【数学】四川省达州市2022届高三四模数学(理)试题 含答案

四川省达州市高2018届高考模拟四

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}|3A x x =<

，{|B x y ==

，则A B = （ ） A ．(2,3)- B ．[2,3)- C ．(0,3) D ．[0,3) 2.已知(1)17z i i +=-+（i 是虚数单位），z 的共轭复数为z ，则||z 等于（ ）

A

B ．34i +

C ．5

D ．7

3.如图是我国2008年—2017年GDP 年增量统计图．下列说法正确的是（ ）

A ．2009年GDP 比2008年GDP 少

B ．与上一年比，GDP 年增量的增量最大的是2017年

C ．从2011年到2015年，GDP 年增量逐年减少

D ．2016年GDP 年增长率比2012年GDP 年增长率小

4.已知数列{}n a 为等比数列，若162a a =，下列结论成立的是（ ）

A ．24354a a a a =

B ．342a a += C

．123a a a =D

．25a a +≥5.在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=?，2AB BC ==，1AD =，则B D A C ?= （ ）

A ．2-

B ．3-

C ．2

D ．5 6.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向左平移6π，然后再向下平移一个单位，所得图象的一个对称中心为（ ）

A ．(,0)3π

- B ．(,0)6π

- C ．(,1)3π

-- D ．(,1)6π

--

7.运行如图所示的程序框图，若输入的x 与输出的y 相等，则x 为正数的概率是（ ）

A ．14

B ．12

C ．15

D ．25

8.二项式8(x

展开式中，有理项项数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．9

9.的等腰三角形，它的俯视图是由三个等腰三角形组合

O 上，球O 的体积为（ ）

A ．

B ．

C ．2

D ．3

10.二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，对一切x R ∈，()0f x ≥，又'(0)0f >，则(1)'(0)

f f 的最小值是（ ） A ．2

B ．2.5

C ．3

D ．4

11.抛物线22y px =（0p >）的焦点是(1,0)F ，直线y =交点为A ，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，ABF ?内切圆的半径是（ ）

A B ．23 C D 12.已知a ，b R ∈，且(1)x e a x b ≥-+对x R ∈恒成立，则ab 的最大值是（ ）

A 3

B ．32

C ．312e

D ．3

e 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.命题“若a b =，则a b ≥”的逆否命题是 ．

14.直线y =是双曲线22

221x y a b

-=的一条渐近线，双曲线的离心率是 ．

15.在锐角ABC ?中，1cos 3A =，AC ，ABC ?BC = ．

16.已知函数()sin 2|sin |f x x x =+，关于x 的方程2()()10f x x -=有以下结论：

①当0a ≥时，方程2()()10f x x -=恒有根；

②当6409

a ≤<时，方程2()()10f x x -=在[]0,2π内有两个不等实根；

③当0a ≥时，方程2()()10f x x -=在[]0,6π内最多有9个不等实根；

④若方程2()()10f x x -=在[]0,6π内根的个数为偶数，则所有根之和为15π． 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的番号）．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在已知数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-．

（1）若数列{}n a t -是等比数列，求常数t 和数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若(1)n n a S λ-≥对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围．

18.某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：

（1）可用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系吗？如果能，请求出y 关于x 的线性回归方程，如果不能，请说明理由；

（2）公司决定再采购A ，B 两款车扩大市场，A ，B 两款车各100辆的资料如表：

平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？

参考数据：621()17.5i

i x x =-=∑，61()()35i i i x x y y =--=∑，621()76i i y y =-=∑36.5≈．

参考公式：相关系数()()n

i i

x x y y r --=∑； 回归直线方程 y bx a =+ ，其中1

2

1()()()n i i

i n i

i x x y y b x x ==--=-∑∑ ， a y bx =- ． 19.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD DC CB ===，60ABC ∠=?，平面ACEF ⊥

平面ABCD ，四边形ACEF 是菱形，60CAF ∠=?．

（1）求证：BF AE ⊥；

（2）求二面角B EF D --的平面角的正切值．

20.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点是1(1,0)F -，椭圆E

的离心率为2

，过点(,0)M m （34m >）作斜率不为0的直线l ，交椭圆E 于A ，B 两点，点5(,0)4

P ，且P A P B ? 为定值．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）求OAB ?面积的最大值．

21.已知定义在区间[0,)+∞上的函数1()ln(1)1x f x tx x -=

+++（0t >）． （1）求函数的单调区间；

（2）若不等式()20f x e -≥（ 2.71828e =…是自然对数的底数）恒成立，求t 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，1C 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα

