高等数学(上)复习指导及要点解答

第1章 函数

内容提要

[主要内容]

变量、集合、区间及邻域的概念，集合的运算，映射与函数的概念，函数的表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，反函数、复合函数、基本初等函数、分段函数的性质及其图形，初等函数的概念。

1．变量、集合、区间

在整个考察过程中始终保持不变的量，称为常量；在考察过程中能取不同数值的量称为变量。

一组对象的汇集或总体，称为集合或集，常用大写英文字母A、B、C等表示；集合中的每一个对象称为集合的元素，常用小写字母a、b、c等表示。若a是集合A中的元

素，称a属于A，记为a?A，否则称a不属于A，记为a?A。 集合的表示法常用的有列举法和表示法。列举法是将所有元素一一列于一个大括号内，

{x|P}描述法一般写成，其中x是元素的一般形式，P表示集合中的每个x都具有的性质。 空集记为?。常用集合有实数集R，有理数集Q，非整数集N，自然数集

R数集?。实数和数轴上的点一一对应，实数集R亦称为数直线R。

(a,b)?{x|a?x?b}[a,b)?{x|a?x?b}(??,b]N?，正实

区间是一种特殊的集合。闭区间[a,b]?{x|a?x?b}，开区间

，左开右闭区间(a,b]?{x|a?x?b}，左闭右开区间，无穷区间(??,??)?{x|???x???}?R，半无穷区间

x0，(??,b)，[a,??)，(a,??)。

表示包含点

x0N(x0)的任一开区间，称为点

x的邻域；

?(x)?N(x)?{x}N000表示点0的去心邻域； N(x0,?)?{x||x?x0|??}?(x0??,x0??)，称为点

x0的?邻域；

，称为点

x0?(x,?)?{x|0?|x?x|??}?(x??,x)?(x,x??)N000000的去心

?邻域。

2．集合运算

子集：对于两个给定的集合A和B，若A的任何一个元素x，都有x?B，则称集合A是集合B的子集，记作A?B或B?A。

相等：对于两个集合A和B，如果A?B与B?A同时成立，就称两个集合A与B相等，记作A?B。

交集：对于两个给定的集合A和B，由同时属于这两个集合的元素组成的集合，叫作

A?B?{x|x?Ax?B}集合A和B的交集，记作A?B或AB，即，且。

性质：A?B?B?A，A?A?A，A???? 并集：对于两个给定的集合A和B，由这两个集合的所有元素组成的集合，叫作集合AA?B?{x|x?Ax?B}和B的并集，记作A?B或A?B，即或。

性质：A?B?B?A，A?A?A，A???A

差集：对于两个给定的集合A和B，由属于A但不属于B的元素组成的集合，称为AA?B?{x|x?Ax?B}与B的差集，记作A?B，即，且。

3．映射、函数

映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种规则f，使对于集合A中的任一元素a，可在B中确定唯一的元素b与它对应，就称f是从A到B映射或映照，记为f：A?B。元素b称为元素a在映射f下的像，记为b?f(a)。对于元素b?B，称{x|f(x)?b,x?A}为元素b?B在映射f下的原像。

函数：设E是一个实数的集合，若根据某个确定的规则f，使对于E中的每一个x，都有唯一确定的实数y与之对应，就说在E上给定了一个单值函数，记作y?f(x)，

(x?E)。规则f是函数的记号；称x为自变量，集合E为函数f(x)的定义域；称y为因

变量，集合E1?{y|y?f(x),x?E}为函数f(x)的值域，也可记为E1?f(E)。

函数的两要素：定义域和对应规则。只有当两个函数的定义域和对应规则都完全相同时，这两个函数才是相同的函数。

4．函数的表示、分段函数、绝对值与三角不等式

函数的表示法：图形表示法、列表表示法和解析表示法。

分段函数：在自变量的不同范围内用不同运算式表示的函数称为分段函数。 绝对值：实数x的绝对值|x|是一个非负实数，其定义为

?x,|x|????x,x?0x?0基本不等式： （１）

?x?x?x

（２）|x|?a??a?x?a (a?0) （３）|x?y|?|x|?|y|（三角不等式） |x?y|?|x|?|y|（４） 5．函数的性质 （1）有界性

设函数函数值

f(x)f(x)在集合X上有定义，若存在正数M，使对集合X内任意一值x，对应的

|f(x)|?M都有，则称函数

x0f(x)在X上有界；若这样的M不存在，即对任

成立，则称函数

f(x)一正数M，集合X内总存在点

（2）单调性

，使

|f(x0)|?M在X上无界。

x?x2f(x1)?f(x2)f(x1)?f(x2)如果对于区间X内任意两点1，总成立着（或，

则称函数f(x)在区间X内（严格）单调增加（或单调减少）。

x?x2f(x1)?f(x2)f(x1)?f(x2)如果对于区间X内任意两点1，总成立着（或，则称函数f(x)在区间X内非严格单调增加（或非严格单调减少）。 （3）奇偶性

f(x)(?l,l)(?l,l)f(?x)?f(x)设函数在区间内有定义，若对内任意一x，都有成

f(x)(?l,l)(?l,l)f(?x)??f(x)立，则称函数是内的偶函数；若对内任意一x，都有成立，则称函数是

（4）周期性

f(x)f(x)(?l,l)内的奇函数。

f(x?T)?f(x)若存在非零实数T，使对定义域X内的一切x，等式总成立，则称

为X上的周期函数，并称T为是所有的周期函数都有最小正周期。

f(x)的周期。通常所说的周期为其最小正周期，当不

6．初等函数

（1）反函数：对于以X为定义域，Y为值域的函数y?f(x)，若对集合Y中的任意一个y，在集合X中可唯一确定一个满足y?f(x)的数x与之对应，则这一对应关系确定了一个以y为自变量，x为因变量的函数x??(y)。这个函数x??(y)就称为y?f(x)的反函数。

（2）复合函数：设y是u的函数y?f(u)，其定义域为U；而u是x的函数u?g(x)，

u?g(x)其定义域为X，值域为U*，且U*?U，则对于X中的每一个x值，经过中间值，

yy唯一地对应一个确定的值。于是因变量经过中间变量u而成为自变量x的函数，记为

（x?X），称为函数和的复合函数。

（3）基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。

（4）初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次四则运算及有限次复合所得到的函数称为初等函数。

