金中2012届高三下学期两校联考（文数）

2011—2012学年度第二学期高三两校联考

数学（文科）试卷

本试卷21小题，满分150分．考试用时120分钟．

第一部分 （选择题 满分50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的． 1．设全集U?R,A?{x|?x2?3x?0},B?{x|x??1}，

部分表示的集合为 ( ) A.{x|x?0}

B.{x|?3?x??1} D.{x|x??1}

则图中阴影

C.{x|?3?x?0}

2．若复数(1?i)(a?i)是实数（i是虚数单位），则实数a的值为（ ）

A．2

B．-1 C．-2 D．1

y 1 O 1 2π 3. 已知函数y?2sin(?x??)(??0))在区间 2??的图像如右，那么?＝（ ） ?0，x A．1 B．2 C．

12 D．

13

4．某选手参加选秀节目的一次评委打分如茎叶图

所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的 平均数和方差分别为（ ）

A．86.5,1.2 B．86.5,1.5 C．86,1.2 D．86,1.5 5.已知?ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P

????????????AB?AC??AP23?????????????满足：PA?PB?PC?0，若实数?满足：

，则?的值为（ ）

A. B.1 C.2 D.3 6．某几何体的三视图如图所示，

则该几何体的体积为（ ） A． C．

12141316 B． D．

?0?x?4?7．已知关于x,y的不等式组?x?y?4?0，

?kx?y?4?0?所表示的平面区域的面积为l6，则k的值为（ ）

1

A． -l B．0 C． 1 D． 3 8．若函数f(x)?(k?1)a?ax?x(a?0且a?1)在R上既是奇函数，又是减

函数，则g(x)?loga(x?k)的图象是（ ）

9．直线2x?y?3?0与y轴的交点为P，点P把圆(x?1)2?y2?25的直径分为两段，则其长

度之比为 ( )

A.

73或

37 B.

74或

47 C.

75或

57 D.

76或

67

10.偶函数f(x)满足f(x?1)?f(x?1)，且在x∈[0，1]时, f(x)?1?x，则关于x的

方程f(x)?()，在x∈[0，3]上解的个数是（ ）

91xA． 1 B．2 C.3 D.4

第二部分 （非选择题 满分100分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 11．设曲线y?1x在点(1,1)处的切线与直线ax?y?1?0垂直，则a? xa2212．已知双曲线?yb22?1(a?0,b?0)的离心率为

233，则其渐近线方程

为 ．

n13．把形如M?m(m,n?N?)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m

项和，称作“对M的m项划分”。例如：9?3?1?3?5,称作“对9的3项划分”；把64表示成64?4?13?15?17?19,称作“对64的4项划分”.据此，对324的18项划分中最大的数是

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．(坐标系与参数方程选作题)在极坐标系中，过点(2,方程为_ _．

15．(几何证明选讲选作题)如图,梯形ABCD中,

EF为中位线,对角线BD、AC与EF

EMNCFAD32?3)且平行于极轴的直线的极坐标

2

B

分别交于M、N，如果AD?2,BC?6,

则MN?

三．解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．(本题满分12分)

在平面直角坐标系xoy中，点P(,cos2?)在角?的终边上，点Q(sin2?,?1)在角?的

21终边上，且OP?OQ?? ⑴求cos2?的值；

12

⑵求sin(???)的值。

17．（本题满分12分）

调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：

女生（人） 男生（人） 偏瘦 100 x 正常 173 177 肥胖 y z

已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到

偏瘦男生的概率为0.15。

（1）求x的值；

（2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？ （3）已知y?193，z?193，肥胖学生中男生不少于女生的概率。

18．（本题满分14分）

已知?an?是公差为正数的等差数列，首项a1?3，前n项和为Sn，数列?bn?是等比数

列，首项b1?1,且a2b2?12,S3?b2?20. （1）求?an?和?bn?的通项公式；

（2）令Tn?nb1?(n?1)b2?(n?2)b3???2bn?1?bn(n?1,2,3,?),求Tn

.

