2011届高考数学仿真押题卷 - 江苏卷(2)

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2012届高考数学仿真押题卷——江苏卷（2）

一．填空题

1.设复数z1?2?i,z2?x?2i(x?R)，若z1?z2为实数，则x为 . 2.一个与球心距离为1的平面截球所得圆面面积为?，则球的体积为________. 3．若sin(???)sin??cos(???)cos?＝m，且α是第三象限角，则sinα＝ . 4.若某程序框图如所示，则该程序运作后输出的y等于 . 开始 ?x?y?4?5. 已知点P（x，y）的坐标满足条件?y?x，则点?x?1?x?1 P到直线4x+3y+1=0的距离的最大值是________. 6、若双曲线xa22y?1 否 x?5? ?yb22?1(a?0,b?0)的一个焦点到一条 14是 y?2y?1 输出y 渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方 x?x?1 程是 . 227.已知不等式x-2x-3<0的解集为A, 不等式x+x-6<0的解集 2 是B, 不等式x+ax+b<0的解集是A?B, 那么a+b= . 8．如图在三角形ABC中，E为斜边AB的中点，CD⊥AB，AB＝1, ???????? 则CA?CD结 束 ???????????CA?CE的最大值是 . ?B E D C A 9.如图,线段AB=8,点C在线段AB上,且AC=2,P为线段BC上的一动 点,点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D,设 CP=x,△PCD的面积为f(x),则的最大值为 . 10.直线x+a2y+1=0与直线(a2+1)x-by+3=0互相垂直，a,b∈R，且ab≠0,则|ab|的最小值是 . 11.函数f?x??1?x?12已知x22?x3D的零点的个数是 . ，3f(x)为偶函数,且f(2?x)?f(2?x)xACPB当?2?x?0时,f(x)?2，f(x)?2,若n?N，an?f(n),则a2008? .

x*

13.设点(a,b)在平面区域D?{(a,b)|a|≤1,|b|≤1}中按均匀分布出现，则椭圆

xa22?yb22?1（a＞b＞0）的离心率e＜2232的概率为 ．

14.若数列{an}满足an?1?an?d（其中d是常数，n?N﹡），则称数列{an}是“等方差数列”. 已知数列{bn}是公差为m的差数列，则m=0是“数列{bn}是等方差数列”的 条件.（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个） 二．解答题

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15．高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：

（1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为多少？ （2）根据题中信息估计总体平均数是多少？ （3）估计总体落在［129，150］中的概率.

16. 已知函数f(x)?4sin2x?2sin2x?2，x?R。 （1）求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的集合； （2） 证明：函数f(x)的图像关于直线x??

π8分组 频数 ① 12 频率 ② 0．050 0．200 0．300 0．275 ③ 0．050 4 [145，155] 合计 ④ ?85,95? ?95,105? ?105,115? ?115,125? ?125,135? ?135,145? 对称.

17.已知：矩形AEFD的两条对角线相交于点M?2,0?,AE边所在直线的方程为：

x?3y?6?0，点T??1,1?在AD边所在直线上.

（1）求矩形AEFD外接圆P的方程。

(2)?ABC是?P的内接三角形，其重心G的坐标是?1,1?,求直线BC的方程 . 18. 如图，海岸线MAN，?A?2?,现用长为l的拦网围成

一养殖场，其中B?MA,C?NA． (1)若BC?l,求养殖场面积最大值；

(2)若B、C为定点，BC?l，在折线MBCN内选点D， 使BD?DC?l，求四边形养殖场DBAC的最大面积．

19．已知各项均为正数的数列{an}满足a0?12??,?a1ann?an?1?1n21n2an?1其中n=1，2，3，?.

n?1n?22（1）求a1和a2的值；（2）求证：20.已知函数f?x??13321an?1?；（3）求证：

?an?n.

x?x?ax?a (a?R)．

(1) 当a??3时，求函数f?x?的极值；

（2）若函数f?x?的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．

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参 考 答 案

1.4.提示：2.

