1(y),习惯上改写成

y?f?1(x)

（二）函数的性质 ⒈函数的单调性

定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, ?若当x1f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性

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正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）f(?x)?f(x)或f(?x)??f(x)是定义域上的恒等式。 2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反. 4．如果f(x)是偶函数，则f(x)?f(|x|)，反之亦成立。若奇函数在x?0时有意义，则f(0)?0。

7. 奇函数，偶函数： ?偶函数：f(?x)?f(x)

设（a,b）为偶函数上一点，则（?a,b）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于y轴对称，例如：y?x2?1在[1,?1)上不是偶函数. ②满足f(?x)?f(x)，或f(?x)?f(x)?0，若f(x)?0时，?奇函数：f(?x)??f(x)

设（a,b）为奇函数上一点，则（?a,?b）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于原点对称，例如：y?x3在[1,?1)上不是奇函数. ②满足f(?x)??f(x)，或f(?x)?f(x)?0，若f(x)?0时，

y轴对称8. 对称变换：①y = f（x）?????f(x)f(?x)?1.

f(x)f(?x)??1.

y?f（?x）x轴对称②y =f（x）????? y??f（x） y??f（?x）③y =f（x）?原点对称????9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：

(x1?x2) f(x)?f(x)?x2?b2?x2?b2?（x1?x2）

在进行讨论.

1212xx?b22?x1?b2210. 外层函数的定义域是内层函数的值域.

x例如：已知函数f（x）= 1+的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A与

1?xB?A集合B之间的关系是 .

解：f(x)的值域是f(f(x))的定义域B，f(x)的值域?R，故B?R，而A??x|x?1?，故B?A. 11. 常用变换： ①

f(x?y)?f(x)f(y)?f(x?y)?f(x)f(y).

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f(y)f(x)证：②

f(f(x?y)?xy?f(x)?f[(x?y)?y]?f(x?y)f(y)

)?f(x)?f(y)?f(x?y)?f(x)?f(y)xyxy

证：

f(x)?f(?y)?f()?f(y)

12. ?熟悉常用函数图象：

例：y?2→|x|关于y轴对称.

▲▲|x|?1?y????2?|x?2|→

?1?y????2?▲|x|→

?1?y????2?|x?2|

yyy(-2,1)(0,1)xxx

y?|2x?2x?1|→|y|关于x轴对称.

2

▲

y

?熟悉分式图象： 例：y?2x?1x?3?2?7x?3x?定义域{x|x?3,x?R}， x值域{y|y?2,y?R}→值域?（三）指数函数与对数函数

x前的系数之比.

▲y2x3指数函数y?a(a?0且a?1)的图象和性质 图 象 -4-3-2-1a>1 4.5400时，y>1;x<0时，00时，01. （5）在R上是减函数 第 8 页 共 75 页

a>1 对数函数y=logax的图象和性质: 对数运算：

0

b?logc?logca?1a3?...?logan?1a2?loga2an?loga1ann（以上M?0,N?0,a?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a1,a2...a

?0且?1）

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yy=logaxa>1图 象 Oxx=1a<1 （1）定义域：（0，+∞） （2）值域：R （3）过点（1，0），即当x=1时，y=0 性 质 （4）x?(0,1)时 y?0 x?(0,1)时 y?0 x?(1,??)时 y>0 （5）在（0，+∞）上是增函数

注?：当a,b?：当M?0x?(1,??)时y?0在（0，+∞）上是减函数 时，log(a?b)?log(?a)?log(?b).

是偶数时且M?0?0时，取“+”，当n时，Mn?0，而M?0，故取“—”.

2例如：logax?2logax?(2logax中x＞0而logax2中x∈R）.

?y?ax（a当a

?0,a?1）与y?logax互为反函数.

a?1时，则相反.

?1时，y?logax的a值越大，越靠近x轴；当0?

（四）方法总结

?.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同. ?对数运算：

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②y?sinx与y?cosx的周期是?.

?cos(?x??)??③y?sin(?x??)或yy?tanx2（??0）的周期T?2??.

的周期为2?（T??T?2?，如图，翻折无效）.

