【步步高】2014届高考数学一轮复习 1.2.4平面与平面的位置关系(二)备考练习 苏教版

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习：第一章 1.2.4

平面与平面的位置关系（二）

一、基础过关

1． 下列命题：

①两个相交平面组成的图形叫做二面角；

②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；

③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；

④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．

其中正确的是________．(填序号)

2． 在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝

则二面角B－AC－D的大小为________．

3． 过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成

的二面角的度数是________．

4． 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有

________对．

32

4题图 5题图

ππ5． 如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和46

过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′＝________.

6． α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分

别是2 cm、3 cm、6 cm，则点P到O的距离为________ cm.

7． 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD

＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA3.

(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；

(2)求二面角A—BE—P的大小．

8． 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求证：BC

⊥

AB.

二、能力提升

9． 如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中

点，则图中直角三角形的个数为________．

9题图 10题图

10．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在

直线________上．

11．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．

12．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是

∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平

面垂直于底面ABCD.

(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；

(2)求证：AD⊥PB.

三、探究与拓展

113．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，D是棱AA1的 2

中点，DC1⊥BD.

(1)证明：DC1⊥BC；

(2)求二面角A1－BD－C1的大小．

答案

1．②④

2．60°

3．45°

4．5

5．2∶1

6．7

7．(1)证明 如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD

是等边三角形．

因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.

又AB∥CD，所以BE⊥AB.

又因为PA⊥平面ABCD，

BE 平面ABCD，

所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，

因此BE⊥平面PAB.又BE 平面PBE，

所以平面PBE⊥平面PAB.

(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB 平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE， 所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．

在Rt△PAB中，tan∠PBA＝

则∠PBA＝60°.

故二面角A—BE—P的大小是60°.

8．证明 在平面PAB内，作AD⊥PB于D.

∵平面PAB⊥平面PBC，

且平面PAB∩平面PBC＝PB.

∴AD⊥平面PBC.

又BC 平面PBC，

∴AD⊥BC.

又∵PA⊥平面ABC， PA3， ABBC 平面ABC，

∴PA⊥BC，

∴BC⊥平面PAB.

又AB 平面PAB，

∴BC⊥AB

.

9．6

10．AB

11．a⊥β

12．证明 (1)连结PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，

∴PG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，

∴PG⊥平面ABCD，

∴PG⊥BG.

又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD.

又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.

(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.

又因为BG∩PG＝G，

所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.

13．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.

1222又AC＝AA1，可得DC1＋DC＝CC1，所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD，CD∩BD＝D，所以DC1⊥平面2

BCD.

因为BC 平面BCD，所以DC1⊥BC.

(2)解 DC1⊥BC，CC1⊥BC BC⊥平面ACC1A1 BC⊥AC，取A1B1 的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连结C1O，C1H，A1C1＝B1C1 C1O⊥A1B1，面A1B1C1⊥面A1BD C1O⊥面A1BD，又∵DB 面

A1DB，∴C1O⊥BD，又∵OH⊥BD，∴BD⊥面C1OH，C1H 面C1OH， ∴BD⊥C1H，得点H与点D重合，且∠C1DO是二面角A1－BD－ C的平面角，设AC＝a，则C1O2a，C1D2a＝2C1O ∠C1DO 2

＝30°，故二面角A1－BD－C1的大小为

30°.

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