=??=-+?（t 为参数，0απ≤<），以

坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，2C 的极坐标方程为

)4

πρθ=-． （1）求2C 的直角坐标方程，并指出其图形的形状；

（2）1C 与2C 相交于不同两点A ，B ，线段AB 中点为M ，点(0,1)N -，若||2MN =，求1C 参数方程中sin α的值．

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数()|||1|f x x x =+-．

（1）若()|1|f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值；

（2）记（1）中m 的最大值为M ，正实数a ，b 满足22a b M +=，证明：2a b ab +≥．

四川省达州市高2018届高考模拟四2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案

一、选择题

1-5:BCDAA 6-10:CBBCA 11、12：DC

二、填空题

13.若a b <，则a b ≠ 14.2 15.2 16.③④

三、解答题

17.解：（1）∵121n n a a +=-，

∴112(1)n n a a +-=-，

∵12a =，

∴数列{}1n a -是以111a -=为首项，以2为公比的等比数列，由题意得，1t =， ∴112n n a --=，即数列{}n a 的通项公式为121n n a -=+．

（2）由（1）可得，122112

n

n n S n n -=+=+--， ∵(1)n n a S λ-≥，∴12(1)2

n n λ-≥+， 由不等式组1112,221,22n

n n

n n n n n -+--?≥???-?≥??得23n ≤≤， ∴数列12n n -???

???的最大项是第2项和第3项，值为14． ∴52λ≥，所以实数λ的取值范围是5[,)2

+∞． 18.解：（1）∵621()17.5i

i x x =-=∑，61()()35i i i x x y y =--=∑，6

21()76i i y y =-=∑

，36.5≈，

∴()()

n

i

i

x x y y r --=

∑

35

0.9636.5=

==≈，

所以两变量之间具有较强的线性相关关系， 故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．

1

2

1

()()

35

217.5

()

n

i

i

i n

i

i x x y y b

x x ==--==

=-∑∑ ， 又123456 3.56x +++++=

=，111316152021

166

y +++++==，

∴ 162 3.59a

y bx =-=-?= ， ∴回归直线方程为 29y x =+．

（2）用频率估计概率，A 款车的利润X 的分布列为：

∴()(500)0.100.35000.410000.2350E X =-?+?+?+?=（元）．

B 款车的利润Y 的分布列为：

∴()(300)0.152000.47000.3512000.1400E Y =-?+?+?+?=（元）． 以每辆车产生利润俄期望值为决策依据，故应选择B 款车型． 19.解：（1）依题意，在等腰梯形ABCD 中，AC =4AB =，

∵2BC =，∴222

AC BC AB +=，即BC AC ⊥，

∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥平面ACEF ， 而AE ?平面ACEF ，∴AE BC ⊥，

连接CF ，∵四边形ACEF 是菱形，∴AE FC ⊥，∴AE ⊥平面BCF ， ∵BF ?平面BCF ，∴BF AE ⊥．

（2）取EF 的中点M ，连接MC ，因为四边形ACEF 是菱形，且60CAF ∠=?， 所以由平面几何易知MC AC ⊥，

∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，∴MC ⊥平面ABCD ．

故可以CA 、CB 、CM 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，

各点的坐标依次为(0,0,0)C

，A ，(0,2,0)B

，1,0)D -

，(E

，F ， 设平面BEF 和平面DEF 的一个法向量分别为1111(,,)n a b c = ，2222(,,)b a b c = ，

∵2,3)BF =-

，EF = ，

∴由110,0,BF n EF n ??=???=??

即1111230,0,

b c -+==??即1110,23,a b c =??=? 不妨令13b =，则1(0,3,2)n = ，

同理可求得2(0,3,1)n =- ，

∴1212cos ||||n n n n θ?==? ，故二面角B EF D --的平面角的正切值为97． 20.解：（1）设1(,0)F c ，∴1c =，

又椭圆E

的离心率为2

，得a = 于是有222

1b a c =-=，故椭圆E 的标准方程为2

212x y +=． （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为x ty m =+，

由22,22,

x ty m x y =+??+=?整理得222(2)220t y tmy m +++-=， 12222tm y y t -+=+，212222

m y y t -=+， 115(,)4PA x y =- ，225(,)4PB x y =- ， 121255()()44PA PB x x y y ?=--+ 2212125525(1)()()4216t y y tm t y y m m =++-++-+

222225(2)(2)5722216

m m t m m m t -+-+-=+--+． 要使PA PB ? 为定值，则22522212

m m m -+--=，解得1m =或23m =（舍）， 当1m =

时，2122)|||2t AB y y t +=-=+， 点O 到直线AB

的距离d =，

OAB ?

面积21122S t ==≤+， ∴当0t =时，OAB ?

面积的最大值为

2． 21.解：（1）22222'()(1)1(1)(1)

t tx t f x x tx x tx -+-=+=++++， ①当2t ≥时，'()0f x ≥，即()f x 是[0,)+∞上的增函数；

②当02t <<

时，'()f x =，令'()0f x >

，得x > 则()f x

的增区间为)+∞

，减区间为． （2）由不等式()20f x e -≥，[0,)x ∈+∞恒成立，得不等式()ln 2f x ≥，[0,)x ∈+∞恒成立． ①当2t ≥时，由（1）知()f x 是[0,)+∞上的增函数，∴[]min ()(0)1ln 2f x f ==>，即当2

t ≥时，不等式()ln 2f x ≥，[0,)x ∈+∞恒成立；

②当02t <<

时，x ∈，'()0f x <

；)x ∈+∞，'()0f x >，

u =，则0u >，221t u =+．

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