823823222?.提示：画出简图可知，由d?r?R得球的半径为2，利用球的体

积公式得V?3提示：由图可知：P（2，2）到直线4x+3y+1=0?。3．－1?m.4.63.5.

2的距离的最大，由点到直线的距离公式可计算出，应填3。 6. x?3y?0。 提示：对于双曲线

xa1222?yb22?1(a?0,b?0)的一个焦点到一条渐近

c?b?22线的距离因为b，而

?ba?33b2c?14，因此 b?c,a?32c,

，因此其渐近线方程为x?3y?0.

7.-3。提示：由题意：A?{x|?1＜x＜3}，B?{x|?3＜x＜2}，A?B?{x|?1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：a??1,b??2. 8.227 .9.22.10.2．提示:由题意k1??1a2,k2?2a?1b2∵两直线互相垂直,∴k1?k2??1,22a?11a?11?a?122?即??, ∴,则, ∴|ab|??|a|?≥2. b?ab?a?1???1?22|a||a|aba??∴ab的最小值为2.

211.1．提示：对于f??x??1?x?x?(x?12)?234?0，因此函数f?x?在R上单调递增，

而对于f(?2)??53?0,f(2)?233?0，因此其零点的个数为1个.

则a2008?f(2008)?f(4)?f(0)?1。12.1.提示: 由题意可知f(x)为周期函数，周期为4，

13．

116 。 提示：属几何概型的概率问题，D的测度为4；e?32116，则．

12?ba?1，

a??0,1?,b??0,1?，则d的测度为，∴P41?d的测度D的测度?14. 充分必要条件。

提示：一方面，由数列{bn}是公差为m的等差数列及m=0得bn?b1，bn?1?bn?0，数列

22{bn}是等方差数列；

另一方面，由数列{bn}是公差为m的等差数列及数列{bn}是等差数列得

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2222?2bn?1?bn?(b1?nm)?[b1?(n?1)m]?2b1m?(2n?1)m?d对任意的n?N都

成立，令n=1与n=2分别得2b1m?m22?d，2b1m?3m?d，两式相减得m=0. 综上所

述，m=0是数列{bn}是等方差数列的充分必要条件.

15.解：设抽取的样本为x名学生的成绩，则由第四行中可知0.3?12x，所以x＝40.?④

40 ③处填0.1，②0.025，①1。(2) 利用组中值估计平均数为=90?0.025+100?0.05+110?0.2+120?0.3+130?0.275+140?0.1+150?0.05=122.5， (3)在［129，150］上的概率为

610?0.275?0.1?611?0.05?0.292。

16.解：f(x)?4sin2x?2sin2x?2?2sinx?2(1?2sin2x)

?2sin2x?2cos2x?22sin(2x?π4)

π4?2kπ?π2(1)所以f(x)的最小正周期T?π因为x?R，所以，当2x?x?kπ?3π8，即

π8时，f(x)最大值为22；(2)证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线x??π8π8?x)?f(??x)?π4π4π8?x)成立，

π2?2x)??22cos2x，

对

称，只要证明对任意x?R，有f(?因为f(?f(?π8π8?x)?22sin[2(?π8]?22sin(?π2?x)?22sin[2(?π8?x)?f(?π8?x)?]?22sin(??2x)??22cos2x，

π8所以f(??x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线x??13对称。

17.解：（1）设A点坐标为?x,y??KAE??KAD??3 又T??1,1?在AD上

且 AE?AD

?x?3y?6?0?x?0? ?? 即A点的坐标为?0,?2? ??y?1y??2??3???x?1 又?M点是矩形AEFD两条对角线的交点 ?M点?2,0?即为矩形AEFD外接圆的圆心，其半径r?MA?22??P的方程为?x?2??y?8

22（2）连AG延长交BC于点N?x0,y0?，则N点是BC中点,连MN ?????????G是?ABC的重心，?AG?2GN ??1,3??2?x0?1,y0?1?