y?f[g(x)]y?f(u)u?g(x)复习指导

一元函数的概念，函数的单调性、奇偶性、周期性以及初等函数的性质及其图形在中学数学中早已熟悉了，这里不再赘述。下列仅对值得提醒的内容作一复述。 1．函数的有界性

设

f(x)的定义域为D，数集X?D，

f(x)?kf(x)?kf(x)（1）如果存在数k，对于所有x?X，恒有（），则称函数在f(x)X上有上界（下界）。数k称为函数在X上的一个上界（下界）。

|f(x)|?MM?0x?Xf(x)（2）如果存在一个数，对于任何，使得成立，则称函数

f(x)f(x)在X上有界，数M为函数在X上的一个界。否则称函数在X上无界。

f(x)（3）界不唯一。如果M?0为函数在X上的一个界，则任何比M大的正数也

是它在X上的界，所以一个有界函数必有无穷多个界。

（4）函数

2．反函数

设函数y?f(x)的定义域是D，值域是Z。如果对于每一个y?Z，存在惟一的x?D满足函数f(x)?y，把函数y看作自变量，把x看作因变量，则x是一个定义在

y?Zf(x)在X上有界的充分必要条件为

f(x)在X上既有上界又有下界。

上的函数，记此函数为

x?f?1(y) （y?Z）

并称之为y?f(x)（x?D）的反函数。

y习惯上常以x表示自变量，表示因变量，故常将函数y?f(x)（x?D）的反函数表示成

y?f?1(x) （x?Z）

y?f(x)它与

x?f?1(y)（

y?Z）表示同一个函数，因为二者具有相同的定义域和相同的对应规

（x?D）的图形与其反函数

y?f1(x)?x2则。因而，在同一个直角坐标系中，函数函数

y?f?1(x)y?x（x?Z）的图形关于直线对称。

2 函数

y?f(x)?x在

(??,??)上不具有反函数。如果考虑函数

（

。这时常使用术语：称函

数f1(x)（或f2(x)）为“函数f在D1（或D2）上的限制”或“函数f限制在D1（或D2）上”，且记作

fD1x?D1?[0,??)）或函数

ffy?f2(x)?x(x?D2?(??,0])2（或

D2），其本质上一个新的函数。于是，就本例就具有反函数

y?f?1D2y?f(x)?x2在

D2?(??,0]上的限制

D2(x)??x，x?[0,??)。同样，

反正切函数y?arctanx是正切函数y?tanx在tan(arctanx)?x，x?(??,??)。

3．复合函数

设函数

Zg(??2,?2)上的限制的反函数，所以

y?f(u)的定义域是

Df，值域是

Zf；函数

u?g(x)的定义域是

Dd，值域是

。如果

Df?Zg??，则称函数

y?f[g(x)]，

x?D?{x|g(x)?Df}

是由函数和函数复合而成的复合函数，变量u称为中间变量。

4．初等函数 常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数这六类函数是研究其它各种函数的基础，统称为基本初等函数。基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数称为初等函数。 初等函数有很多好的性质，它们是微积分的重要研究对象。

5．分段函数 在自变量的不同变化范围中，自变量与因变量的对应规则用不同的表达式来表示的函数称为分段函数。一般来说，分段函数不是初等函数，但并不是说分段函数就一定不是初等函数。如函数与是同一个函数但前者是分段函数，后者是初等函数。 分段函数在微积分中有非常特殊的地位，尤其是在基本概念的说明方面，需重视。

f(x)?|x|y?f(u)u?g(x)f(x)?x2第2章 第2章 导数与极限

内容提要

（一）极限 1. 概念

（1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（???定义） x?a（2）单侧极限 左极限：

limf(x)?A????0，???0，当0?|x?a|??时，有|f(x)?A|??。

lim?f(x)?Af(a?0)?x?a????0，???0，当0?a?x??时，有

|f(x)?A|??。

x?a 右极限：

f(a?0)?lim?f(x)?A????0，???0，当0?x?a??时，有

。

（3）自变量趋向于无穷大的函数极限

x?Xf?x??A??f?x?x定义1：???0,?X?0，当，成立，则称常数A为函数在

|f(x)?A|??趋于无穷时的极限，记为x??。

y?A为曲线y?f?x?的水平渐近线。

limf?x??Af?x??A?????0，?X?0x?Xx???定义2：，当时，成立，则有。

limf?x??Af?x??A?????0，?X?0x??Xx???定义3：，当时，成立，则有。

limf?x??A运算法则：

1) 1) 若limf?x??A，limg?x???，则lim?f?x??g?x????。

2) 2) 若limf?x??A??0,但可为??，limg?x???，则limf?x??g?x???。

1lim?0f?x?3) 3) 若limf?x???，则。 注：上述记号lim是指同一变化过程。

（4）无穷小的定义

0?|x?a|??|f(x)|??f(x) ???0，???0，当时，有，则称函数在x?a时的无穷小（量），即 x?a。 （5）无穷大的定义

?M?0，???0，当0?|x?a|??时，有|f(x)|?M，则称函数f(x)在x?a时的无穷大（量），记为

limf(x)??x?alimf(x)?0。

y?f?x?直线x?a为曲线的垂直渐近线。

2．无穷小的性质

定理1 有限多个无穷小的和仍是无穷小。

定理2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小。

无穷小与无穷大的关系

1若x?a，且f(x)不取零值，则f(x)是x?a时的无穷小。 3．极限存在的判别法

?f(a?0)?f(a?0)?A。

limf(x)?Alimf(x)?limf(x)?A?x??x???x??? 。

limf(x)?A?f(x)?A??，其中?是x?a时的无穷小。 （2）x?a?(a,?)N（3）夹逼准则：设在点a的某个去心邻域内有 g(x)?f(x)?h(x)，且已知

limh(x)?Alimf(x)?Alimg(x)?Alimf(x)??（1）

limf(x)?Ax?a和

4．极限的性质

x?ax?a，则必有

x?a。

（1）极限的唯一性 若

limf(x)?Ax?a且

limf(x)?Bx?a，则A?B。

?(a,?)N（2）局部有界性 若x?a。

（3）局部保号性

|f(x)|?Mlimf(x)?A，则

?M?0，在点a的某个去心邻域

内有

（I）若

limf(x)?Ax?a?，且A?0（或A?0），则必存在a的某个去心邻域N(a,?)，当

?(a,?)x?N时，有f(x)?0（或f(x)?0）。

limf(x)?A?(a,?)Nf(x)?0f(x)?0a（II）若在点的某个去心邻域内有（或），且x?a，

则A?0（或A?0）。

5．极限的四则运算与复合运算 设c是常数，（1）（2）（3）（4）

x?alimf(x)?A，limg(x)?B，x?ax?a则

lim[f(x)?g(x)]?A?B；

lim[f(x)?g(x)]?A?B；x?a

lim[c?f(x)]?c?A；x?a

limf(x)g(x)x?a?AB，B?0；

?0x?au?u（5）

limf[g(x)]?limf(u)?Au?u则x?a.

6．两个重要极限

0若limg(x)?u0，limf(u)?A，且?x?U(a,?)(??0)，有g(x)?u0，

limsinxx（1）

x?0?1；

1xx（2）x?0 或 。

7．无穷小的阶的比较

若?和?都是在同一自变量变化中的无穷小量，且??0，则

?lim?0?（1）若，则称?关于?是高阶无穷小量，记作??o(?)； ?lim?1?（2）若，则称?和?是等价无穷小量，记作?~?； ?lim?c(c?0)??O(?)??（3）若，则称?和是同阶无穷小量，记作；

?A?||?B??一般情况下，若存在常数A?0，B?0，使成立 ，就称?和是同阶无穷小量。

k??O(x)x?0x（4）若以作为时的基本无穷小量，则当（k为某一正数）时，称

?是k阶无穷小量。

x??lim(1?x)?elim(1?1)x?e 定理1

?~??????o(?)。

?定理2 设?~??，?~?，且 常用的等价无穷小

lim????存在，则

lim???lim????。

xx?0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1?x)~e?1，

121?cosx~x2 。

（二）函数的连续性

1．定义 若函数

x?ay?f(x)在点a的某个邻域内有定义，则

?x?0f(x)在点a处连续 ?

limf(x)?f(a)?lim?y?0。

2．连续函数的运算

连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数； 连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数； 一切初等函数在定义区间内都是连续函数。 3．间断点

