华科电信系824信号系统2013年真题

华科电信系824信号系统真题与答案解析2013年版

一，填空题（每空3分）

1、已知一零初始状态的LTI系统在输入x1(t)?u(t)激励下的响应为y1(t)?4e?2tu(t)，那么在输入x2(t)?tu(t)激励下的响应为 。

【考查重点】：这是第二章考点，考查LTI系统的系统响应

【答案解析】：设此系统的单位冲激响应为h(t)，则由题意可知u(t)?h(t)?4e?2tu(t) 要求的响应为tu(t)?h(t)?u(t)?u(t)?h(t)?u(t)?4e?2tu(t)?2(1?e?2t)u(t) 常用信号的卷积如果记住结论的话，这道题是非常简单的。 2、序列x[n]?cos(4????n)sin(n)?sin(n?)的基本周期为 。 32434??111?15?n)sin(n)?sin(n)?sin(n)322626x1[n]?x2[n]

【考查重点】：这是第一章考点，考查信号的基波周期。 【答案解析】：cos(??x1[n]和x2[n]的周期都是12，sin(n?)的周期为8，所以x[n]的基本周期为24.

43??3?t)u(t?2)?(t?1)dt的值为 。 3、积分?sin(??2【考查重点】：这是第一章的考点，考查冲激函数的性质和计算。 【答案解析】：sin(3?3?t)u(t?2)?(t?1)?sin()u(3)?(t?1)???(t?1) 所以原式等于： 22???????(t?1)dt=?1

??2?4、周期信号x(t)?cos(t)??[u(t?3n)?u(t?1.5?3n)]的傅里叶级数系数a1? 。

3n???【考查重点】：这是第三章考点，考查周期信号的傅里叶级数系数。 【答案解析】：令x(t)?x1(t)?x2(t) x1(t)?cos(??2?t) 傅里叶系数为bk 3??x2(t)?n????[u(t?3n)?u(t?1.5?3n)]?[u(t)?u(t?1.5)]???(t?3n) 傅里叶系数为cn???k

所以b1?b?1?1 22?2??jkt1.5?jkt111ck??[u(t)?u(t?1.5)]e3dt??e3dt?((?1)k?1)

3T?330?j2k?由傅里叶级数的相乘性质可知：

ak?l????blck?l?a1???l????blc1?l???1 4

5、若离散时间系统的输出y[n]与输入x[n]的关系为y[n]?x[n?1]?x[n?1]，则该系统是 （线性，非线性） （时变，非时变）。 【考查重点】：这是第一章考点，考查系统性质 【答案解析】：输入x1[n]?y1[n]?x1[n?1]?x1[n?1]

x2[n]?y2[n]?x2[n?1]?x2[n?1] 令x3[n]?x1[n]?x2[n] 则： y3[n]?x3[n?1]?x3[n?1]?x1[n?1]?x2[n?1]?x1[n?1]?x2[n?1]

由于y3[n]?y1[n]?y2[n] 不满足叠加性，所以是非线性。 当输入x[n?n0]时的输出为x[n?n0?1]?x[n?n0?1]

y[n?n0]?x[n?n0?1]?x[n?n0?1] 满足时不变的定义，所以是非时变。

6、若已知信号x(t)拉氏变换的收敛域为Re{s}??1，则信号x(?0.5t?1)拉氏变换的收敛域为 。 【考查重点】：这是第九章的考点，考查拉氏变换性质对收敛域的影响。

【答案解析】：设x(t)的拉氏变换为X(s)，由拉氏变换的时移、尺度变换性质可知：

x(?0.5t?1)的拉氏变换为2X(?2s)e2s 由?2s??1?s?7、对(1 2sin200t3)进行理想冲激抽样的奈奎斯特抽样角频率为 rad/s。 ?tsin200t的最高角频率为200，所以原信号的最高角频率为600，根据抽样?t【考查重点】：这是第七章考点，考查奈奎斯特抽样定理。 【答案解析】：

定理，奈奎斯特抽样角频率为1200rad/s

8、某系统的差分方程为y[n]?0.7y[n?1]?0.1y[n?2]?2x[n]?x[n?1]，若

84nn且零输入响应yzi[n]?[?0.5??0.2]u[n] ，则全响应的值y[0]? 。 x[n]?2nu[n]，

315【考查重点】：这是第十章考点，考查系统零状态响应和系统初值。

12?z?1X(z)?由差分方程可知系统函数为H(z)?

