2011年全国初中数学联合竞赛四川地区试题及答案

2011年全国初中数学联合竞赛四川地区试题

一、选择题（每小题4分，共七道题）

1、一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（ ） A、42条 B、54条 C、66条 D、78条

2、如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E， 若∠CAE=15°则∠BOE=（ ）

AD0BEC

A、30° B、45° C、60° D、75°

3、设方程?x?a??x?b??x?0的两根是c、d，则方程?x?c??x?d??x?0的根是（ ） A、a，b B、?a，?b C、c，d D、?c，?d 4、若不等式2x?1?3x?3?a有解，则实数a最小值是（ ）

A、1 B、2 C、4 D、6

5、若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形,用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（ ）

A、18 B、24 C、30 D、36 6、不定方程x?2y?5的正整数解?x,y?的组数是（ ）

22A、0组 B、2组 C、4组 D、无穷多组

二、填空题（每小题7分，共四道题）

1、二次函数y?x?ax?2的图像关于x?1对称，则y的最小值是 .

22、已知△ABC中，AB=39；BC=6；CA=3.点M是BC中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是 .

3、一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手，每位参赛者与其10n?1个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分。比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n的所有可能值是 .

三、解答题（第1题20分，其余两道各25分）

1、已知x1、x2是关于x的一元二次方程x??3a?1?x?2a?0的两个实数根，使得

22?3x1?x2??x1?3x2???80成立，求其实数a的可能值。（20分）

2、抛物线y?ax?bx?c的图像于x轴交于点M?x,0?，N?x2,0?，且经过点A（0，1），

2其中0?x1?x2，过点A的直线l交x轴于C点，与抛物线交于点B（异于A点），满足△CAN是等腰直角三角形，切S?BMN?

5S?AMN，求解析式.（25分） 23、如图.AD、AH分别是△ABC（其中AB＞AC）的角平分线、高线，M点是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于E，求证∠AEB=90°。（25分）

AMEBDHC

2011年全国初中数学联合竞赛

试题参考答案

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准：选择题和填空题只设7分和0分两档；其余各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

一、选择题(本题满分42分，每小题7分)

1、B 2、D 3、A 4、C 5、B 6、A 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1、1 2、0 3、

3 4、1 2三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分） 1、（本题满分20分）

已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2?(3a?1)x?2a2?1?0的两个实数根，使得

(3x1?x2)(x1?3x2)??80成立。求实数a的所有可能值。

`解：由条件知??(3a?1)?4(2a?1)?a?6a?5?0，

解得a?5或a?1． （5分） 又由根与系数的关系知x1?x2??(3a?1)，x1x2?2a?1， 于是(3x1?x2)(x1?3x2)?3(x1?x2)?10x1x2?3(x1?x2)?16x1x2

2222222?3(3a?1)2?16(2a2?1)??5a2?18a?19， （10分）

由?5a?18a?19??80，解得a?3（舍去）或a??于是a??233． （15分） 53333．综上所述，所求的实数a??． （ 20分 ） 5522、（本题满分25分）

抛物线y?ax?bx?c的图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0)，且经过点

A(0,1)，其中0?x1?x2．过点A的直线l与x轴交于点C.，与抛物线交于点B（异于点

，满足?CAN是等腰直角三角形，且S?BMN?A）

5S?AMN．求该抛物线的解析式． 2解：由条件知该抛物线开口向上，与x的两个交点在y轴的右侧．

由于?CAN是等腰直角三角形，故点C在x轴的左侧，且?CAN?90． 故?ACN?45，从而C(?1,0)，N(1,0)． （5分）

??

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