华科大自动控制原理 第四章 根轨迹法

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自动控制原理

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第四章

根轨迹法

4-1

根轨迹的基本概念 绘制根轨迹的规则 广义根轨迹 线性系统的根轨迹分析法

4-24-3 4-4 5-5

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§ 4.14.1.1 根轨迹图

根轨迹的概念

根轨迹图是闭环系统特征方程的根(即闭环极点)随开环系统某一参数由零变化到无穷大时在S平面上的变 化轨迹。

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§ 4.1R(s)

根轨迹的概念C(s)

4.1.2 开环零、极点与闭环零、极点之间的关系

G(s) H(s)

G ( s) K1

( j 1

f

j

s 1) K 1r s

(s zj 1

f

j

)

s

(T s 1)i i 1l j

q

(s p )i i 1l j

q

H ( s) K 2

( j 1 h i 1

s 1) K 2r4

(s zj 1 h i 1

)

(T s 1)i

(s p )i

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§ 4.1

根轨迹的概念

G( s) H ( s) K

系统的开环传递函数为 m ( j s 1)j 1

K K1 K 2 K r K1r K 2 r m f l

s (Ti s 1)i 1

n

Kr

(s zj 1 n i 1

m

j

)

(4-1)

s ( s pi )

n q h f h

为系统的开环增益， 为开环系统的根轨迹增益， 为开环系统的零点数， 为开环系统的极点数。

( s) s

K1r ( s z j ) ( s pi )j 1 i 1

(s p ) K (s zi r i 1 j 15

n

m

j

)

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§ 4.1

根轨迹的概念(4-2)

由第三章，系统的开环增益(或开环放大倍数)为

K lim s G (s) H(s)s 0

式中 是开环传递函数中含积分环节的个数，由它来确定 该系统是零型系统( 0),Ⅰ型系统( 1)或Ⅱ型 系统( 2)等。 将(4-1)代入(4-2)可得

K lim sν G(s) H(s) lim K rs 0 s 0

(s zj 1 n ν i 1

m

j

) Kr

( zj 1 n ν i 1

m

j

)

(s p )i

( p )i

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§ 4.2

绘制根轨迹的规则

4.2.1 绘制根轨迹的依据 系统的特征方程为

1 G (s)H(s) 0G (s)H(s) 1当系统有m个开环零点和n个开环极点时，特征 方程可写成 m (s z j ) j 1 Kr n 1 ( s pi ) 称为根轨迹方程i 17

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§ 4.2

绘制根轨迹的规则

根轨迹方程是一个向量方程，用模和相角的形式表示

| G(s) H(s) | e j G(s)H(s) 1 e j( 180 k 360 ) (k 0,1,2, )由此可得到满足系统特征方程的幅值条件和相值条件为幅值条件： 相角条件：| G(s) H(s) | 1 G(s) H(s) 180 k 360

(k 0,1,2, )

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§ 4.2

绘制根轨迹的规则 (s z )j j 1 n m

设系统的开环传递函数为G(s) H(s) K r

(s p )i i 1

满足幅值条件的表达式为 m

| s zj 1 n i 1

j

| 1

| s p或

n

i

| Kr |

Kr

| s pj

i

|n

| s zj 1

i 1 m

j

满足相角条件的表达式为

(s zj 1

m

) (s

pi ) 180 k 360 i 1

(k 0,1,2, )9

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§ 4.2

绘制根轨迹的规则

通常，我们把以开环根轨迹增益 为可变参数绘 制的根轨迹叫做普通根轨迹(或一般根轨迹)。绘制 普通根轨迹的基本规则主要有7条： (1) 根轨迹的起点与终点 根 轨 迹 的 基 本 规 则 (2) 根轨迹的分支数 (3) 实轴上的根轨迹 (4) 根轨迹的渐近线 (5) 根轨迹在实轴上的分离点 (6) 根轨迹的起始角和终止角