1?2z?11?0.7z?1?0.1z?22?z?11?所以Yzs(z)?H(z)X(z) ? 由初值定理可知： ?1?2?11?0.7z?0.1z1?2zyzs[0]?limYzs(z)?2 （当然你也可以逆变换先求出yzs[n] 不过这样要复杂些）

z??由题可知yzi[0]?841222?? y[0]?yzi[0]?yzs[0]? 315551?2z?1?3z?2?4z?3?5z?49、左边序列x[n]的Z变换X(z)? ，则x[1]? 。

1?2z?1?z?2【考查重点】：这是第十章考点，考查用长除法求原信号初值。

【答案解析】：如果采用长除法，x[1]就是除的结果中z前面的系数，因为是左边序列，所以除的时候，被除数和除数应按z的升幂排列即：

?1(5z?4?4z?3?3z?2?2z?1?1)?(z?2?2z?1?1)?(5z?2?6z?1????) 我们只关心z?1前面的

系数，所以后面就不用除下去了。可以看出x[1]??6

二、（每题2分）下面各种叙述，你认为正确的，在答卷上写上T，否则写上F。

1、对于任意离散时间序列x[n]，xe[n]代表其偶部，xo[n]代表其奇部，有

n????x[n]??x2n???????2e[n]??xo2[n] 。

n?????【考查重点】：这是第一章考点，考查信号的奇偶分解以及奇偶信号性质。 【答案解析】：T

n????x[n]??(x[n]?x[n])2eon???n???????2?n????(x[n]?x[n]?2x[n]x[n])

2e2oeoo?? x[n]????2en????x[n]?2?x[n]x[n]

2oen???????因为一个信号的偶部是偶函数，奇部是奇函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数，所以xe[n]xo[n]是奇函数，所以 ??????n????x[n]x[n]?0

eo??即：

n????x[n]??x2n???2e[n]??xo2[n] 。

n???2、已知x(t)?e?3(t?1)11 [u(t)?u(t?1)]??(t?1)，则x(1?2t)为e6t[u(t)?u(t?)]??(t)。

22【考查重点】：这是第一章考点，考查基本函数的化简。

【答案解析】：T 由x(t)可知x(1-2t)=e[u(1?2t)?u(?2t)]??(?2t) 单位冲激函数是偶函数，所以?(?2t)??(2t)?6t11?(t),有公式?(at)??(t) 2a我们u(1?2t)?u(?t?1),u(?2t)?u(?t) 画出它们的图形然后相减，可以看出，它就等2于u(t)?u(t?) 所以题中的化简结果是正确的。

3、离散时间LTI系统是因果的，当且仅当其单位阶跃响应s[n]满足：s[n]?0,n?0。 【考查重点】：这是第二章考点，考查阶跃响应和系统因果性的关系。 【答案解析】：T

我们都知道，系统是因果的，当且仅当单位冲激响应h[n]满足：h[n]?0,n?0

12h[n]?s[n]?s[n?1] 当s[n]?0,n?0时，h[n]?0,n?0所以题中的叙述是对的。

4、若y(t)?x(t)?h(t),则y()?x()?h()。 【考查重点】：这是第二章的考点，考查卷积的性质。 【答案解析】：F

也可以从频率域考虑，由题可知：Y(j?)?X(j?)H(j?) 由尺度变换性质可知

tatataty()的傅里叶变换为aY(ja?)?aX(ja?)H(ja?) a再由时域卷积定理可知

x()?h()???aX(ja?)?aH(ja?)?aX(ja?)H(ja?) 由此可以看出它们的傅里叶变换相等，所以题中的叙述是错误的。 5、已知

tataFT212??W?Wej?nd??sinWnsinWn,当W??时，??[n]。 ?n?n【考查重点】：这是第五章考点，考查单位冲激函数的定义。

【答案解析】：T

sinWnsin?n? 当，n?0时，sin?n?0，?n?0 ?n?nsin?nsin?n,n?0 ；当n?0时 lim?1 满足单位冲激函数的定义。 所以

n?0n??nsinWn??[n] 所以当W??时，

?n当W=?时，

6、傅里叶变换分析法与拉氏变换分析法一样，可用来分析不稳定的LTI系统。 【考查重点】：主要考查傅里叶变换和拉氏变换的适用范围 【答案解析】：F

对于单位冲激响应不满足绝对可积条件的系统是不存在频率响应的，也即不存在傅里叶变换，所以傅里叶分析方法不能来分析不稳定的系统。 7、根据BIBO稳定性准则，一个稳定的连续时间LTI系统的所有极点一定位于虚轴的左侧。 【考查重点】：这是第九章的考点，主要考查系统稳定性和零极点位置的关系。 【答案解析】：F

一个稳定的连续时间LTI系统的收敛域一定包括虚轴，即使所有极点都在虚轴左侧，但如果是非因果系统，它的收敛域只会在虚轴左侧，不会包括虚轴，这样的系统还是不稳定的。所

以叙述是错误的。

2s2?5s?128、右边信号x(t)的拉氏变换表示式为X(s)?，则其终值为0.