（1）间断点的概念

不连续的点即为间断点。

（2）间断点的条件 若点

x0满足下述三个条件之一，则

x0为间断点：

x （a）f(x)在0没有定义；

limf(x)x?x （b）不存在；

limf(x)limf(x)?f(x0)x0f(x)x?xx?x （c）在有定义，也存在，但。 （3）间断点的分类：

000（i）第一类间断点：在间断点

可去间断点：在间断点跳跃间断点：在间断点

x0处左右极限存在。它又可分为下述两类： 处左右极限存在且相等； 处左右极限存在但不相等； 处的左右极限至少有一个不存在。

x0x0（ii）第二类间断点：在间断点4．闭区间上连续函数的性质 （1）概念 若函数

f(x)x0在区间

(a,b)上每一点都连续，在a点右连续，在b点左连续，则称

f(x)在区间上连续。 （2）几个定理 最值定理：如果函数

f(x)[a,b]在闭区间

[a,b]上连续，则

f(x)在此区间上必有最大和最小值。

在此区间上必有界。

有界性定理：如果函数

?f(x)在闭区间

[a,b]上连续，则

f(x)介值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则对介于f(a)和f(b)之间的任一值c，

?必有

x?[a,b]，使得

f(x)?c。

?x?(a,b)零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，若f(a)?f(b)?0，则必有，

?使得f(x)?0。 （三）导数 1．导数的概念

（1）定义 设函数y?f(x)在点a的某个邻域内有定义，当自变量在点a处取得改变量

?x(?0)时，函数f(x)取得相应的改变量 ?y?f(a??x)?f(a)，若极限

?yf(a??x)?f(a)lim?lim?x?0?x?x?0?x

存在，则称此极限值为函数y?f(x)在点a处的导数（或微商），记作

f?(a)，y?，x?adydxx?a或df(x)dxx?a。

导数定义的等价形式有

f?(a)?limf(x)?f(a)x?ax?a。

（2）左、右导数 左导数 右导数

f?(a)f??(a)?lim?x?af(x)?f(a)x?af(x)?f(a)x?a

f??(a)?lim?x?af?(a)?f??(a)存在 ??。

2．导数的几何意义

?函数y?f(x)在点a处的导数f(a)在几何上表示曲线y?f(x)在点M(a,f(a))处?的切线的斜率，即k?f(a)，从而曲线y?f(x)在点M(a,f(a))处的 ?切线方程为 y?f(a)?f(a)(x?a)

1y?f(a)??(x?a)?(a)f法线方程为

3．函数的可导性与连续性之间的关系

函数在点a处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。

f(x)f(x) 因此，若函数点a处不连续，则点a处必不可导。 4．求导法则与求导公式

（1）四则运算 若u、v、w均为可导函数，则

(u?v)??u??v?y?f(x)，

，

(uv)??u?v?uv?(cu)??cu?，

(uvw)??u?vw?uv?w?uvw?（其中c?0为常数），

uu?v?uv?1?v??()??()?22vvvv， （v?0）。

（2）复合函数求导

设y?f(u)，u?g(x)，且f(u)和g(x)都可导，则复合函数y?f[g(x)]的导数为

dydx?dydu?dudx。

（3）反函数的导数

若x??(y)是y?f(x)的反函数，则 （4）隐函数的导数

dyf?(x)?1??(y)。

由一个方程F(x,y)?0所确定的隐函数y?f(x)的求导法，就是先将方程两边分别对x求导，再求出dx即可。 （5）对数求导法

先对函数求对数，再利用隐函数求导的方法。 对数求导法适用于幂指函数、连乘除函数。 （6）参数方程的导数

?x??(t)?y??(t)若参数方程 ? 确定了一个函数 y?f(x)，且?、?均可导，则有

dy??(t)?dx??(t)。

（7）基本初等函数的导数公式

???1??0(x)???x(c)

?? (sinx)?cosx (cosx)??sinx

?? (secx)?secxtanx (cscx)??cscxcotx

(arctanx)??(tanx)??secxx2x(cotx)???cscxxx2(a)??alna(loga?（a?0，a?1） (e)?e 11x)??(lnx)??xlna（a?0，a?1） x

11?x11?x2(arcsinx)??2(arccosx)???11?x?11?x22

(arccotx)??

5．高阶导数

（1）高阶导数的概念： 函数

f(x)

的二阶导数的导数称

f(x)f(x)f(x)为的三阶导数，? ?，的n?1阶导数的导数称为的n阶导数，分别记为 dydydydy,,,??,(4)(n)234ny?,y??,y???,y,??,ydxdxdxdx，或。二阶及二阶以上的导数称为

高阶导数。

（2）常用的n阶导数公式

234n的一阶导数

f'(x)的导数称为

f(x)的二阶导数，

f(x)

(x)n(n)?n!(sinx)(n)?sin(x?(n)，

n?2n?1(e)x(n)?ex，

n?2))(cosx)(n)?cos(x?，

(n?1)!n，

[ln(1?x)]?(?1)(1?x)。

（3）莱布尼茨公式

设u(x)和v(x)都是n次可微函数，则有

(uv)(n)??n?(n?k)(k)v???k??uk?0??。

n 复习指导

重点：求函数的极限、连续、导数。

难点：讨论分段函数在分段点处的极限存在、连续性、可导性。 1．求极限的方法：

（1）利用定义（???语言）证明。

（2）利用极限的四则运算法则和复合函数求极限的方法求初等函数的极限。

limf(x)?f(x0)f(x)x?x（3）初等函数在定义区间上求极限：。

0limx?2x?3x?12例：。 （4）分解因式，约去使分母极限为零的公因式。

limx?4x?3x?122x?1x?0?0?2?0?30?12?3?lim(x?1)(x?3)(x?1)(x?1)例：

（5）利用两个重要极限，此时需注意自变量的变化趋势。

limsin2xxx?1?limx?3x?1x?1??1。

例：

x?0?limsin2x2xx?0?2?2。

)?4limx?sin2xxsin(2???4?4??4但 。

（6）利用等价无穷小替换（条件：在乘积的条件下）。

tan3x3xlim?lim?3x?0ln(1?x)x?0x例：。

（7）利用无穷大和无穷小的互为倒数关系。

例：求x?2x?2。

x?2x?2lim?0lim??x?2x?2x?2x?2 因为，所以。

limu(x)?1limv(x)??x?xx?x（8）幂指函数求极限：若，，则

00limx?2。

（9）利用左右极限求分段函数在分段点处的极限。

2．无穷小：

（1）理解无穷小是自变量在趋向于某一点时函数极限趋向于零的过程，它与自变量的变化趋势密切相关。

（2）掌握利用求两个无穷小的商的极限比较它们的阶的方法。

（3）注意在求极限时，如果两个无穷小做加减法，则不能做等价无穷小的替换。

x?x0limu(x)v(x)limv(x)[u(x)?1]?ex?x0

内容提要

本章以导数和微分学的一些基本结论为工具，讨论了函数性态的研究，最值计算，相关变化率，平面曲线曲率，导数在经济学中的应用等五个问题，其主要内容和结论可归为以下几个方面。

（一）函数性态的研究

1．函数的单调性

y?f?x??a,b??a,b?可导，?a,b?上有f??x??0设函数在闭区间上连续，开区间若在f??x??0f?x??a,b?（或），则在上严格单调增加（或严格单减）。

f?x?f??x??0f??x??0注意：保证严格单调增加的条件可以放宽为，且使f??x??0f??x??0f??x??0的点不形成区间，对严格单调减的情形，条件可放宽为，且