?2④y?sin(?x??)的对称轴方程是x对称轴方程是x原点对称?k??（k?Z），对称中心（k?,0）；y?12?cos(?x??)的

?k?（k?Z），对称中心（k?；y?,0）

?ant(（?x??)的对称中心

k?2. ,0）

y?cos2x?????y??cos(?2x)??cos2x

⑤当tan?·tan?⑥y?cosx?1,????k???2(k?Z)；tan?·tan???1,????k???2(k?Z).

??与y?sin??2k??是同一函数,而y?(?x??)是偶函数，则 ?x??2?12y?(?x??)?sin(?x?k???)??cos(?x).

⑦函数y?tanx在R上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y?tanx为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：

f(?x)??f(x)）

f(?x)?f(x)，奇函数：

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：y?tanx是奇函数，y?tan(x?义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若0?x的定义域，则f(x)一定有质）

f(0)?0.（013?)是非奇非偶.（定

?x的定义域，则无此性

▲⑨y?siny?cosxx不是周期函数；y?sinx为周期函数（T??）； y▲yx1/2x是周期函数（如图）；y?cosx为周期函数（T??）； y=cos|x|图象y?cos2x?12的周期为?（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

y=|cos2x+1/2|图象y?f(x)?5?f(x?k),k?R.

⑩y?acos??bsin??a?b22sin(???)?cos??ba 有a2?b2?y.

11、三角函数图象的作法：

１）、几何法：

２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切

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曲线）.

３）、利用图象变换作三角函数图象．

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T?2?|?|，频率f?1T?|?|2?，相位?x??;初相?（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1|倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx

?替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x) 由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

4、反三角函数：

函数y＝sinx，??????的反函数叫做反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域是［－1，?x??，?????2?2???1］，值域是?????－2，2???．

函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函数y＝tanx，?记作y＝arctanx，它的定义域是（－?????的反函数叫做反正切函数，?x??，?????2??2??∞，＋∞），值域是???，??．

???22?函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

II. 竞赛知识要点

一、反三角函数.

1. 反三角函数：?反正弦函数y?arcsinx是奇函数，故arcsin(?x)??arcsinx，?x???1,1（一定要注明定义域，若x????,???，没有x与y一一对应，故y?sinx无反函数）

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注：sin(arcsinx)?x，x???1,1?，arcsinx????,??.

???22??反余弦函数y?arccosx非奇非偶，但有arccos(?x)?arccos(x)???2k?，x???1,1?.

注：①cos(arccosx)?x，x???1,1?，arccosx??0,??.

②y?cosx是偶函数，y?arccosx非奇非偶，而y?sinx和y?arcsinx为奇函数. ?反正切函数：y?arctanx，定义域(??,??)，值域（??(??,??). 注：tan(arctanx)?x，x?(??,??).

arctan(?x)??arctanx，x??2,2），y?arctanx是奇函数，

?反余切函数：y?arccotx，定义域(??,??)，值域（?偶.

arccot(?x)?arccot(x)???2k?，x?(??,??).

??2,2），y?arccotx是非奇非

注：①cot(arccotx)?x，x?(??,??).

②y?arcsinx与y?arcsin(1?x)互为奇函数，y?arctanx同理为奇而y?arccosx与y?arc非奇非偶但满足arccos(?x)?arccosx???2k?,x?[?1,1]arccotx?arccot(?x)???2k?,x?[?1,1]. ? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：

a的取值范围 解集 ①sinx?acotxa的取值范围 解集

的解集 ②cosx?a的解集

a＞1 ? a＞1 ?

a=1 ?x|x?2k?a＜1

?arcsina,k?Z?

k a=1 ?x|x?2k??arccosa,k?Z?

?x|x?k????1??arcsian,k?Z? a＜1 ?x|x?k??arccosa,k?Z?

③tan③cotx?a的解集：x|x?k??arctana,k?Z?

x?a的解集：?x|x?k??arccota,k?Z?