(7)根轨迹与虚轴的交点 10

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§ 4.2规则1

绘制根轨迹的规则 | s zm j

根轨迹的起点和终点| |

幅值条件可写成

j 1 n

| s pi 1

1 Kr

i

当 K r 0 ,必须有 s j z j (j 1,2, , m) 此时，系统 的闭环极点与开环极点相同(重合),我们把开环极点称 为根轨迹的起点，它对应于开环根轨迹增益 K r 0 。 当 K ,必须有 s p (i 1,2, , n) 此 时 ， i i r 系统的闭环极点与开环零点相同(重合),我们把开环零 点称为根轨迹的终点，它对应于开环根轨迹增 益 Kr 。11

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§ 4.2分三种情况讨论：

绘制根轨迹的规则

1.当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨 迹的起点与终点均有确定的值。 2.当m<n时，即开环零点数小于开环极点数时，除 有m条根轨迹终止于开环零点(称为有限零点)外，还 有n-m条根轨迹终止于无穷远点(称为无限零点),如例 4-1。 3.当m>n时，即开环零点数大于开环极点数时，除 有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还 有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。12

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§ 4.2结论：

绘制根轨迹的规则

根轨迹起始于开环极点 K r 0 ,终止于开环零点

(K r ) ;如果开环极点数 n 大于开环零点数 m ,则有 n-m 条根轨迹终止于 S 平面的无穷远处(无限零点), 如果开环零点数 m 大于开环极点数 n ,则有 m-n条根

轨迹起始于 S 平面的无穷远处(无限极点)。

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§ 4.2

绘制根轨迹的规则

规则2 根轨迹的分支数、连续性和对称性

根轨迹是描述闭环系统特征方程的根在S平面上的 分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程 的阶数。当 r 由零到无穷大连续变化时，描述系统 K 特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的， 因此，根轨迹是n条连续的曲线。由于实际的物理系 统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定 是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于 实轴的。结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨 迹是连续且对称于实轴的曲线。14

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§ 4.2规则3

绘制根轨迹的规则

实轴上的根轨迹

若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和 为奇数则该线段是实轴上的根轨迹。

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§ 4.2

规则4 渐近线

绘制根轨迹的规则

当开环极点数n大于开环零点数 m 时，系统有 n-m 条根轨迹终止于 S 平面的无穷远处，这 n-m 条根轨 迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，浙近 线也有 n-m 条，且它们交于实轴上的一点。 渐近线与实轴的交点位置 σ a 和与实轴正方向的交 n m 角 a 分别为 pi z j j 1 a i 1 n m 2 k 1 k 0,1,2, , n m 1 a n m

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§ 4.2规则5

绘制根轨迹的规则

根轨迹的分离点

系统的特征方程可写成 (s Pi )n

(s Z j )j 1

i 1 m

Kr

,

n (s Pi ) d i 1 m ds (s Z j ) j 1

0s d

上式称为分离点方程。 分离点方程的另一种形式为

1 d Z j 1 j

m

1 d P i 1 i

n

式中，Z j 为开环零点的数值，Pi 为开环极点的数值。17

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§ 4.2

绘制根轨迹的规则

规则6 起始角与终止角 当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿 着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？ 这就是所谓的起始角和终止角问题, 先给出定义如下： ⑴ 起始角 θ p1 根轨迹离开开环复数极点处在切线方向 与实轴正方向的夹角。参看图4-1(a)中的 θ p1 和 θ p 2 。 ⑵ 终止角 θ zl 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向 与实轴正方向的夹角。参看图4-1(b)中的 θ zl 和 θ z 2 。

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§ 4.2P 1

绘制根轨迹的规则j [s]

p1

P3

0

P2

p2

图4-1(a)

图4-1(a) 根轨迹的起始角和终止角 根轨迹的起始角和终止角19

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§ 4.2

绘制根轨迹的规则j [s]p1

z1z1

0z2

z2p2

图4-1(b) 根轨迹的 起始角和终止角20

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§ 4.2规则7

绘制根轨迹的规则

根轨迹与虚轴的交点

根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯 虚根(实部为零)。这时，用 jω 代入特征方程 s 可得

1 G jω H jω 0即

Re 1 G jω H jω Im 1 G jω H jω 0 21

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