f??x??0使的点不形成区间。

2. 函数的局部极值

?x?N(x0)xN(x0)（1）极值点的定义：若函数y?f(x)在点0的某邻域有定义，且对一切

成立

xf(x)?f(x0)（或

f(x)?f(x0)x），则称f(x)在0取得[严格]极大值（或极小值），

称0为f(x)的[严格]极大点（或极小点）。若将“<”（或“>”）用“?”（或“?”）代替，

则称为非严格意义下的极值。 （2）极值点的必要条件：函数（3）判别极值得充分条件 一阶充分条件：设结论成立：

f?x?f(x)的极值点必定是它的驻点或不可微点。

x0在

x0处连续，并且在

的某?去心邻域

N?x0?^内可导，则有以下

x??x0??,x0?f??x??0x??x0,x0???f??x??0f?x?x0（i）若当时，；当时，，则在处取得极大值。

x??x0??,x0?f??x??0x??x0,x0???f??x??0f?x?（ii）若当时，；当时，，则在

x0处取得极小值。

x0（iii）若在

处不取得极值。

f?x?f???x0?f?(x0)?0x二阶充分条件：设在点0的某邻域内可导，，存在，则有以下结

f???x0??0f???x0??0xx论成立：若，则0是函数的极大值点。若，则0是函数的极小值点。f???x0??0x若，则对0无明确结论。

3. 3. 函数的凹凸性和拐点

（1）函数的凹凸性的定义 如果在

的两旁，

f??x?不变号，则

f?x?在

x0?a,b??a,b?上，曲线

y?f?x?始终位于区间内任意一点处切线的上方（或下方），则称

y?f?x?该曲线在上是凸的（或凹的）。函数称为

?a,b?上的凸函数（或凹函数）。

（2）凸函数的性质 （a）若

f?x?是

?a,b?上的凸函数，则对任意x0??a,b?及x??a,b?有

f?x??f?x0??f??x0??x?x0?（b）若（c）若

f?x?是

?a,b?上的凸函数,并且在?a,b?上可导，则f??x?在?a,b?上单调不减。

?0,?1??2?1

，

fx?是

x,x??a,b??1,?2?a,b?上的凸函数，

则对任意不相等的12及

f??1x1??2x2???1f?x1???2f?x2?有 。

（3）凹凸性判别的充分条件

设

f?x?在

?a,b?上二阶可导，若在

，则

f?x??a,b??a,b?上，

f???x??0，则

f?x?在

?a,b?上是凸的；

若在上，

（4）拐点

?a,b?f???x??0在上是凹的。

0拐点的定义：若连续曲线

y?f?x?在点

?x,f?x0??的近旁发生凹凸性改变，则称点

?x0,f?x0??为曲线

y?f?x?的拐点。

?x,f?x0??是曲线y?f?x?的拐点，则x0是使f???x0??0的点或

拐点的必要条件：若点0f???x0?者是使不存在的点。

y?f?x?x0f???x0?x拐点判别的充分条件：设在的某邻域内二阶可导（0处可以不存在，f?x?f???x?xx?x,f?x0??是曲线但在0处连续），若在0的两旁符号发生改变，则点0的拐点。 4. 函数作图的步骤 （1） （1） 确定函数的定义域及某些几何特性（如奇偶性，周期性等），求f??x?f???x?出及。

f??x??0f???x??0（2） （2） 在函数的定义域内求出方程和的根，以及一阶，二阶导数不存在的点，并把这些点作为分界点将定义域划分成若干个部分区间。 （3） （3） 列表并在每一个部分区间内确定，的符号，从而确定函数的单调区间，凹凸区间，局部极值点以及拐点。 （4） （4） 确定函数图形的渐近线。 （5） （5） 标出函数极值点，拐点在图形上的位置，结合（3），（4）的结果，光滑的连接这些点作出

y?f?x?f??x?y?f?x?f???x?的图形。

f?x?（二） 函数的最值

由于开区间内的最值点也为极值点，所以行：

在计算

?a,b?上的最值可按以下步骤进

f?x??a,b?f?x??a,b?(1) (1) 求出在内的所有驻点和导数不存在的点，即求出在内的所

有可能的极值点。

(2) (2) 计算上述各可能极值点以及区间端点处的函数值。

f?x??a,b?(3) (3) 比较以上各函数值的大小，最大者和最小者即为在上的最大值和最小值。

在实际问题中，若由问题本身确定函数的最值存在，而可能的极值点又唯一，此时可确定该可能的极值点即为最值点。

（三） 相关变化率问题的处理方法

根据具体问题建立变量间的关系式，通过对此关系式求导，求得变量间导数满足的关系式，然后根据此式以及题意从已知变量的变化率推算所求变量的变化率。

（四） 平面曲线的曲率

k?lim???s21．曲率的定义：

2?s?0?d?ds

22．弧微分公式：

(ds)?(dx)?(dy)

[x?(t)]?[y?(t)]dt22??x?x?t???y?y?t???t??ds?（1）若曲线方程为 ? ，则

，

其中曲线弧的正向为参数从小到大描绘曲线的方向（否则根式前取负号）。 （2）若曲线方程为 （3）若曲线方程为

y?f?x?,a?x?br?r???,?????y??，则 ，则

ds?ds?21?[f?(x)]dx2。

2r(?)?[r?(?)]d?。

k?3．曲率计算公式 ：

?1??y???232。

R?1k??1??y???232y??4．曲率半径的计算公式 ： 。

（五）导数在经济学中的应用

1．基本概念 边际 设函数

f?(x0)y?f(x)f(x)在点x处可导，则称导数值

xf?(x)为函数

f(x)在点x的边际（函数），

称为函数在点0的边际（函数）值。

C(Q)成本函数 T表示产品数量为Q时所化费的总成本。

CT(Q)C(Q)?平均成本函数

边际成本 对于总成本函数

CT(Q)Q，其中Q表示产量，则生产第Q个单位产品时所化的成

CM(Q)?dCT(Q)dQ本称为边际成本，边际成本的记号及计算公式为

边际收益 当销售价为P，销售量为Q时，总收益函数为

RM?dRTdQ?QdPdQ?P。

，则其边际收益为

RT?PQ。

R(Q)?CT(Q)L(Q)边际利润 销售Q件产品后总收益与总成本之差T为总利润，记为T，

LM(Q)?dLT(Q)dQ其边际利润为 2．弹性分析

?(Q)?CT?(Q)?RM?CM?RT。

?y弹性 设函数y?f(x)在点x(?0)处可导，函数的相对改变量y?x?f(x??x)?f(x)f(x)（f(x)?0），与自变量的相对改变量x之比称为函数y?f(x)在x与x??x之间的平

?y?xxdy?yx?lim???x?0yxydx。 均弹性。函数y?f(x)在x点的弹性为

dQP?QP??dPQ。 需求价格弹性

??1??1 若QP，涨价则引起收入减少；若QP，涨价则引起收入增加。 收益价格弹性

?RP?PdRRdP?1??QP。

学习指导

本章的内容较多，但主要的习题可分为三类问题： 1. 1. 直接求函数的单调区间，极值，最值，凹凸区间，拐点，曲率等； 2. 2. 利用单调性，最值，凹凸性证明不等式； 3. 3. 求相关变化率，最值等的应用题。

解以上问题的要点是：

1. 1. 正确地计算出各阶导数；

2. 2. 对各个基本概念的理解要准确；

3. 3. 对增或减，凹与凸，极大与极小的判别法要正确使用； 4. 4. 证不等式时，要通过恒等变形选取合适的辅助函数

f??x?，通过是否变号f???x?来确定是用单调性还是用最值证不等式，有时可能需要通过的符号来判别

f?x?f??x?的符号。

5. 5. 凸函数的常用不等式为：

（a） （a） （b） （b）

其中

f??x??f?x0???0fx??x?0x?,,x0x??x?2 ，

,a? b；

f??1x1??2x2f???1f?x?1??2?x1,x2??a,b,1??2?1?,?1,?2?0?。

第5章 积分 内容提要

一、定积分

1 定积分的定义

?a,b?上有定义,在区间?a,b?内任意插入n?1个分点

设函数f(x)在

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b,??i??xi?1,xi?,?xi?xi?xi?1(i?1,2,?,n)n记

??max?xi1?i?n,若极限

lim?f(?i)?xi??0i?1存在(极限值与?a,b?的分法无关,与

?i??xi?1,xi?的取法无关),则称此极限值为f(x)在?a,b?上的定积分,记为

?baf(x)dx,同时称f(x)在?a,b?上可积.

函数f(x)在?a,b?上可积的必要条件是: f(x)在?a,b?上有界.