3

19．(本题满分14分)

如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，且AB＝2，BC＝1，E，F分别为AB，PC中点. （1）求证：EF∥平面PAD；

（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.

A E B 20. (本题满分14分)

（第19题） x?0时，f(x)?ax?lnx，其中已知函数f(x)是定义在实数集R上的奇函数，当

a?R．

D C F P （1）求函数f(x)的解析式；

（2）若函数f(x)在区间(?? , ?1)上是单调减函数，求a的取值范围； （3）试证明对?a?R，存在??(1 , e)，使f/(?)?

21．(本题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中，A(2a，0)，B(a，0)，a为非零常数，动点P满足PA?记点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程；

→→（2）曲线C上不同两点Q (x1，y1)，R (x2，y2)满足AR＝λAQ，点S为R 关于x轴的

对称点．

①试用λ表示x1，x2，并求λ的取值范围；

②当λ变化时，x轴上是否存在定点T，使S，T，Q三点共线，证明你的结论．

2PB，

f(e)?f(1)e?1．

4

参考答案

BDBCD ACAAC 11. ?1 12. y??16．（1）cos2??1333x 13.35 14. ?sin??3 15.2 ， ????????????5分

13（2）由cos2??得sin2??13，cos2??23，????????7分

110310

31214cos??,cos???P(,),Q(,?1),?sin??, 52335?sin(???)?sin?cos??cos?sin???1,sin???10 ????12分

17．解：（1）由题意可知，

x1000； ??3分 ?0.15，∴x＝150（人）

（2）由题意可知，肥胖学生人数为y?z?400（人）。设应在肥胖学生中抽取m人，

则

m4001000答：应在肥胖学生中抽20名。 ????????????7分

?50，∴m?20（人）

（3）由题意可知， y?z?400，且y?193，z?193，满足条件

的（y，z）有（193，207），（194，206），?，（207，193），

共有15组。

设事件A：“肥胖学生中男生不少于女生”，即y?z，满足条件的（y，z）有（193，207），（194，206），?，（200，200），共有8组， 所以P(A)?815。

815答：肥胖学生中女生少于男生的概率为。 ???????12分

18：解：（1）设?an?公差为d,?bn?公比为q，依题意可得：

??3?d??q?12 ?， ????????4分

9?3d?q?20?7解得:d?3,q?2.或d??,q?18(舍去). ???????6分

3n?1 ?an?3n;bn?2. ?????? 8分

（2）∵Tn?nb1?(n?1)b2?(n?2)b3???2bn?1?bn

2n?2n?1?2 ?Tn?n?(n?1)?2?(n?2)?2???2?2

23n又2Tn?n?2?(n?1)?2?(n?2)?2???2 ?????11分

5

两式作差可得：Tn??n?2?22???2n

1?219．证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连结FM，AM．

?Tn??n?2?2n?1?2n?1?n?2 ??????????14分

1因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝CD． 2因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点， 1

所以EA∥CD，且EA＝CD．

2所以FM∥EA，且FM＝EA．

所以四边形AEFM为平行四边形．

所以EF∥AM． ???????? 5分

A D E M P F C B 又AM?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD． ?? 7分 方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN． 因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC， 所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．

又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE． 又F为PC的中点，所以EF∥NP．???? 5分 又NP?平面PAD，EF?平面PAD，

所以EF∥平面PAD． ????? 7分 方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ． N 在矩形ABCD中，E为AB的中点， 所以AE＝DQ，且AE∥DQ． 所以四边形AEQD为平行四边形， 所以EQ∥AD．

又AD?平面PAD，EQ?平面PAD，

D Q B A D P F C E B P F C E A 所以EQ∥平面PAD．????2分

因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．

又PD?平面PAD，FQ?平面PAD，所以FQ∥平面PAD． 又FQ，EQ?平面EQF，FQ∩EQ＝Q，

所以平面EQF∥平面PAD．????? 5分

因为EF?平面EQF，所以EF∥平面PAD． ????? 7分 （2）方法一：设AC，DE相交于G．

∵AB∥DC，E为AB中点. ∴△AEG∽CDG ∴

AECD?EGDG?AGCG?12

∵AB＝2，BC＝1 ∴AC?3,DE?6266

∴EG?13DE?,AG?13AC?33

6

∴AG2?EG2?13?16?12?AE

2∴DE⊥AC ???????? 11分 ∵平面PAC⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，