二、三角恒等式. 组一

组二

ncos?cos2?cos4?...cos2??nsin22n?1n?1?sin3??3sin??4sin?cos3??4cos??3cos?33sin2??sin22??sin?????sin?????2sin??cos??cos??k?1cos?2k?cos?2cos?4cos?8?cos?2n?sin?2sinn?2n

n?k?0ncos(x?kd)?cosx?cos(x?d)???cos(x?nd)?sin((n?1)d)cos(x?nd)sind

?sin(x?kd)?sinx?sin(x?d)???sin(x?nd)?k?0sin((n?1)d)sin(x?nd)sind

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tan??tan??tan??tan?tan?tan?1?tan?tan??tan?tan??tan?tan?tan(?????)?

组三 三角函数不等式

sinx＜x＜tan??x,x?(0,?2)

f(x)?sinxx在(0,?)上是减函数

若A?B?C，则x2?y2?z2?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC

高中数学第五章-平面向量

考试内容：

向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移．

考试要求：

（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法．

（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．

（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．

（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．

§05. 平面向量 知识要点

1.本章知识网络结构

2.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB；字母表示：a； 坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.

(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. (4)特殊的向量：零向量a＝O?｜a｜＝O.

单位向量aO为单位向量?｜aO｜＝1.

?x1?x2(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）??

y?y2?1(6) 相反向量：a=-b?b=-a?a+b=0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.

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3.向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 ????a?b?b?a ??????(a?b)?c?a?(b?c) 向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 ??a?b?(x1?x2,y1?y2) AB?BC?AC 向量的 减法 三角形法则 ??a?b?(x1?x2,y1?y2) ????a?b?a?(?b) ????????AB??BA,OB?OA?AB ?1.?a是一个向量,满??足:|?a|?|?||a| ???(?a)?(??)a ???(???)a??a??a ?????(a?b)??a??b 数 乘 向 量 ??2.?>0时, ?a与a同向; ???<0时, ?a与a异向; ??a?(?x,?y) ???=0时, ?a?0. ??a?b是一个数 ????a//b?a??b ????a?b?b?a ??????(?a)?b?a?(?b)??(a?b) 向 量 的 数 量 积 ????1.a?0或b?0时， ??a?b?0. ????a?0且b?0时，2.???? a?b?|a||b|cos(a,b)??a?b?x1x2?y1y2 ???????(a?b)?c?a?c?b?c ?2???2a?|a|即|a|=????|a?b|?|a||b| x?y 224.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理

e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，

λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)两个向量平行的充要条件

a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件

a⊥b?a2b＝O?x1x2＋y1y2＝O. (4)线段的定比分点公式

设点P分有向线段P1P2所成的比为λ，即P1P＝λPP2，则

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1图

OP＝

11??OP1＋

11??OP2 (线段的定比分点的向量公式)

x1??x2?x?,??1?? (线段定比分点的坐标公式) ??y?y1??y2.?1???当λ＝1时，得中点公式：

x1?x2?x?,?1?2 OP＝（OP1＋OP2）或?2?y?y1?y2.?2? (5)平移公式

设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′）， 则OP?＝OP+a或??x??x?h,?y??y?k.

曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y－ｋ＝f（x－ｈ)

(6)正、余弦定理

正弦定理：

asinA?bsinB?csinC?2R.

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC.

（7）三角形面积计算公式：

设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.

①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC2ab=1/2ac2sinB=1/2cb2sinA ⑤S△=

P?P?a??P?b??P?c? [海伦公式]

⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb

A[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心. 如图： A c D BIaECraIAEbFABccbOBFFbDaEraraCNCCaB

图2 图3 图4

图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr

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图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra

附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点.

垂心：三角形三边上的高相交于一点.

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

?已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即

a?b?c2]

则：①AE=s?a=1/2（b+c-a） ②BN=s?b=1/2（a+c-b） ③FC=s?c=1/2（a+b-c）

a?b?c2aba?b?c综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=?在△ABC中，有下列等式成立tan证明：因为A?B?（如图3）.

A?tanB?tanC?tanAtanBtanC.

??tanC???C,所以tan?A?B??tan???C?，所以

tanA?tanB1?tanAtanB2，?结论！

?在△ABC中，D是BC上任意一点，则AD2?AC2BD?ABBCBC?BD?DC.