(s?1)(s?3)(s?2)【考查重点】：这是十九章考点，考查终值定理。 【答案解析】：T

2s2?5s?12limx(t)?limsX(s)?lims?0 所以是正确的。 t??s?0s?0(s?1)(s?2)(s?3)d2y(t)?2y(t)?x(t)描述的因果系统，其自由响应是稳态响应。 9、由方程

dt【考查重点】：这是第一章考点，考查自由响应和稳态响应的关系，（相关知识可以参考郑君里和吴大正编的信号与系统） 【答案解析】：T 由方程可知系统函数H(s)?1 Re{s}?0 自由响应是由系统极点引起的响应，由系2s?2统函数可以看出，极点在虚轴上，自由响应具有正弦函数的形式，是不衰减的等幅震荡。所以自由响应是稳态响应。

z210、离散因果LTI系统的系统函数H(z)?2，该系统是带阻型的滤波器。 2z?0.95z?0.95【考查重点】：这是第十章的考点，考查由零极点图对傅里叶变换进行几何求值，就是画出其模特性。 【答案解析】：F

从系统函数可知极点都在单位圆内，系统又是因果的，所以收敛域包括单位圆，系统稳定，存在频率响应。H(e)?j?ej2?ej2?j?H(e)的图形，判 然后以此可以画出j?2?0.95e?0.95断出题中的叙述是错误的。

2三、（15分）画出信号x(t)?u(t?t?2)的波形图，并求g(t)?sin(2?t)x(t)的傅里叶变换。

【考查重点】：这是第一章和第四章的考点，考查信号作图和信号的傅里叶变换。 【答案解析】：u(t)?1,t?0 令t?t?2?0?t?1或t??2 所以可画出图形如下：

2

x(t) 1 -2 t 1 sin2?t的傅里叶变换R(j?)?j?[?(??2?)??(??2?)]

3sin?j1?2e2 X(j?)?2??(?)?2?由相乘性质可得：G(j?)?1R(j?)?X(j?) 2?3sin?j1?12e2} ?{j?[?(??2?)??(??2?)]}?{2??(?)?22??1j?4?j32?j?[?(??2?)??(??2?)]?2esin?

??4?22四、（15分）已知有限长实偶序列x[n]，其Z变换X(z)共有四个零点，其中一个零点在

1jz?e3，且x[0]?91。求x[n]。

3【考查重点】：这是第十章考点，考查根据相关信息求原序列。 【答案解析】：由于序列是实的，一个实序列的零点不是实的，那么零点一定是共轭成对的，

?11?j3所以可以得出另一个零点是z1?e ,又由于是偶序列x[n]?x[?n]?X(z)?X() 故

z3???jj11另外两个零点在z2??3e3,z3?的分子为?3e3 所以设X(z)zz1??j?j1j?1?j?333(z?e)(z?e)(z?3e)(z?3e3)

33??z4?10391210z?z?z?1 3931zA(z4?因为X(z)?X() 故设X(z)?103912z?z?1)39 2z?A(z2?109110?1?2z??z?z) 逆变换得： 393109110x[n]?A(?[n+2]??[n?1]??[n]??[n?1]??[n?2])

393将x[0]?91代入得A=9 所以：

x[n]?9?[n?2]?30?[n?1]?91?[n]?30?[n?1]?9?[n?2]

?e?j?五、（20分）已知一理想低通滤波器的频率响应为H(j?)???0截止频率。

（1）、将信号xp(t)?x(t)p(t)?cos(?0t)??????c，其中?c为

???c4?0k?????(t?kT)输入该滤波器，其中T??，

求xp(t)的频谱函数Xp(j?)；若要求此时滤波器的输出仅包含三个频率分量，?c应满足什么条件？并求此时滤波器的输出y(t)。

（2）、当输入信号x(t)?2e?tu(t)，若要求输出信号的能量是输入信号能量的50%，试确定

?c应具有的值。

【考查重点】：这是第四章考点，考查傅里叶变换，非周期信号的帕斯瓦尔定理、系统输出等知识点。

12?【答案解析】：（1）、Xp(j?)?{?[?(???0)??(???0)]}?2?T?k?????(??k?2?) T?0kk[?(?????)??(?????0)] ?0004k???22???02k?????(???0)

k?0,k?0,?1,?2??????处有值，如果输出只包含三个频率分量，这三个分2 所以

??k2 Xp(j?)在?=量为??02,0,?02?02??c??0 此时Y(j?)??02[?(???02)??(?)??(???02)]e?j?