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3?x?0??2 ?M是圆心，N是BC中点?MN?BC, 且 KMN??5 ???y?50??2?KBC?15 ?y?52?1?3?x??? 即直线BC的方程为x?5y?11?0 5?2?18. 解：(1)设AB?x,AC?y,x?0,y?0.

l2?x2?y2?2xycos2??2xy?2xycos2?，

xy?l22?2cos2?12?l224sin?l2，

lcos?2S?xysin2??1， ??2sin?cos??224sin?4sin?lcos?4sin?2所以，△ABC 面积的最大值为，当且仅当x?y时取到．

(2)设AB?m,AC?n(m，n为定值)． BC?2c(定值) ，

由DB?DC?l?2a，a =l，知点D在以B、C为焦点的椭圆上，

S?ABC?12mnsin2?1

2

为定值．

只需?DBC面积最大,需此时点D到BC的距离最大, 即D必为椭圆短轴顶点． b?a?c?22l24?c,S?BCD面积的最大值为

212?2c?b?c?l24?c2，

因此,四边形ACDB面积的最大值为m?n?sin2??c?21l24?c 219．（1）∵a0?12，∴a1?1123?()??,?a22422?34?13257?()?. 4464（2）∵an?an?1?1n2an?1?0?,?∴an?an?1?0.

1n2∴an?an?1?1n2an?1?an?1?2anan?1，∴

1an?1?1an?1n2.

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（3）

1a012?3?1an?11?11???1??(?)?(?)??????22a0a1a0a223?an?1an?11111(n?1)n?1?(1?12)?(12?13)???(1n?1?1n)?2?1n?

?1n2?1?11?2????

又a0?12∴an?n. ?,?∵an?an?1?1n2an?12?an?1?1n2(n?1)?an?1?n?n?1n22an?1，

∴an?1?n22n?n?11nan.

1n2∴an?an?1?2an?12?an?1?1an?1?1nn22n?n?11n?11an?an?1?n22n?n?1anan?1.

∴

1an?11a1??1an?(?1n?n?1?1a2?)?(561a22?n?n1a3)??(2???.

∴

1an341a1?1an?11?11111111)?? )?(?)?(?)??(?nn?12n?1an2334∵a1?，∴

1an?1n?1?1?|n?1?n?2n?1，∴an?n?1n?2.

综上所述，

n?1n?2?an?n.

13x?x?3x?3，

3220.解：（1）当a??3时，f?x??2∴f??x??x?2x?3??x?3??x?1?.

令f??x?=0, 得 x1??1,x2?3.

当x??1时,f'?x??0, 则f?x?在???,?1?上单调递增;

'当?1?x?3时,f当x?3时,f'?x??0, 则f?x?在??1,3?上单调递减;

?x??0, f?x?在?3,???上单调递增.

13?1?3?3?143∴ 当x??1时, f?x?取得极大值为f??1???;

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当x?3时, f?x?取得极小值为f?3??13?27?9?9?3??6.

（2） ∵ f??x?= x2?2x?a，∴△= 4?4a= 4?1?a? .

① 若a≥1，则△≤0， ∴f??x?≥0在R上恒成立，∴ f（x）在R上单调递增 . ∵f（0）??a?0，f?3??2a?0,

∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．

② 若a＜1，则△＞0，∴f??x?= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1

x1 0 极大值 （x1，x2） － ↘ x f??x? ???,x1? + ↗ x2 0 极小值 ?x2,??? + ↗ f（x） ∵x12?2x1?a?0,∴a??x12?2x1. ∴f?x1?? ?131332x1?x1?ax1?a?13x1?x1?ax1?x1?2x1?32213x1??a?2?x1

3x1x1?3?a?2?.

2??同理f?x2??13x2x2?3?a?2?.

2??∴f?x1??f?x2?????19191949x1x2x1?3?a?2??x2?3?a?2?

22?????x1x2???x1x2?2?3?a?2?x1?x2?9?a?2?22??2?

2aa?3?a?2??x1?x2??2x1x2?9?a?2?22?????

aa?3a?3.

2? 令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞0． 而当0?a?1时,f?0???a?0,f?3??2a?0,

故当0?a?1时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.

综上所述，a的取值范围是?0,???．

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