证明：在△ABCD中，由余弦定理，有AD2?AB2?BD2?2?AB?BDcosB?① 在△ABC中，由余弦定理有cos可得，AD2B?AB?BC?AC2AB?BC222?②，②代入①，化简

A?AC2BD?ABBCBC2?BD?DC（斯德瓦定理）

2图5①若AD是BC上的中线，ma②若AD是∠A的平分线，③若AD是BC上的高，ha?△ABC的判定：

??12 2b2?2c?a2；

B为半周长； DCcbcp?pa?，其中p2ap?p?a??p?b??p?c?，其中p为半周长.

c?a?b?△ABC为直角△?∠A + ∠B =?

22222c＜a2?b2?△ABC为钝角△?∠A + ∠B＜＞a2?b2?△ABC为锐角△?∠A + ∠B＞

?a?b?c2ab222?2

c2?2附：证明：cosC，得在钝角△ABC中，cosC?0?a2?b2?c2?0,?a2?b2?c2

?平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.

a?b?a?b?2(a?b)

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空间向量

1．空间向量的概念：

具有大小和方向的量叫做向量 注：?空间的一个平移就是一个向量 ?向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ?空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下

??OB?OA?AB?a?b ??BA?OA?OB?a?b

?OP??a(??R)

????运算律：?加法交换律：a?b?b?a

?加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

?????数乘分配律：?(a?b)??a??b

??????3 共线向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平

????行向量．a平行于b记作a//b．

??????当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是

同一直线，也可能是平行直线． 4．共线向量定理及其推论：

??????共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，??使a＝λb.

推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式

?OP?OA?ta．

?其中向量a叫做直线l的方向向量. 5．向量与平面平行：

??????已知平面?和向量a，作OA?a，如果直线OA平行于?或在?内，那么我们说向量??a平行于平面?，记作：a//?．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 6．共面向量定理：

??????如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使

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???p?xa?yb 推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使?????????????????????????????MP?xMA?yMB或对空间任一点O，有OP?OM?xMA?yMB ① ①式叫做平面MAB的向量表达式

7 空间向量基本定理：

????如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组????x,y,z，使p?xa?yb?zc 推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个

????????????????有序实数x,y,z，使OP?xOA?yOB?zOC 8 空间向量的夹角及其表示：

?????????????O已知两非零向量a,b，在空间任取一点，作OA?a,OB?b，则?AOB叫做向量a与

?????????b的夹角，记作?a,b?；且规定0??a,b???，显然有?a,b???b,a?；若????????a,b??，则称a与b互相垂直，记作：a?b.

29．向量的模：

???????????设OA?a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|.

??????10．向量的数量积： a?b?|a|?|b|?cos?a,b?．

??????已知向量AB?a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A?，

作点B在l上的射影B?，则A?B?叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影.

??????????????????可以证明A?B?的长度|A?B?|?|AB|cos?a,e??|a?e|．

??????????11．空间向量数量积的性质：

?????2???????（1）a?e?|a|cos?a,e?．（2）a?b?a?b?0．（3）|a|?a?a．

12．空间向量数量积运算律：

?????????????????（1）(?a)?b??(a?b)?a?(?b)．（2）a?b?b?a（交换律）（3）a?(b?c)?a?b?a?c（分配律）．

空间向量的坐标运算

一．知识回顾：

（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.

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①令a=(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，则

a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)a1b1?a2b2?a3b3a?b?a1b1?a2b2?a3b3a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0

a∥b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)?21

a?a?a?a?a22?a23(用到常用的向量模与向量之间的转化：a2?a?a?a?a?a)

a1b1?a2b2?a3b3??cos?a,b????a?b???|a|?|b|

?2b32a1?2a2?2a3?2b1?2b2②空间两点的距离公式：d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.

（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作a??，如果a??那么向量a叫做平面?的法向量.

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条射线，其中A??，则点B到平面?的距离为|AB?n||n|. ②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角??l??中平面?,?的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，n1,n2反方，则为其夹角）.

③证直线和平面平行定理：已知直线a??平面?，A?B?a,C?D??，且CDE三点不共线，则a∥?的充要条件是存在有序实数对???使AB?,???CD??CE.（常设AB??CD??CE求解

若?,?存在即证毕，若?,?不存在，则直线AB与平面相交）.

ABBn▲??A▲n1CDEn2??C

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