函数f(x)在?a,b?上可积的充分条件是: f(x)在?a,b?上连续或分段连续. 2 定积分的几何意义

由曲线,直线x?a,y?b和x轴所界的各个图形面积的代数和(如图),其中x轴上方图形的面积带“?”号, x轴下方图形的面积带“?”号. y y?f?x?

A2A4A6 A7baoA3A5A1x

3 定积分的性质

以下性质都是针对函数在所示区间上可积而言 (1).(2).(3). (4).

by?f?x??a?k1f1(x)?k2f2(x)?dx?bab?k1?f1(x)dx?k2?f2(x)dxaabb, 其中k1,k2为常数.

f(x)dx?b?caf(x)dx?b?bcf(x)dx

??abf(x)dx??af(t)dta ,?aaaf(x)dx???f(x)dxbf(x)dx?0,?abbdx?b?a

(5).(定积分运算对被积函数的保序性)若在?a,b?上,f(x)?g(x),则

?af(x)dx??bbag(x)dx.特别有

?baf(x)dx??af(x)dx.

(6).(定积分的估值定理) 若在?a,b?上, m?f(x)?M, 则

m(b?a)??af(x)dx?M(b?a).

(7) (定积分的中值定理) 若f(x)在?a,b?上连续,则????a,b?,使

?baf(x)dx?f(?)(b?a).

二、不定积分

1 原函数与不定积分的定义

(1)设f(x)是定义在某区间上的函数,若存在函数F(x),使在该区间上成立

F?(x)?f(x)(或dF(x)?f(x)dx),则称F(x)是f(x)在此区间上的一个原函数.

若F(x)和G(x)是f(x)的两个原函数,则F(x)?G(x)?c,其中c是某仪个常数.

因此,若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)原函数的全体可表达成

?F(x)?cF?(x)?f(x),c是任意常数?.

(2) (2) (原函数存在定理)连续函数的原函数必定存在.

(3) (3) 若函数f(x)在区间I上存在原函数,则其任意两个原函数之间只相差

一个常数. (4) (4) 称f(x)原函数的一般表达式为f(x)的不定积分,记为?(5) (5) 微分运算与积分运算是一对互逆的运算，即有 （i）

?f(x)dx??f(x)??dx?df(x)dx.

，或

d??f(x)dx??f(x)dx??；

（i i）?2 基本积分公式

F?(x)dx?F?x??C，或

?dF?x??F?x??C.

?kdx?kx?C.

?xdx?1?1??1x??1?C.(???1)

?xdx?lnx?C.?exdx?e?C.x?adx?xax

lna?C.(a?0,a?1)?sinxdx??cosx?C ?cosxdx?sinx?C. ?secxdx?tanx?C cscxdx??cotx?C ?

secxtanxdx?secx?C ?

?cscxcotxdx??cscx?C

22?1?1?x1?x122dx?arcsinx?C

dx?arctanx?C?shxdx?chx?C ?chxdx?shx?C ?a12?x2dx?1aarctanxa?C,(a?0)

?C,(a?0)?x?12?a122dx?12alnx?ax?axa

a?x2dx?arcsin?C,(a?0)?tanxdx??lncosx?C ?cotxdx?lnsinx?C

?cscxdx?lncscx?cotx?C ?secxdx?lnsecx?tanx?C ??1x?a1x?a222dx?lnx?dx?lnx?x?ax?a222?C

22?C三、微积分基本定理

xa

(1) (微积分第一基本定理)若f(x)在?a,b?上连续,则变上限积分函数

F(x)??f(t)dt在?a,b?上可微,且F?(x)?f(x).

F(x)?由定理可知,若f(x)在?a,b?上连续,则原函数.

b?xaf(t)dt是f(x)在?a,b?上的一个

(2) (微积分第二基本定理) 若f(x)在?a,b?上连续,F(x)是f(x)的任意一个原函数,则?af(x)dx?F(a)?F(b)?F(x)ab―――――牛顿-莱布尼兹公式

学习指导

一、关于微积分第一基本定理

若f(x)在?a,b?上连续,可微函数?(x),?(x)的值域均含于?a,b?,则有

ddx?(x)(x)??f(t)dt?f[?(x)]??(x)?f[?(x)]??(x)若题中含变限积分,则一般离不开变上限定积分求导.

要能熟练利用变上限定积分是被积函数的一个原函数,请看下例.

例:证明:连续奇函数的一切原函数均为偶函数;而连续偶函数的原函数中,只有一个是奇函数.

证:(1).设f(x)是连续奇函数,F(x)是f(x)的任一原函数,则由

f(x)

?x0f(t)dt亦是

一个原函数,知

F(x)??x0f(t)dt?c,其中c是某一常数.而

(令u??t)F(?x)?????x0f(t)dt?c??x0xf(?u)d(?u)?cf(u)du?c?F(x),0于是

F(x)

是偶函数.

(2). 设g(x)是连续偶函数, G(x)是g(x)的任一原函数,则

G(x)??x0g(t)dt?c.

而

G(?x)????x0g(t)dt?c(令u??t)?x0g(?u)d(?u)?cx???g(u)du?c0,

G(x)?由于G(x)?G(?x)?2c?0,得到c?0,因此数的原函数.

二、关于微积分第二基本定理

要熟练掌握并运用牛顿-莱布尼兹公式

?x0g(t)dt是g(x)的唯一奇函

?baf(x)dx?F(a)?F(b)?F(x)ab第6章 积分法 内容提要

一、不定积分的性质

(1) 两个函数和的不定积分等于两个不定积分的和,即

(2) 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的外面来,即 二、不定积分的基本积分法 (一) 基本积分法

(1) 第一类换元积分法(凑微分法) 若?,则可微函数,而c是任意常数. (2) 第二换元积分法

f(x)dx?F(x)?c

?f?x??g?x???dx??f?x?dx??g?x?dx ???kf?x?dx?k?f?x?dx?k?0?

?f??(x)????(x)dx?F??(x)??c,其中?(x)是x的任一

?设f(x),x?g(t)及g(t)均连续,x?g(t)的反函数t?g?1(x)存在且连续,若

?f?g(t)?g?(t)dt?F(t)?c,则?(3) 分部积分法 (二) 可积函数类 (1) 有理函数的积分

?1?f(x)dx?F??g(x)??c,其中c是任意常数.

?f?x?dg?x??f?x?g?x???g?x?df?x?

R(x)?P(x)Q(x)两个多项式的商所表示的函数称为有理函数,通常可记为,其中P(x),Q(x)都是x的多项式.有理函数的积分可归结为多项式与有理真分式的积分.据代数

R(x)?P(x)Q(x)Q(x)?学的知识,有理真分式总可分解为部分分式.设有理真分式

??2,其中

2可在实数,

范围内因式分解成其中

p2R(x)?a0(x?a)?(x?b)(x?px?q)?(x?rx?s)2??4q,?,r?4s,?,?,?,?,?,?都是正整数,则有下列分解式:

R(x)?A1x?a?A2(x?a)22???A?(x?a)????B1x?b??B2(x?b)22???B?(x?b)??I1x?J1x?px?qM2x?N222?I2x?J2(x?px?q)???22???I?x?J?(x?px?q)2???M1x?N1x?rx?s?

M?x?N?(x?rx?s)?(x?rx?s)2,

R(x)dx其中

Ai,Bi,Ii,Ji,Mi,Ni均为待定常数.

实质上可归结为下列四种类型的积分:

有理真分式经分解为部分分式后,其积分?①

?1x?a2dx, ②

dx?(x?a)?(x21ndx

n ③, ④

其中每一个都可积出.因此有结论:有理函数的原函数必定可由初等函数表出,或有理函数的积分必定可被积出.