∴DE⊥平面PAC， ???????? 13分

又DE?平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．???????? 14分 方法二：设AC，DE相交于G．

在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E为AB的中点.所以＝

DACD

＝2．

AEDA 又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA． 又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．

由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC． ? 11分 因为平面PAC⊥平面ABCD

因为DE?平面ABCD，所以DE⊥平面PAC， ??????? 13分

又DE?平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE． ?????? 14分

20. 解：⑴f(0)?0 ??????1分

x?0时，f(x)??f(?x)?ax?ln(?x)??3分，

?ax?lnx , x?0?所以f(x)??0 , x?0 ????????4分

?ax?ln(?x) , x?0?⑵函数f(x)是奇函数，则f(x)在区间(?? , ?1)上单调递减，

当且仅当f(x)在区间(1 , ??)上单调递减， 当x?0时，f(x)?ax?lnx，f/(x)?a?由f(x)?a??1/1x ?????6分

1x?0得a??1x??8分，

x所以a的取值范围为(?? , ?1] ???????????10分

f(e)?f(1)e?1?(ae?1)?ae?1?a?1e?1在区间(1 , ??)的取值范围为(?1 , 0) ????????8分

⑶??11分，

解f/(?)?a?1?e?1得??e?1??13分，

?a?1

因为1?e?1?e，

所以??e?1为所求 ????14分.

21．解 （1）设点P坐标为(x，y)．由PA?2PB，

得(x－2a)2＋y2＝2(x－a)2＋y2，平方整理，得x2＋y2＝2a2． 所以曲线C的方程为x2＋y2＝2a2．????????3分

7

→→→→（2） ①AQ＝(x1－2a，y1)，AR＝(x2－2a，y2)，因为AQ＝λAR， 且?

?x2－2a＝λ(x1－2a)? y2＝λ

y1．

，即?

?x2－λ

x1＝2a (1－λ)?①

? y2＝λy1．?②

因为Q，R 在曲线C?x12＋y12＝2a2，?③

上，所以?2 22

?x2＋y2＝2a．?④

消去y1，y2，得x2＋λx1＝a (1＋λ)，?⑤ 由①，⑤得x2?3??2a,x1?3??12?a． ????????7分

因为－2a≤x1，x2≤2a，

3－λ3λ－1

所以－2a≤a≤2a，－2a≤a≤2a，且λ＞0

22λ解得3－22≤λ≤3＋22．

又Q，R不重合，所以λ≠1．

故λ的取值范围为[3－22，1）∪（1，3＋22]．??????10分

方法一

②存在符合题意的点T（a，0），证明如下： →TS＝(x2－a，－y2)，TQ＝(x1－a，y1)，

→→→要证明S，T，Q三点共线，只要证明TQ∥TS， 即(x2－a) y1－(x1－a)(－y2)＝0

因为y2＝λy1．又只要(x2－a) y1＋λ(x1－a)y1＝0， 若y1＝0，则y2＝0，成立，

若y1≠0，只要x2＋λx1－a(1＋λ)＝0，由⑤知，此式成立． 所以存在点T（a，0），使S，T，Q三点共线．????????14分 方法二

探究方法：假设存在符合题意的点T（m，0）．

→→→→则TS＝(x2－m，－y2)，TQ＝(x1－m，y1)，由S，T，Q三点共线，得TQ∥TS， 从而(x2－m) y1＝－y2(x1－m)，即(x2－m) y1＋λy1(x1－m)＝0， 若y1＝0，则y2＝0，成立，

若y1≠0，则(x2－m)＋λ(x1－m)＝0，即x2＋λx1－m (1＋λ)＝0，

又x2＋λx1＝a (1＋λ)，所以(a－m)(1＋λ)＝0，因为A在圆C之外，所以λ＞0，所以m＝a．????????14分

8

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