逆变换得：y(t)??0?(t?1)(2cos0?1) 4?2T???T（2）输入信号的能量为E入=lim?T2e?tu(t)dt?2 所以输出信号的能量为1，

222e?j?X(j?)?,Y(j?)?X(j?)H(j?)?,???c

1?j?1?j?1输出信号的能量为

2?4????cc2e?j?4d??arctan?c 所以

?1?j?2?arctan?c?1?arctan?c??4??c?1

六、（25分）已知某LTI系统当输入x1(t)??cos5t???2?sin5t?u(t)时，零状态响应为5?y1(t)?kte?atu(t)；当输入x2(t)??(t)?3ebtu(?t)时，零状态响应为

y2(t)?2?t1eu(t)?(?3t)e2tu(?t)，这里a、b均为常数。 33（1）确定a、b和k的值；

（2）求该系统的系统函数H(s)及其收敛域； （3）求该系统的单位阶跃响应s(t)；

（4）判断系统的因果性和稳定性。

【考查重点】：这是第九章考点，考查系统函数和收敛域、单位阶跃响应、判断系统性质等知识点，

【答案解析】：（1）、由题可知X1(s)?s?2kY(s)? 1s2?5(s?a)23s?b?3k(s2?5)s2?5? 又 X2(s)?1? Y2(s)? ?H(s)?s?bs?b(s?a)2(s?2)(s?2)2(s?1)(s2?5)(s?b) 比较可知 a?1,b?2,k?1 ?H(s)?2(s?2)(s?1)(s?b?3)s2?5（2）、由第一问可得系统函数H(s)? 收敛域为?1?Re{s}?2

(s?1)2(s?2)1s2?5（3）、S(s)?X(s)? 逆变换得单位阶跃响应为 2ss(s?1)(s?2)51s(t)?(2te?t?2e?t?)u(t)?e2tu(?t)

22（4）、由收敛可知系统非因果，收敛域包括虚轴，所以系统稳定。

七、（25分）一因果离散LTI系统如图1所示：

1 x[n] ? 1 ? z?1 -1 ? z?1 1/2 ? 1 y[n] ? 1/2

图1

（1） 求系统的系统函数H(z)及其收敛域，单位函数响应h[n]以及系统差分方程； （2） 判断系统的稳定性；

（3） 画出系统的直接型模拟框图；

y[?1]?y[?2]?0，（4） 若x[n]?u[n]，求系统的零输入响应yzi[n]、零状态响应yzs[n]、

自由响应yh[n]、受迫响应yp[n]和稳态响应ys[n]。

【考查重点】：这是第十章考点，考查信号流图和梅森公式，系统函数，系统稳定性、系统

框图、系统响应等知识。

11?z?1?z?22【答案解析】：（1）、由梅森公式可得系统函数H(z)? 极点为1?11?21?z?z221z1??1,z2?

25z?12z?1由于系统因果，所以收敛域为z?1 H(z)?1?z?z 变换得：

13z?13z?211h[n]??[n]?[5(?1)n?4()n]u[n?1]

32由系统函数可得系统差分方程为：

y[n]?111y[n?1]?y[n?2]?x[n]?x[n?1]?x[n?2] 222（2）、由第一问可知收敛不包括单位圆，所以系统不稳定。

（3）系统模拟框图如下：

x[n] z?1 y[n] ? 12z?1 ?121 21

（4）、由于y[-1]=y[-2]=0,所以系统初始状态为0， 所以零输入响应yzi[n]?0 零状态响应就是全响应。

x[n]?u[n]?X(z)?1

1?z?1Y(z)?X(z)H(z)?11?z?1853?zzz22z?z?2?3?6?2

(2z?1)(z?1)2z?1z?1z?14153?yzs[n]?[?()n?(?1)n?]u[n]

32624153yh[n]?(?()n?(?1)n)u[n] yp[n]?u[n]

3262稳态响应是随着n??不会消失的响应，所以

53ys[n]?((?1)n?)u[n]

62

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