(2) 三角函数有理式的积分

三角函数有理式是指

t作为积分变量的有理函数的积分,有

R(sinx,cosx)t?tanx2或x?sarctant?xMx?N?px?qMx?N?px?q)dx.经万能代换x22t1?t2可化为以

21?t2?R(sinx,cosx)dx令t?tan?R(,1?t1?t22)?dt.

(3) 简单无理函数的积分

经适当的变量代换,使之化为有理函数的积分.

nR(x,ax?b)dx,(a?0)?

令t?nax?b,可把原积分化为

?R(

t?bannn?1,t)tdt.a

?R(x,nax?bcx?dax?b)dx,(ad?bc?0)cx?d,可把原积分化为令

二、定积分的基本积分法 (1) 公式法

求得被积函数的一个原函数,利用牛顿-莱布尼兹公式直接计算之. (2) 定积分的第一类换元积分法(凑微分法)

t?n?R(ctb?dtnn?a,t)(ad?bc)nt(ctnn?12?a)dt.?baf?g(x)?g??x?dx??baf?g(x)?dg?x?令u?g(x)?g(b)g(a)f(u)du.

(3) 定积分的第二类换元积分法

f(x)?a,b?x?g(t) 设在上连续,若代换满足

??,??(或??,??)上有连续导数g?(t); g(t)在闭区间

??,??)时,必有a?g(t)?b; t???,??当(或

g(?)?a,g(?)?b,则

?baf(x)dx???f?g(t)?g??t?dt.

b?(4) 定积分的分部积分法

设f(x),g(x)在?a,b?上有连续导数,则

?baf(x)dg(x)?f(x)g(x)a??g(x)df(x)ab三、定积分的数值计算法 将区间?a,b?分为n等分(1) 矩形法 左矩形公式

?xi?1,xi?,记yib?ann?f(xi)(i?1,2,?,n)?baf(x)dx?b(y0?y1?y2???yn?1);(y1?y2?y3???yn);

右矩形公式(2) 梯形法

?af(x)dx?b?a??babaf(x)dx?(3) 抛物线法(辛普森法)

f(x)dx?b?a3nb?ay0?yn(?y1?y2?y3???yn?1);n2

[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)];这里的n必须为偶数

四、定积分中的常用命题和公式

(1) (1) 对称区间上连续奇函数的积分为零,即若f(x)是[?l,l]上的连续奇函数,则

l

??lf(x)dx?0.

(2) (2) 对称区间上连续偶函数的积分为半个区间上积分的两倍, 即若f(x)是[?l,l]上的

连续偶函数,则 .

f(x)(3) (3) 若是周期为T的连续函数,则对于任意实数a,均成立

?l0?lf(x)dx?2?f(x)dxTl?a?Taf(x)dx??T0f(x)dx??2T?2f(x)dx. n为偶数n为奇数??0(4) 0(其中n为正整数)

?2sinxdx?n?2?n?1???n???n?1?ncosxdx? ?nn?3n?2n?3n?2??????31???42242??153

学习指导

一、不定积分 1.基本积分法

(1).第一类换元积分法(凑微分法)

? 其特点是”凑好了换”,把被积函数分出一部分写成g(x),而余下部分恰好是

g(x)的函数f?g(x)?1af?g(x)?g?(x)dx?,即,然后取变换:令u?g(x).一般情况下可

以考虑的积分类型有:

??f(ax?b)dx?xf(axx2?1f(ax?b)d(ax?b),a?0;f(axx2

?b)dx?x?2ax?b)d(ax2?b),a?0;????f(e)edx?1f(lnx)dx???f(e)d(e);

等等

?xf(lnx)d(lnx);f(sinx)cosxdx?f(tanx)secf(arctanx)2?f(sinx)d(sinx);xdx?12?f(tanx)d(tanx);1?xdx??f(arctanx)d(arctanx)(2) 第二类换元积分法

其包含的主要类型有三角代换与倒代换.一般情况下可以考虑的积分类型有:

???f(a?x)dx,f(x?a)dx,f(x?a)dx,222222令x?asint; 令x?atant; 令x?asect.

2若被积函数中含有无理函数ax?bx?c的形式,则可先配方,然后选择适当的三

1x?t常可消去被积函数分母中的积分变量因子. 角代换.另外,倒代换

(3) 分部积分法

分部积分法主要用于被积函数为两类不同函数相乘的情形,常见的有以下的积分类型:若计算不定积分?F(x)dx,而其中的被积函数F(x)

f?x?当F(x)=多项式?正弦(余弦)函数时,可取当F(x)=多项式?指数函数时,可取

f?x?=多项式;

=多项式;

当F(x)=多项式?对数函数时,可取f(x)=对数函数;

当F(x)=多项式?反三角函数时,可取f(x)=反三角函数. 2 可积函数类

(1) 有理函数的积分

有理函数积分的主要步骤在于将被积函数分解为部分分式.不过对于具体的有理函数积分,通常可用”拆”,”凑”或”加一项再减一项”的方法. (2) 三角函数有理式的积分

t?tanx2 万能代换的积分?可能会导致复杂的有理函数的积分.故对于三角函数有理式,有时也采用下列变换:

R(sinx,cosx)dx 当R(sinx,?cosx)??R(sinx,cosx)时,可令t?sinx; 当R(?sinx,cosx)??R(sinx,cosx)时,可令t?cosx; 当R(?sinx,?cosx)?R(sinx,cosx)时,可令t?tanx. 二、 定积分

关于定积分的换元积分法.

变量代换必须要满足定理的条件.如对于定积分

x?1t?111?x1?1dx2,作代换

x?1t23,由于

在t?0处不连续,故换元不成立;再如对于定积分??1,作代换t?x,因为

此代换不是单值的,故换元也不成立.在利用换元积分法计算定积分时,有一定的技巧,如下例.

?dx 例 : 计算定积分 解 : 原式=

?4?cosx42?1?e?xdx.

?40?0?cosx?41?e0?x2dx??cosx1?e??x2dx,利用变量代换x??t,

2t?0?cosx?421?e?xdx?2??xcost1?et2d(?t)?4?040cost1?e2dt.

?8?14.

?原式=

?40(cosx1?e?cosx1?e2?)dx??x?4cosxdx?第7章 第7章 定积分的应用与广义积分

内容提要

一、定积分应用主要掌握几何应用与物理应用及部分经济应用。 1．1．几何应用

（1） （1） 平面图形的面积

a) a) 直角坐标系下图形的面积 a y?f?x? abo A?x?baf?x?dx

yy?f?x?y?g?x?oabxA???f?x??g?x??dxab

ydx???y?cox???y?xA?????y????y??dycd(ii)极坐标系下平面图形的面积 ???

???(?)o???x

A?1?2???2???d?

???2(?)???1(?)（2） （2） ???平面曲线的弧长 oA?12?????????????d?2221 x直角坐标曲线

y?y(x),a?x?b,S???ba1?y??x?dx222

?x?x(t),??t??,S??y?y(t)参数式曲线???x?(t)?y?(t)dt极坐标曲线(3) (3) 立体体积

(i) 平行截面面积为已知的立体体积

???(?),?????,S?????2??????2???d?

A?x?oaxbxV??baA(x)dx

(ii) 旋转体体积公式(以绕x轴旋转所得的旋转体为例, 类似可得绕y轴旋转所得的旋转体体积公式)

y y?f(x)o abx

Vx???baf(x)dxb2Vx?2??

axf(x)dx

yy?f?x?y?g?x?oabxVx???ba(f(x)?g(x))dx22f(x)?g(x)?02．2．物理应用

（1） （1） 变力所做的功

物体在力

Fx?

作用下沿直线由a到b力做功

W??baF(x)dx（2） （2） 液体的侧压力

由巴斯卡原理知，在液面下深度为h处的表面积为A的面上所受到的液体压力为F??ghA,其中?为液体的密度。 3．3．经济应用

在已知某经济函数的变化率或边际函数时，求总量函数或总量函数在一定范围的增量可用定积分。

例 总成本 总收益

C（Q）?

?Q0C?（t）dt?Q0

R?Q?与边际收益

R??Q?的关系

二、广义积分

R（Q）??Q0R?（t）dt定义1：设函数f?x?在[a,??)上连续，称

???af?x?dx＝

b???lim?f?x?dxab

为

否则称此广义积分发散.

f?x?在[a,??)上的广义积分.当极限

b???lim?f?x?dxab存在时,称此广义积分收敛,

设函数f?x?在(??,b]上连续， 称

?f?x?(??,b]b??f?x?dx＝

a???lim?babaf?x?dxf?x?dx

存在时,称此广义积分收敛,

为在上的广义积分, 当极限否则称此广义积分发散.

????a???lim?设函数f?x?在(??,??)上连续，c是任一实数, 称

?f?x?(??,??)f?x?dx??c??f?x?dx?c?????cf?x?dx??c

都收敛时,称此广

为在

义积分收敛,否则称此广义积分发散.

b上的广义积分, 当?f?x?dx和?f?x?dx定义2：设函数f?x?在(a,b]上连续且x?a是其奇点，称

?为

则称此广义积分发散.

f?x?af?x?dx＝

??0lim??ba??f?x?dx

在(a,b]上的广义积分.当极限

??0lim??ba??f?x?dx存在时,称此广义积分收敛,否

设函数f?x?在[a,b)上连续且x?b是其奇点，称

?f?x?dx＝?ablim??0?ab??af?x?dxf?x?dx

为在上的广义积分.当极限否则称此广义积分发散.

f?x?[a,b)??0lim??b??存在时,称此广义积分收敛,

学习指导

一、定积分的应用关键在于微元法 若所求量Q依赖于某区间

?a,b?以及在此区间上变化的某函数

f?x?,并且具

有可加性，即总量Q可分为局部量之和，则Q的值可通过定积分的计算来完成。

微元法解题步骤：

在

?a,b?的任一子区间

?x,x?dx?上写出

?Q?f(x)dx

（这一步往往是以“去弯取直，以不变代变”的思想获得，确切地说，是写出?Q?f(x)dx?o(?x)） 于是

dQ?f(x)dx从而有

具体步骤是：（1）建立坐标系；（2）建立微元dQ?f(x)dx；

（3）确定上、下限；（4）计算定积分。

二、广义积分

有的题目同时涉及广义积分的两种情况，要分开讨论。

aQ??bf(x)dx例：

???dxxx?1?lim1??2dxxx?1dxxx?11????dxxx?1

2?2dxxx?11??0??2t?x?11???lim??0???1?t?tdt212t?lim?2arctant|??01????2

2tdt2???dxxx?1t?x?12?????1?t?tdt1?2arctant|1??2??xx?1所以

若其中之一是发散的，这广义积分即为发散。

???dx

1第8章 数列与无穷级数

内容提要

（一） （一） 数列 1． 1． 数列极限的定义

a?L?a?若??>0，?正整数N，使得当n?N时成立n

限，或称数列

2． 2． 数列极限的运算法则 若

lim?an??L1n???an?，

收敛于L，记为

liman?Ln??。否则称数列

?an?发散。

limbn?L2n??，c是常数，则

lim?can??cL1n??；

；

lim?an?bn??L1?L2n??lim?anbn??L1L2n??；

limanbn 3．

n???L1L2,?L2?0?。

3． 数列极限的性质

liman?Lx??(1)若>0则

?正整数Nn??，当

n?N时成立

an>0；

若?正整数N，当n?N时成立an?0,且limbn?L，则L?0。

(2) 收敛数列是有界数列。 4．数列极限的存在性准则

(1) 夹逼准则（夹逼定理）:

单调有界准则（数列的单调有界收敛定理）: 单调有界数列必有极限。 5． 5． 数列极限与函数极限的联系

对于数列

x???若?正整数N，当n?N时成立an?bn?cn,且liman?limcn?L,则limbn?Ln??n??n??（2）

?an?，若存在定义域包含?1，??的函数f?x?，使f?n?liman?L?an，且

limf?x??L6． （1）若

，且n??6． 数列与数列的关系

liman?Ln??k??nk。

limank?Lk???a?是?a?的一个子数列，则，

n。

（2）若

（二）无穷级数的基本概念 1．级数敛散性的定义

k??lima2k?lima2k?1?L，则n??liman?L。

n?k?nsn?k?1 称为级数n?1的部分和数列。

??u?u??sn???n?1,2,?n的前项部分和，而称数列为级数n?1?un 若级数

?un?1n的部分和数列

??sn?收敛，即

limsn?sn???，则称级数

??un?1n收敛，称s为该

级数的和，记为

??un?1nn?srn?s?sn?，同时称

?uk?n?1?k为级数

n?un?1n的余和。

若级数n?1的部分和数列

2．级数的基本性质

??u?sn?发散，则称级数n?1??u发散。

（１）若n?1??unn?s，c是常数，则n?1???cunn?cs。

?vn??s??（2）若n?1??u?un?1=s，n?1n?vn???，则n?1??u。

（3）若收敛，则也收敛，其中m任一正整数；反之亦成立。 （4）收敛级数添加括弧后仍收敛于原来的和。

n?m?1??un（5）级数收敛的必要条件：若（三）数项级数 1．正项级数

??un?1n收敛，则n??limun?0。

（1）正项级数收敛的充要条件是其部分和数列（2）正项级数的比较判别法及其极限形式

n?1??un?sn?有界。

??n 设

0?un?vn?n?1,2,??，（１）若

?vn?1n收敛，则

?un?1收敛；（２）若

?un?1n发散，

?则

?vn?1n发散。

??n 设n?1与n?1均是正项级数，若相同的敛散性。

（3）正项级数的积分判别法

??u?vnlimunvnn???l?0?l??????n，则n?1?u与

?vn?1n具有

? 对于正项级数n?1???u，若存在单调减少的连续函数f?x?，使得

f?n??un，则级数n?1?unf?x?dx与广义积分?1具有相同的敛散性。 （4）正项级数比值判别法的极限形式

ulimn?1??n??uun 设?n为正项级数，且, 则

（a）

?<1时，级数??un收敛； ）时，级数?un （b）当>1（包含

????收敛；

??1时，本判别法失效。 （c）当

（5）正项级数根值判别法的极限形式 u 设?n为正项级数，且<1时，级数?>1（包含

limnn??un??, 则

（a）当 (b) 当

?un收敛；

un?????）时，级数?发散；

( c) 当??1时，本判别法失效。 2．交错级数的莱布尼兹判别法

??n?1 若正数列｛

un｝单调减少，且

limun?0n??, 则交错级数n?1?(?1)un（及n?1?(?1)nun）

r?un?1收敛，且余和n。 3. 绝对收敛与条件收敛

若?u收敛，则称?n绝对收敛； uuu 若?n发散，而?n收敛，则称?n条件收敛。

u 绝对收敛级数?n必收敛。

绝对收敛级数的任一更序级数仍绝对收敛于原级数的和。 （四）幂级数

1．幂级数的收敛半径，收敛区间和收敛域 （1）阿贝尔定理

un??n 若幂级数n?0在某点的任一点处均绝对收敛；

??axnxnx?x0?(0)处收敛，则n?0??anxn在区间（

?x0,x0）内

若幂级数n?0?an在某点

x?x1处发散，则n?0?anxn在满足

x?x1的任一点x处均发

散。

（2）收敛半径的定义

? 若幂级数n?0?anxn??）内的任一点处均收不是仅在点x=0处收敛，也不是在（??，??n敛，则存在正数r，使当

?x?r时，n?0?axn收敛；而当

?x?r时，n?0?anxn发散，称此正

数r称为幂级数n?0??anxn的收敛半径。当n?0?anxn仅在点x=0处收敛时，定义收敛半径r=0;

??）上都收敛时，定义收敛半径r=+?。 当n?0在（??，(3) 收敛半径的计算

??anxn设幂级数n?0?anxn满足

1an?0n?N,（这里的N是某个正整数）,且

liman?1ann???L，

则 （a）当L>0时，r=L;

(b) 当L=0时，r= +?; (c) 当L= +?时，r=0。 （４）收敛区间与收敛域

??n?r） 当幂级数n?0的收敛半径r>0时，称（?r，是它的收敛区间；当判定n?0在x=?r处的敛散性后，可确定其收敛域。 2．幂级数的运算 （1）代数运算

??axn?anxn设

?an?0?n?0nxn?s1(x)，收敛域为

nI2，收敛半径

r1>０， r2 则

??bxn?s2(x)，收敛域

?nI2，收敛半径

?>０，

a)

?n?0(an?bn)x??n?0anxn??n?0bnxn

I1?I2 ＝

s1(x)?s2(x)?n，收敛域为

n；

b)

??nn(?ax)(?bx)?nnn?0n?0?(?n?0k?0akbn?k)x

s(x)s2(x) ＝1，收敛半径

（这里两个幂级数的乘积是柯西乘积）。 （2）、分析运算

?

r?min(r1,r2)

设

?n?0cnxn?s(x)，收敛域I，收敛半径r?0，则

a) 和函数s(x)在I上连续；

b) 和函数s(x)在(?r,r)内可导且可逐项求导：

??n

s'(x)?(?cnx)'?n?0?ncn?1nxn?1 (?r?x?r)；

cn ｃ）和函数s(x)在(?r,r)内可积，且可逐项积分： s(x)dx0 ?0=n?03． 3． 幂级数的展开 （1）函数的泰勒级数

(n)x??x??cnxdxn=n?0n?1?xn?1，(?r?x?r)；

设函数f(x)在点x0的某个邻域内有任意阶导数，则称幂级数

?

?n?0f(x0)n!(x?x0)nf(n)(x0)(x?x0)=

(n)f(x0)?f'(x0)(x?x0)??+

n!n+…

为f(x)在点x0的泰勒级数。而称

?

?n?0f(0)n!xnf(n)(0)x+…

n=

xf(0)?f'(0)x??+

n!为f(x)的麦克劳林级数（0=0时的泰勒级数）。 （2）函数的幂级数展开（间接展开法）

利用五个初等函数的麦克劳林级数展开式，通过幂级数的代数运算，分析运算， 变量代换等手段，求给定函数的幂级数展开式。

学习指导

（一）、数列

计算数列的极限，通常可利用代数恒等变形、数列极限的运算法则和利用函数极限的方法。这里必须注意的是：由于数列是定义域为离散点集的函数，故不能直接使用洛必达法则，如需使用此法则，必须先化成具有连续变量的函数，再利用函数极限计算数列极限。

n?1 假定数列由递推公式n定义，则一般可考虑利用数列的单调有界收敛定理。 如果数列的通项是由n 个项的和构成，通常可考虑利用夹逼定理或定积分的定义，也可以考虑先将和求出来，再求极限。 （二）、无穷级数的基本概念 1、级数敛散性的定义

?a?f(a) 每个级数

?un?1n涉及到两个数列：一是由其项构成的数列｛un｝，二是由其部分和构成

?的数列｛s｝。级数

n?un?1?n的敛散性是用｛sn｝的敛散性定义的。

?n 一般，即使级数

?un?1收敛，要求其和也是很困难的。但只要级数

r?un?1n收敛，我们就

可以用部分和近似表示它的和，其误差为n。故我们首先关心的是判断级数的敛散性。

２、级数的基本性质 （１）、在级数的每一项上同乘以一不为零的常数，级数的敛散性不变。

??n?u（２）、收敛级数可以逐项相加。而且，若

n?1?v收敛，

n?1n发散，则必有

??(un?1n?vn)发散。

（３）、在级数的前面添上或去掉有限项，不影响级数的敛散性。 （４）、收敛级数可以加括弧，即满足加法的结合律。若加括弧后的级数发散，则原级数发散。 （５）、

limunn??u＝０是级数?n收敛的必要条件，但不是充分条件。因此由

limunn???０可推得级数?un发散。

ana 若需证明数列{

}收敛于零，也可考虑以下方法：证明级数?an收敛，再利用级数

收敛的必要条件得{ n}收敛于零。

（三）、数项级数 １、正项级数 （１）、首先得注意多种正项级数判敛法使用的前提，就是必须是正项级数。 （２）、一般，对于通项含有阶乘、指数函数、幂指函数等因式的正项级数，可优先考虑利用比值判别法；对于通项含有指数函数、幂指函数等因式，但不含阶乘因式的正项级数，可考虑利用根值判别法；以n的幂（整数幂或分数幂）有理式为通项的正项级数，因为n??时，通项关于无穷小的阶数易观察而得，应优先考虑与p级数比较，（利用比较判别法或其极限形式）。 （３）、比较判别法的比较对象，一般可取等比级数和p级数，故下列结论应牢记。

?1n等比级数n?1??aq1pn?1当

q<1时，收敛于

a1?q，当

q?1时发散。

P级数n?1n，当p>１时收敛，当p?１时发散。 ２、交错级数的莱布尼兹判别法

这里需指出，与其他的判别法一样，莱布尼兹判别法也仅是充分条件并不必要。

n?n?1 对于莱布尼兹型级数，其“截断误差”有估计式

３、绝对收敛与条件收敛 （１）、判断变号级数的敛散性，是指判断其绝对收敛、条件收敛还是发散。

un（２）、若?发散，且此结论是由正项级数的比值或根值判别法而得，则必有

?ruu，因而立即可得 ?n发散。

（四）、幂级数

1、幂级数的收敛半径，收敛区间和收敛域 （1）、幂级数的条件收敛点必是其收敛域的端点。 （2）、对于“缺项”的幂级数，不能直接利用公式求收敛半径，我们可以将x任意取定为一常数，再利用正项级数的比值或根值判别法来确定其收敛半径。 2、幂级数的运算

利用幂级数逐项微分或逐项积分的运算，可能会改变其收敛区间端点上的敛散性。 3．幂级数的展开

n??limun?0通常利用间接法展开。这里首先需要注意的是基点，如果是将函数勒级数，是指将

f(x)f(x)在点

x0处展开为泰

ln(1?x)表达成

?axn(x?x0)n的形式。一般，对数函数可利用的

麦克劳林级数，指数函数利用e的麦克劳林级数等等，又，反三角函数或变限积分函数常

常

先求导再展开。

若在展开过程中，利用了幂级数的乘法，逐项微分和逐项积分的运算，则收敛区间端点上的敛散性需重新判断。

求所得幂级数的收敛域是函数的幂级数展开的必要步骤之一，千万不要遗漏。 4．求幂级数的和函数与收敛数项级数的和

若在幂级数的项中没出现阶乘记号，通常利用幂级数的运算，将其化为等比级数，利用等比级数收敛性的结论求幂级数在收敛域上的和函数。若在幂级数的项中出现阶乘记号，则利用 e、sinx、cosx的麦克劳林级数展开式，通过幂级数的运算，求其在收敛域上的和函数。

求收敛数项级数的和，可以利用级数敛散性的定义，即计算n??。也可构造幂级数，使收敛的数项级数成为幂级数在其收敛域内某点处的值，通过计算幂级数在收敛域上的和函数达到目的。

limSnx

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